第08讲 有理数的乘方-人教版新七年级《数学》暑假自学提升讲义（解析版）

第第页第08讲有理数的乘方（5个知识点+7个考点+易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解有理数的乘方的意义,并能进行乘方运算2.掌握有理数的混合运算顺序,并能熟练、正确地进行计算3.借助生活进一步感受较大的数,并能用科学记数法表示绝对值大于10的数4.了解近似数的意义,能按要求取近似数知识点1.有理数乘方的意义（重点）1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。2、乘方的意义：表示个相乘。3、写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．如：＝()×()，表示两个相乘．而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．4、与－的区别．(1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方．(2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数．如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8．注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)；解析：首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么．解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是5；(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝(eq\f(2,5))6，其中底数是eq\f(2,5)，指数是6；方法总结：乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．【变式1-1】（1）根据有理数乘方的意义，算式可表示为．（2）在中指数是，底数是．【答案】4【分析】（1）根据题意写成有理数乘方的形式即可；（2）根据幂的概念即可求解．【详解】解：（1）；（2）在中指数是，底数是．故答案为：；；；【点睛】本题主要考查有理数乘方的应用、幂的概念，掌握幂的概念是解题的关键．【变式1-2】（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）表示（

）A．乘5 B．5个相加 C．5个相乘 D．2个相加【答案】C【分析】根据乘方的意义：表示个数相乘，即可．【详解】解：表示5个相乘；故选C．【点睛】本题考查有理数的乘方．熟练掌握表示个相乘，是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•黄山期末）﹣25表示的意义是（）A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数【分析】原式利用乘方的意义判断即可．【解答】解：﹣25表示的意义是5个2相乘的相反数，故选：B．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．知识点2.有理数乘方运算的符号规律（重点）乘方运算的符号规律．(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇次幂是负数．(3)负数的偶次幂是正数．(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．所以，任何数的偶次幂都是正数或0。【例2】计算：(1)－(－3)3;(2)(－eq\f(3,4))2；(3)(－eq\f(2,3))3;(4)(－1)2015.解析：可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27；(2)(－eq\f(3,4))2＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16)；(3)(－eq\f(2,3))3＝－(eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3))＝－eq\f(8,27)；(4)(－1)2015＝－1.方法总结：乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；－1的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1.【变式2-1】计算：，．【答案】1【详解】解：，，【变式2-2】计算：；；．【答案】【变式2-3】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据有理数乘方计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键．知识点3.有理数的混合运算（难点）1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即，【例3】计算：(1)(－5)－(－5)×eq\f(1,10)÷eq\f(1,10)×(－5)；(2)－1－{(－3)3－[3＋eq\f(2,3)×(－1eq\f(1,2))]÷(－2)}．解析：(1)题是含有减法、乘法、除法的混合运算，运算时，一定要注意运算顺序，尤其是本题中的乘除运算．要从左到右进行计算；(2)题有大括号、中括号，在运算时，可从里到外进行．注意要灵活掌握运算顺序．解：(1)(－5)－(－5)×eq\f(1,10)÷eq\f(1,10)×(－5)＝(－5)－(－5)×eq\f(1,10)×10×(－5)＝(－5)－25＝－30；(2)－1－{(－3)3－[3＋eq\f(2,3)×(－1eq\f(1,2))]÷(－2)}＝－1－{－27－[3＋eq\f(2,3)×(－eq\f(3,2))]÷(－2)}＝－1－{－27－2÷(－2)}＝－1－{－27－(－1)}＝－1－(－26)＝25.方法总结：有理数的混合运算可用下面的口诀记忆：混合运算并不难，符号第一记心间；加法需取大值号，乘法同正异负添；减变加改相反数，除改乘法用倒数；混合运算按顺序，乘方乘除后加减．【变式3-1】计算：．【答案】20【详解】解：．【变式3-2】计算：【答案】【详解】解：原式．【变式3-3】计算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)3【详解】（1）原式；（2）原式【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．知识点4.科学记数法（重点）（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【例4】我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨，将167000用科学记数法表示为()A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×106解析：根据科学记数法的表示形式，先确定a，再确定n，解此类题的关键是a，n的确定.167000＝1.67×105，故选C.方法总结：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式4-1】2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（）A．0.22819×1010 B．0.22819×1011 C．2.2819×1010 D．2.2819×1011【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．故选：C．【变式4-2】用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（）A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，故选：A．【变式4-3】已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.解析：(1)将2.01的小数点向右移动4位即可；(2)将6.070的小数点向右移动5位即可；(3)将－3扩大1000倍即可．解：(1)2.01×104＝20100；(2)6.070×105＝607000；(3)－3×103＝－3000.方法总结：将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．知识点5.近似数（难点）（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．【例5.1】下列数据中，不是近似数的是()A．某次地震中，伤亡10万人B．吐鲁番盆地低于海平面155mC．小明班上有45人D．小红测得数学书的长度为21.0cm解析：A.某次地震中，伤亡10万人中的10为近似数，所以A选项错误；B.吐鲁番盆地低于海平面155m中的155为近似数，所以B选项错误；C.小明班上有45人中45为准确数，所以C选项正确；D.小红测得数学书的长度为21.0cm中的21.0为近似数，所以D选项错误，故选C.方法总结：经过“四舍五入”得到的叫近似数，一般用工具量出来的数都是近似数；能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数，一般通过计数数出来的数都是准确数．【例5.2】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到千分位） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001）【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确，故A不符合题意；B、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误，故B符合题意；C、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确，故C不符合题意；D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确，故D不符合题意；故选：B．【例5.3】近似数1.70所表示的准确值a的范围是()A．1.700＜a≤1.705B．1.60≤a＜1.80C．1.64＜a≤1.705D．1.695≤a＜1.705解析：若是向前进1得到的，那么a≥1.695；若是舍去下一位得到的，那么a＜1.705，∴1.695≤a＜1.705.故选D.方法总结：此题不是由准确数求近似数，而是由近似数求准确数的范围，这是对逆向思维能力的考查．【变式5-1】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？(1)25.7;(2)0.407；(3)4000万；(4)4.4千万．解析：精确度由最后一位数字所在的位置确定，一般来说，近似数四舍五入到哪一位，就精确到哪一位．解：(1)25.7(精确到十分位)；(2)0.407(精确到千分位)；(3)4000万(精确到万位)；(4)4.4千万(精确到百万位)．方法总结：若是汉字单位为“万”、“千”、“百”类的近似数，精确度依然是由其最后一位数所在的数位确定，但必须先把该数写成单位为“个”的数，再确定其精确度．【变式5-2】下列说法正确的是()A．近似数4.60与4.6的精确度相同B．近似数5千万与近似数5000万的精确度相同C．近似数4.31万精确到0.01D．1.45×104精确到百位解析：选项A.近似数4.60精确到百分位，4.6精确到十分位，故错误；选项B.近似数5千万精确到千万位，近似数5000万精确到万位，故错误；选项C.近似数4.31万精确到百位．故错误；选项D.正确．故选D.方法总结：解答此题应掌握数的精确度的知识，保留整数精确度为1，一位小数表示精确到十分之一，两位小数表示精确到百分之一等．【变式5-3】用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数．(1)0.6328(精确到0.01)；(2)7.9122(精确到个位)；(3)47155(精确到百位)；(4)130.06(精确到0.1)；(5)4602.15(精确到千位)．解析：(1)把千分位上的数字2四舍五入即可；(2)把十分位上的数字9四舍五入即可；(3)先用科学记数法表示，然后把十位上的数字5四舍五入即可；(4)把百分位上的数字6四舍五入即可；(5)先用科学记数法表示，然后把百位上的数字6四舍五入即可．解：(1)0.6328≈0.63(精确到0.01)；(2)7.9122≈8(精确到个位)；(3)47155≈4.72×104(精确到百位)；(4)130.06≈130.1(精确到0.1)；(5)4602.15≈5×103(精确到千位)．方法总结：按精确度找出要保留的最后一个数位，再按下一个数位上的数四舍五入即可．易错点：含乘方运算时符号考虑不全产生漏解【例6】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下：解：原式⋯⋯（1）⋯⋯（2）⋯⋯（3）(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）(2)请给出正确的解题过程．【答案】(1)（1）(2)过程见解析【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键；（1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案；（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可；【详解】（1）解：第（1）步就出现错误；（2）；考点1：有理数的混合运算1.计算：．【答案】【详解】解：原式．2.计算：．【答案】【详解】解：原式．3.计算：．【答案】【详解】解：．4.计算：．【答案】【详解】考点2：用科学记数法表示数5．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示）【答案】它工作可进行次运算【详解】解：，（次），答：它工作可进行次运算．6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．答：行驶的路程为1.08×1012m．7.已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．考点3：按要求取近似值8.由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位【解答】解：近似数8.8×103精确到百位．故选：C．9．小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为（）A．1.675≤a＜1.685 B．1.675＜a≤1.685 C．1.675≤a≤1.685 D．1.675＜a＜1.685【解答】解：小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为1.675≤a＜1.685．故选：A．10.数精确到位．【答案】百【详解】解：数精确到百位，11.下列问题中出现的数，哪些是精确值哪些是近似值(1)某院校的某专业计划招生人；(2)小明的立定跳远成绩是；(3)若尘的这次数学考试成绩是分；(4)据统计，公园门口每月的车流量大约是辆．【答案】(1)准确数(2)近似数(3)准确数(4)近似数【详解】（1）解：某院校的某专业计划招生人，是准确数；（2）小明的立定跳远成绩是，是近似数；（3）若尘的这次数学考试成绩是分，是准确数；（4）据统计，公园门口每月的车流量大约是辆，是近似数．考点4:有理数乘方与其他知识的综合应用12．（23-24七年级上·重庆江津·期中）若，则．【答案】【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，平方的非负性，解题的关键是求出、的值，准确进行计算．先根据绝对值和平方的非负性求出、的值，然后再代入中计算即可．【详解】，，，，，将，代入中得：，故答案为：．13．（22-23七年级上·广东湛江·期末）若，则．【答案】【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．14．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握绝对值、平方数的非负性，有理数的乘方运算是解题的关键．根据绝对值、平方数的非负性可求出的值，代入求值即可．【详解】解：在中，∵，，∴，∴，故答案为：．考点5：有关乘方的规律探究问题15．观察下列等式：，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是（

）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】C【详解】解：继续计算：，…，显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，而，所以的个位数字是8；故选：C．16．观察下列等式：，，，，，，解答下列问题：的末尾数字是【答案】2【详解】解：∵，，，，，，∴末尾数，每4个一循环，∵，∴的末位数字相当于：的末尾数为2．17．观察下列算式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，…那么的个位数字是．【答案】7【详解】已知，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，又，所以的末位数字与的末位数字相同是7．18．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？【答案】(1)16(2)3【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞，经过2小时后，可分裂成16个细胞；（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞；第2个30分钟分裂成4个，即个；…依此类推，第个30分钟分裂为个细胞；，解得，经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．考点6：利用有理数乘方解决实际问题19．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴”的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【答案】B【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算．【详解】解：，，故选：B20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积．【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是，故选：C．21．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．(1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式．（1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可；（2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可．【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：，第二个正方体纸盒的体积为：，∵，∴第二个正方体纸盒的棱长为；（2）解：，答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多．考点7：有关乘方的拓展创新题22．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．【解答】解：（1）5×6﹣2×3＝24；（3+5）×（6÷2）＝24；（5﹣3）×2×6＝24；（2）如抽到黑桃3、红桃4、方块6、梅花10，则有：3×6+10﹣4＝24．23．阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．(1)填空：，

(2)如果，求m的值．(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．【答案】(1)1；4(2)29(3)不正确，理由见解析，【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案为：1，4；（2）∵，∴，∴；（3）不正确，理由如下：设，，则，（，，，），∵，∴，∴，即．24.概念学习：现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究：(1)直接写出计算结果：；；(2)下列关于除方说法中，错误的有；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(3)归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：aⓝ=；(4)比较：；（填“＞”“＜”或“=”）(5)计算：．【答案】(1)1，-3(2)D(3)(4)(5)【详解】（1）；；故答案为：1；；（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意；B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意；C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意；D．圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次等于，故D符合题意；故选：D；（3）aⓝ，故答案为：；（4）∵，，∴，故答案为：；（5）25．（本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．运算法则如下：(1)填空：______，______；(2)如果，且，求出x的值；(3)如果，请直接写出x的值______．【答案】(1)，；(2)；(3)，，．【详解】（1）解：，，故答案为：，；（2）解：因为，所以，所以，因为，所以，解得：；（3）由题意知，①，解得：；②，解得：；③且与为偶数，解得：；综上，，，．一、单选题1．（23-24七年级上·福建南平·期末）年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约人次，将数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得到答案．【详解】解：，故选：B．2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各组数中，其值相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练应用有理数的乘方运算法则是解题关键；分别利用有理数的乘方运算法则求出进而比较得出即可；【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选：C．3．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（

）A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位）C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到【答案】C【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．【详解】解：A．（精确到，正确，不符合题意；B．（精确到百分位），正确，不符合题意；C．（精确到十分位），原说法错误，符合题意；D．（精确到，正确，不符合题意；故选C．4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（

）天

A．510 B．511 C．513 D．520【答案】A【分析】本题考查了计数方法，有理数的混合运算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，再列式计算即可．【详解】解：（天），答：孩子自出生后的天数是510天．故选：A．5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：，故选：C．二、填空题6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是，指数是．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题．【详解】解：在中底数是，指数是，故答案为：，7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）用四舍五入法将精确到百分位约为．【答案】【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位约为．故答案为：．8．（22-23七年级上·江西宜春·期中）3.14（精确到十分位）．【答案】【分析】本题要求熟练掌握对近似数的精确度理解是否深刻，能熟练运用四舍五入法取近似数．3.14精确到十分位，即精确到小数点后第一位．【详解】3.14（精确到十分位），故答案为：．9．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算：，，．【答案】4/【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，正确计算出结果是解题的关键．根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可．【详解】解：，，，故答案为：，4，．10．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）下列说法正确的有①倒数为本身的数是0，；②绝对值为它的相反数的数一定是负数；③若，则；

④任何一个有理数的平方为非负数．【答案】④【分析】此题考查绝对值、相反数、倒数和有理数的乘方，关键是掌握绝对值、相反数和倒数的定义．根据绝对值、相反数、倒数和有理数的乘方解答即可．【详解】解：①倒数为本身的数是，故①错误；②绝对值为它的相反数的一定是0和负数，故②错误；③若，则，故③错误；④任何一个有理数的平方为非负数，故④正确．所以，正确的结论是④．故答案为：④．11．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是．【答案】7【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：已知，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，又，所以的末位数字与的末位数字相同是7．故答案为：7．12．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图（单位：个），甲、乙、丙三只袋中装有球29个、74个、38个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于．

【答案】5【分析】本题考查有理数的乘方，先求得三只袋中球的个数都相同时的个数，然后分别求得，的值后即可求得，的值，继而求得的值．【详解】解：，则①，，即②，由②得：，将②代入①整理得：，则，，故答案为：5．13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即），那么．【答案】14【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的乘方运算，由，，可求出，，继而可计算出结果．【详解】解：，，，，，故答案为：14．14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出根细面条．【答案】256【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：∵第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根，…∴第8次后可拉出根，，故答案为：256．15．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）数乘，积是一个完全平方数，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要了考查完全平方数，根据题意先把分解因数，结合最小即可求得的值，解题的关键是正确理解完全平方数可以分解为两个相同数的乘积．【详解】解：由，∵数乘，积是一个完全平方数，∴是一个完全平方数，∴的最小值为，故答案为：．16．（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键．根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：第一天截取后木棍剩余长度为：，第二天截取后木棍剩余长度为：，第三天截取后木棍剩余长度为：，第天截取后木棍剩余长度为：，第6天截取后木棍剩余长度为：．故答案为：．三、解答题17．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）计算：．【答案】．【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可．【详解】解：原式18．（23-24七年级上·广东珠海·阶段练习）计算：【答案】【分析】本题考查了求一个数的绝