第7章 三角函数综合能力测试-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第7章三角函数综合能力测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，故与的终边相同的角的集合即选项B正确；选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.故选：B.2．角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据三角函数定义可知，又，则.故选：A3．当时，函数（）A．在区间上单调递增，在区间上单调递减B．在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减C．在区间上单调递减，在区间上单调递增D．在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减【答案】B【解析】函数，，，为减函数，，为增函数，，为减函数，故选：B4．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D【解析】设半径为，则周长，则，扇形面积，故选D．5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：.故选：C.6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，即，显然，所以，则，又，所以，所以.故选：D7．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.故选：A.8．已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为恒成立，则，所以，，则，当时，，因为，则，因为在区间上恰有个零点，则，即，，解得，，假设不存在，则或，解得或，因为存在，则，因为，则.所以，，可得，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（多选）下列说法正确的有（）A．B．若角是锐角，则是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，则是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要条件是【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，若角是锐角，所以，所以，则是第一或第二象限角，或在轴正半轴上，故B错误；对于C，若角是第二象限角，则，所以，则是第一或第三象限角，故C正确；对于D，角是第三或第四象限角，则，若，则角是第三或第四象限角或在轴负半轴上，所以不是角是第三或第四象限角的充要条件，故D错误.故选：AC10．已知，，则下列结论正确的是（

）A．为第二象限角 B．C． D．【答案】ABD【解析】由同角三角函数平分关系可得，，因为，所以，解得，,因为，所以是第二象限角，故选项，正确，有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，因为，故选项正确.故选：.11．已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则（）A．的最小正周期为 B．的最小正周期为C． D．【答案】AC【解析】由题意知，函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，可得，所以，所以A正确、B错误；又由，可得，因为，即，解得，所以，又因为，可得，所以，所以C正确，D错误.故选：AC.12．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．B．函数的图象关于直线对称C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象D．若方程在上有两个不等实数根，，则【答案】ACD【解析】对于A：由图可知，，所以，所以，则，将点代入得：，所以，，又，所以，所以，A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，将函数图象向右平移个单位，可得函数，故C正确；对于D，因为，所以函数图象关于对称，由条件结合图象可知，于是，所以，故D正确．故选：ACD．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为.【答案】【解析】由,得，函数的定义域是.故答案为：.14．已知的终边上有一点，则的值为.【答案】/【解析】因为的终边上有一点，可得则.故答案为：.15．将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），再向左移动个单位得到函数的图象，若，且，则=.【答案】【解析】将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），得到，再向左移动个单位，可得：，因为，则，且直线为的对称轴，又因为，则，可得，所以.故答案为：.16．函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则.【答案】/【解析】因为，所以为函数的对称中心，因为恒成立，所以，所以为函数的对称轴，又因为在区间上有最小值而无最大值，所以，解得，所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；条件③：角满足．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，可得，，由三角函数的定义可得条件②：因为角满足，又因为，即可得所以，可得条件③：因为角满足，又因为，即，可得又，∴，即（2）易知由（1）可知：，当时，原式；当时，原式.18．（12分）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)若，求的最大值和最小值.【解析】（1）因为，所以的最小正周期为.（2）因为，所以，所以，则，即，当，即时，有最大值为1，当，即时，有最小值为，所以当时，的最大值为1，的最小值为.19．（12分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.(1)求关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.【解析】（1）根据题意，可算得，．因为，所以，所以，.（2）根据题意，可知，当时，.综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.20．（12分）已知函数，当时，取得最大值2，的图象上与该最大值点相邻的一个对称中心为点．(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．【解析】（1）设的最小正周期为，由题意可知：，，则，可得，则，且图象过点，可得，则，解得，又因为，可知，所以．（2）由题意可得：，因为，则，可得，即，所以在区间上的值域为．21．（12分）已知函数的最小正周期为，其图象关于点对称.(1)令，判断函数的奇偶性；(2)是否存在实数满足对任意，任意，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）的最小正周期为.函数的图象关于点对称，.，，易得定义域为，函数为偶函数.（2）由（1）可知，实数满足对任意，任意，使得成立即成立令，设，那么，可等价转化为：在上恒成立.令，其图象对称轴，①当时，即，解得；②当，即时，，解得；③当，即时，，解得；综上可得，存在，且的取值范围是.22．（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.【解析】（1）由，得，则则为偶函数，于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以，又，所以，故.（2）因为，所以，故，，而恒成立，即，