第6章 幂函数、指数函数和对数函数综合能力测试-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第6章幂函数、指数函数和对数函数综合能力测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴恒过定点，∴，，∴，其图象不经过第四象限，故选：D.2．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因为为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以.故选:A.3．若为偶函数，则（

）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】由，得或，由是偶函数，，得，即，即，则，由于不恒为0，所以，得，故选：D4．设，，，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，，因此，.故选：B.5．已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，单调递增且，所以当时，也单调递增，则解得，所以.故选：B.6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因为函数是定义在上的偶函数，所以可化为因为在区间单调递增，所以，所以，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即的取值范围是，故选：A7．函数的单调递增的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，解得，设，即求函数在中的减区间，即．故选：C．8．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由可得：，则，所以函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，又时，在上单调递增，则在上单调递减，若，则，即，所以或，解得：或，所以实数的取值范围是，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设指数函数，且，则下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，，，所以，故A正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D错误；故选：ABC．10．下列命题正确的是（

）A．函数为偶函数B．函数在上单调递增C．函数在区间上单调递减D．函数与的图像关于直线对称【答案】ABD【解析】对于A，定义域为,关于原点对称，又由于，所以为偶函数，A正确，对于B，，由于函数在单调递增，所以在单调递减，因此在单调递增，B正确，对于C，由于函数为定义域上的偶函数，当时，在区间上单调递增，故C错误，对于D，由于函数与互为反函数，所以两者图象关于，D正确，故选：ABD11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（

）A．在上是增函数 B．是奇函数C．的值域是 D．的值域是【答案】BC【解析】根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.故选：BC12．设都是定义域为的单调函数，且对于任意，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为是上的单调函数，且对于任意，设，其中为常数，即，；又因为，所以，可得，即，解得，所以；由可得，即；所以，，即，所以A错误，B正确；由可知，恒成立；即C正确；由函数的值域为可知，不一定成立，故D错误．故选：BC．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定义在上的函数满足：对于且，①，②.试写出满足以上两个条件的一个函数．【答案】（答案不唯一）【解析】因为对于，都有，所以对应的函数可以是指数函数（且），因为对于且，有，所以此函数在上为增函数，所以，所以满足以上两个条件的一个函数为，故答案为：（答案不唯一）14．设函数（为常数）．若为奇函数，则．【答案】【解析】由题意函数为奇函数，所以有，解得，当时，有，显然此时的定义域为关于原点对称，且有成立，故满足题意.故答案为：.15．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由于在区间上是严格增函数，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：16．已知函数，若，则.【答案】6【解析】函数的定义域为，又因为，则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【解析】（1），故，，所以，解得；（2）令，当时，，故，由于在上单调递增，故，由复合函数单调性可知，在上单调递增，故.18．（12分）已知函数，且.(1)求a及的值；(2)判断的奇偶性并证明.【解析】（1）由已知可得，，解得，，所以，，所以，.（2）为奇函数由（1）知，，定义域为关于原点对称，又，所以，为奇函数.19．（12分）已知幂函数在上单调递减.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，则，解得，故.（2）由（1）可知，对任意的恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，因此，实数的取值范围是.20．（12分）已知函数是奇函数，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）是奇函数，经检验当时，是奇函数符合题意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，.21．（12分）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.(1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；(2)求函数，的最小值.【解析】（1）定义在R上的奇函数和偶函数，则，∵①，∴，即②，联立①②解得:，在上单调递增，证明如下:设，且，，，，，即，在单调递增.（2），令，可知时单调递增，则，，令，当，即时，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，则；综上，当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.22．（12分）已知函数且．(1)当时，求的单调增区间；(2)是否存在，，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．【解析】（1）时，，由解得或，所以的定义域为，函数图象开口向上，对称轴为，在上单调递增