专题1.1 集合的概念与表示（七大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页专题1.1集合的概念与表示课程标准学习目标A．理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．B．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．C．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．感受集合语言的意义和作用．1、数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2、逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3、数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4、直观想象：集合的图形表示；5、数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类．知识点一：集合的有关概念1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．知识点诠释：（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．2、关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．知识点诠释：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．3、元素与集合的关系：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、常用数集及其表示非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R【即学即练1】下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.知识点二：集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…．2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．知识点诠释：（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．【即学即练2】下列说法正确的是________________①与集合相等②方程的所有实数根组成的集合可记为③全体偶数组成的集合为④集合表示一条过原点的直线【答案】④【解析】解方程化简集合，可判断①错；讨论的取值，可判断②错；用集合表示偶数集，可判断③错；根据点集的集合表示，可判断④正确.①由得或，因此与集合不相等；即①错；②当时，方程的解为，方程的所有实数根组成的集合为，不能表示为；即②错；③全体偶数组成的集合为；即③错；④集合表示直线上的所有点，即集合表示一条过原点的直线；即④正确.故答案为：④.知识点三：集合的分类一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集．【即学即练3】已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.(1)若A是空集，求a的范围；(2)若A是单元素集合，求a的范围：(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【解析】（1）若A是空集，则方程无解，当时，方程有解，不符合题意；当时，，得.综上所述：.（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，当时，方程有唯一解，符合题意；当时，，得.综上所述：或.（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，当方程无解时，由（1）知，；方程有唯一实根时，由（2）知，或.综上所述：或.题型一：集合的含义例1．（2023·全国·高一假期作业）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生B．2022年高考数学难题C．所有有理数D．小于x的正整数【答案】B【解析】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B例2．（2023·全国·高一假期作业）下列四组对象能构成集合的是（

）A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学C．晓天镇的大河 D．著名的数学家【答案】B【解析】集合元素具有确定性，高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.故选：B例3．（2023·全国·高一假期作业）下列各选项中能构成集合的是（

）A．学生中的跑步能手 B．中国科技创新人才C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家【答案】D【解析】对于A，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A错误，对于B，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B错误，对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C错误，对于D，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D正确，故选：D【方法技巧与总结】判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．题型二：元素与集合的关系例4．（2023·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；是无理数，所以，所以②错误；不是正整数，所以，所以③正确；，所以④正确；是无理数，所以，所以⑤正确；，所以⑥错误.故选:A.例5．（2023·全国·高一假期作业）下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错；表示正整数集，0不是正整数，故B正确；Q表示有理数集，不是有理数，故C错；R表示实数集，是实数，故D错.故选：B.例6．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则（）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。题型三：集合中元素的特性及应用例7．（2023·全国·高一专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解析】根据集合中元素的互异性得，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.例8．（2023·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵，，∴当时，集合元素最多有1个；当时，，所以集合元素最多有2个；当时，，所以集合元素最多有2个；故选：A例9．（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，故，即，即a可取2，即A，B，C错误，D正确，故选：D【方法技巧与总结】题型四：用列举法表示集合例10．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，用列举法表示M＝______．【答案】【解析】根据题意，应该为6的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.又，所以的值分别为：4，3，2.故集合.故答案为：例11．（2023·湖南长沙·高一统考期末）用列举法表示______．【答案】【解析】因为且，所以或或或，解得或或或，所以对应的分别为、、、，即；故答案为：例12．（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.【解析】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}.（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}.变式1．（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.（2）方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}.（3）由,得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}.变式2．（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）若集合中只含有一个元素，则用列举法表示_________.【答案】或【解析】当时，由方程解得，；当时，由解得，方程为，解得，.故答案为：或【方法技巧与总结】用列举法表示集合的三个步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来。题型五：用描述法表示集合例13．（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解析】（1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．（2）不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．（3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.（4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．例14．（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．【解析】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．例15．（2023·高一课时练习）集合表示的是__________.【答案】第三象限内点的集合【解析】由，解得，则集合表示的是第三象限内点的集合.故答案为：第三象限内点的集合变式3．（2023·高一课时练习）用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合_______.【答案】【解析】根据被3除余2的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解.由题意，设备3除的商为，余数为2，这个数可表示为，所以设被3除余2的自然数组成的集合为.故答案为：.【方法技巧与总结】描述法表示集合的2个步骤题型六：集合表示法的综合应用例16．（2023·高一课时练习）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则_____.【答案】【解析】当都为正数时，可得；当都为负数时，可得；当两正一负时，可得；当一正两负时，可得，所以集合.故答案为：.例17．（2023·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为____．【答案】1【解析】因为A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，所以，所以集合B中只有一个元素，故答案是1.例18．（2023·全国·高一专题练习）给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为；②方程的解集为；③集合与是不相等的．其中正确的是______（填序号）．【答案】①③【解析】对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点，所以①正确；对于②中，方程的解为，解集为或，所以②不正确；对于③中，集合，集合，这两个集合不相等，所以③正确．【方法技巧与总结】集合表示法中元素与集合的关系（1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键；（2）若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；题型七：集合的创新定义例19．（2023·高一课时练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.【答案】【解析】由题意可知，不含“孤立元”的个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合有：、、、、、，共个.故答案为：.例20．（2023·陕西咸阳·高一武功县普集高级中学校考阶段练习）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数，定义，若，则实数a的所有可能取值构成集合P，则______．（请用列举法表示）【答案】【解析】∵，，∴或，当时，或.当时，有3个解，所以只有一个解不为1和，则，解得，当时，，则此时，不符合题意；当时，，则此时，符合题意；所以，，故.故答案为：．例21．（2023·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的___________.【答案】【解析】当时，；当时，；当，时，，所以.故答案为：变式4．（2023·广东中山·高一统考阶段练习）以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位．将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为，例如．则集合可以用列举法表示为______．【答案】【解析】第一次操作后，每一部分的中点在操作之后对应的坐标都是2，与对应点的坐标为2，只有一个，因此；第二次操作后，与4对应的点应取0和2的中点1，2和4的中点3，共2个，因此；第三次操作后，与4对应的点应取0和1的中点，1和2的中点，2和3的中点，3和4的中点，故答案为：【方法技巧与总结】一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。一、单选题1．（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（）A．3 B．2C．1 D．0【答案】D【解析】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确．联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），∴所求集合为且，故③不正确．故选：D.2．（2023·广西河池·高一校联考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合，因为，所以．故选：B．3．（2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然数，故，（1）正确；是无理数，故，（2）错误；由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误；数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；方程的解为，可以构成集合，（5）正确；故选：A4．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】C【解析】因为关于x的方程的解集只有一个元素，所以，解得.故选：C5．（2023·福建宁德·高一统考期末）下列集合与区间表示的集合相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】区间表示的集合为，A.集合表示点集，只有一个元素，故A错误；B.，故B正确；C.，表示数集，其中只有2个元素，故C错误；D.，故D错误.故选：B6．（2023·云南怒江·高一校考期末）已知集合，则集合中元素的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2,故中共有3个元素.故选:B.7．（2023·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】因为且，当时，可能为，此时的取值为：；当时，可能为，此时的取值为：；当时，可能为，此时的取值为：；综上可知：，所以集合中元素个数为5，故选：D.二、多选题8．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法错误的是A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为B．方程的解集为C．集合与是同一个集合D．若，则【答案】BCD【解析】对于：因为等价于或，如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限，所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确；对于：由于方程的解集等价于，解得，故解集为，故错误；对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集，集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；对于：因为，则，故错误，故选：BCD．9．（2023·江苏·高一假期作业）方程组的解集可表示为（）A． B．C．{1，2} D．【答案】ABD【解析】方程组的解为，方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，∴、、均符合题意．故选：ABD．10．（2023·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为集合，且，则或，解得.当时，集合中的元素不满足互异性；当时，，集合中的元素不满足互异性；当时，，合乎题意.综上所述