4.2 对数（九大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页4．2对数课程标准学习目标1、了解对数的概念．2、会进行对数式与指数式的互化．3、掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程．4、通过对数的运算性质的探素及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识1、数学抽象：对数运算性质的符号表示2、逻辑推理：对数运算性质的推导、理解指数运算与对数运算之间的关系3、数学运算：对数运算性质的运用4、数学建模：能运用对数运算解决实际问题知识点01对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（ 且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，则，解得或.故选：B.知识点02对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：，，．【即学即练2】＝（

）A．1 B．2C．－1 D．－5【答案】C【解析】原式.故选：C知识点03对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．【即学即练3】化简求值：.【答案】/0.75【解析】.故答案为：题型一：对数的定义例1．（2023·全国·高一专题练习）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，故选：C例2．（2023·高一校考课时练习）若，则x的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【解析】且故选：B例3．（2023·北京·高一东直门中学校考阶段练习）使式子有意义的x的取值范围是（

）A． B． C． D．,且【答案】D【解析】根据对数的定义得到不等式组解得.解得，即且.故选：变式1．（2023·高一课时练习）对数式中实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，根据对数函数的性质，可得对数式，满足，解得，即实数a的取值范围是.故选D.变式2．（2023·高一单元测试）使对数有意义的的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】使对数有意义的需满足,解得．故选B．变式3．（2023·江苏·高一假期作业）在中，实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】由对数的定义知，解得或.故选C．【方法技巧与总结】对数式中各字母的取值范围是：且，，．题型二：指数式与对数式互化及其应用例4．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).【解析】（1）由可得.（2）由，可得.（3）由，可得.例5．（2023·高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（2）（3）（4）例6．（2023·全国·高一专题练习）将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）因为，所以有：.（2）因为，所以有：.（3）因为，所以有：.（4）因为，所以有：.（5）因为，所以有：.（6）因为，所以有：.变式4．（2023·高一课时练习）将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝；(2)；(3)lg1000＝3；(4)【解析】（1）由2－7＝，可得log2＝－7.（2）由，可得＝32.（3）由lg1000＝3，可得103＝1000.（4）由，可得e2＝x.变式5．（2023·高一课时练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因为，所以．（2）因为，所以．（3）因为，所以．（4）因为，所以．变式6．（2023·全国·高一专题练习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由，得，∴；（2）由，得，且；（3）由，得，∴，.∵，∴或．变式7．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0).【解析】(1)(2)(3)(4)(5)(x>0，且x≠1，y>0)【方法技巧与总结】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.题型三：利用对数恒等式化简求值例7．（2023·江西赣州·高一校考期中）的值.【答案】12【解析】由对数恒等式得，故答案为：12.例8．（2023·浙江杭州·高一统考期末）计算：，.【答案】【解析】根据指对数关系化简求值.因为，所以故答案为：例9．（2023·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）已知，，则．【答案】72【解析】由，所以.故答案为：72变式8．（2023·江苏·高一校联考期中）计算．【答案】【解析】利用指数与对数运算性质即可得出．原式．故答案为:．变式9．（2023·浙江丽水·高一统考期末）若a＝log23，则＝．【答案】．【解析】由对数式可容易求得，代值即可解得.因为，故可得，则，故.故答案为：.变式10．（2023·全国·高一专题练习）设，则的值等于（

）A．10 B．13 C．100 D．【答案】B【解析】由对数的性质，得，所以，故选：B.变式11．（2023·高一课时练习）若，则的值是A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选项.【方法技巧与总结】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.题型四：积、商、幂的对数例10．（2023·甘肃·高一统考期中）求值:(1);(2);【解析】（1）；（2）.例11．（2023·河北石家庄·高一校考期中）计算(1)(2)(3)【解析】（1）；（2）（3）.例12．（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）计算下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1）；（2）.变式12．（2023·江苏南京·高一校考期末）计算：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.变式13．（2023·高一课时练习）求下列各式中x，y的值：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则，；（7）若，则.【答案】9984或2951264【解析】（1）由，得，所以，所以；（2）由，得，所以；（3）由，得，所以或；（4）由，得，所以；（5）由，得，所以；（6）由，得，，所以，；（7）由，得，.得，所以故答案为：（1），（2）998，（3）4或，（4），（5）2，（6）9；512，（7）64.变式14．（2023·高一课时练习）计算：．【答案】5【解析】，故答案为：5变式15．（2023·全国·高一专题练习）．【答案】/【解析】,故答案为:.变式16．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）计算：．【答案】9【解析】原式.故答案为：9【方法技巧与总结】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．题型五：一类与对数有关方程的求解问题例13．（2023·高一课时练习）方程的实数解为.【答案】【解析】方程可得：，即，化简得：，所以，由题意令（），则，所以，即.故答案为：.例14．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则．【答案】【解析】解:由题知的两个实数根是、,根据韦达定理有,即,即,.故答案为:例15．（2023·高一课时练习）方程log2(5－x)＝2，则x＝．【答案】1【解析】5－x＝22＝4，∴x＝1．故答案为：1．变式17．（2023·高一单元测试）方程的解是.【答案】/4【解析】由题意知解得.故答案为：变式18．（2023·上海·高一专题练习）方程的解为.【答案】2.【解析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.方程等价于，所以，解得.故答案为：2.变式19．（2023·江苏·高一专题练习）若是方程的两个实根，则的值为．【答案】12【解析】原方程可化为，设，则原方程可化为．设方程的两根为，，则，．由已知a，b是原方程的两个根．可令，，则，，．故答案为：.变式20．（2023·高一课时练习）方程的解是.【答案】【解析】原方程可变为，即，即，即，解得.故答案为.变式21．（2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）方程的解是.【答案】【解析】且，且，即解得（舍），即方程的解是3.变式22．（2023·高一课时练习）方程log3（1-2•3x）=2x+1的解x=．【答案】【解析】∵log3（1-2•3x）=2x+1，∴1-2•3x=32x+1，∴3•（3x）2+2•3x-1=0，∴（3•3x-1）（3x+1）=0，所以或解得x=-1所以方程的解为x=-1变式23．（2023·江西抚州·高一统考期末）已知，若，则.【答案】8【解析】由，且所以是方程的两根，解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.【方法技巧与总结】直接利用定义法或者换元法题型六：对数运算法则的应用例16．（2023·湖北十堰·高一校考阶段练习）化简与求值：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）．例17．（2023·海南·高一海南华侨中学校考阶段练习）求值：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例18．（2023·山东青岛·高一校考期中）计算下列各式：(1)；(2)【解析】（1）.（2）变式24．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．变式25．（2023·高一课时练习）计算：（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；（2）.【解析】；（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝.（2）＝＝＝＝＝＝＝1.【方法技巧与总结】（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.题型七：换底公式的运用例19．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则A的值是.【答案】或1【解析】由,得.当时,,满足条件.当时,由,得,从而,即,得.故答案为：或1.例20．（2023·全国·高一专题练习）已知，则．【答案】【解析】由可得所以，，所以，故答案为：例21．（2023·高一课时练习）若，则．【答案】4【解析】由对数的运算性质，可得，所以，所以，解得.故答案为：4.变式26．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）记，那么.【答案】1.【解析】.故答案为：1变式27．（2023·江苏·高一阶段练习）已知，且，则.【答案】【解析】由题意得，，又由，得，即，解得.故答案为：.【方法技巧与总结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．题型八：由已知对数求解未知对数式例22．（2023·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）已知，则（结果用a，b表示）.【答案】【解析】因为，所以，则，故，故答案为：.例23．（2023·高一单元测试）已知，，用，表示为．【答案】【解析】依题意有，即，变形为，解得：，．所以，故答案为：.例24．（2023·湖北省直辖县级单位·高一阶段练习）已知，用表示，则．【答案】【解析】已知，则即答案为.变式28．（2023·全国·高一假期作业）已知，试用表示.【答案】【解析】因为，利用对数的换底公式可得：，，于是，,∴,故答案为：.变式29．（2023·江苏·高一专题练习）已知,，用表示=.【答案】【解析】因为，所以故答案为：变式30．（2023·高一单元测试）已知，试用a，b分别表示下列各式：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）

.变式31．（2023·江苏·高一阶段练习）已知，，用、表示.【解析】，由对数的换底公式可得，所以，.变式32．（2023·江苏·高一阶段练习）（1）已知，用a，b表示；（2）已知，用a，b表示.【解析】（1）．（2），，又，．【方法技巧与总结】利用对数运算法则的应用进行转换.题型九：证明常见的对数恒等式例25．（2023·江苏·高一假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明．【解析】或.证明如下：设，则，所以，因为，且，所以，即.当时，，所以；当时，，所以.所以或.例26．（2023·高一课时练习）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)举出一个反例说明不成立；(2)证明：.【解析】（1）假设，则，，.因为，所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）（2）令，则，，所以.例27．（2023·高一单元测试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：.理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得:，又因为，所以解决以下问题：（1）将指数转化为对数式：.（2）仿照上面的材料，试证明：.（3）拓展运用：计算.【解析】（1）将指数转化为对数式：.故答案为：.（2）证明：设，，所以，，所以，由对数的定义得，又因，所以；（3）故答案为：2.变式33．（2023·高一课时练习）证明：（1）；（2）.【解析】证明：（1）.故.（2），变式34．（2023·高一课时练习）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）（2）已知，试用表示.【解析】（1）设，写成指数式.两边取以为底的对数，得.因为，，，因此上式两边可除以，得.所以，.（2）.变式35．（2023·江苏·高一专题练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：（1）；（2）（，，）.【解析】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数，所以左边右边，所以，（2）因为a，b均为不等于1的正数，，，所以左边右边，所以（，，）变式36．（2023·高一课时练习）证明：.【解析】证明：由换底公式，当时有，故，证毕【方法技巧与总结】利用换底公式和作差法进行证明.一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据指数运算法则可知，，即A错误；再根据分数指数幂与根式化简可得，即B错误；由对数运算法则可知，，而，故C错误，D正确.故选：D2．（2023·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，则，所以，解得或，所以或，所以或，因为，所以或，所以或，所以或，故选：D3．（2023·云南保山·高一统考期末）新型冠状病毒特指2019年底爆发，世界卫生组织正式命名为2019新型冠状病毒（2019novelcoronavirus，2019-nCoV），“新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！”核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（参考数据：）（

）A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631【答案】C【解析】已知，化简为由题知，当时，,则即，所以，则故选：C.4．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，所以，故选：C5．（2023·江西赣州·高一统考期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B.6．（2023·广东深圳·高一统考期末）已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时，取等号，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以，故B错误；对于C，，当且仅当，即时，取等号，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以，故D错误.故选：C.7．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A．11或 B．11或 C．12或 D．10或【答案】A【解析】由，两边取对数得，所以或.当时，8，所以；当时，，所以，综上，或，故选：A.8．（2023·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】设，则，∵，即，整理得，注意到，则，解得，即.故选：D.二、多选题9．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】已知正实数，则设，所以，，，对于A，