第8章 函数应用 章末题型归纳总结 -苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第8章函数应用章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：函数的零点经典题型二：几个函数模型的比较经典题型三：函数的实际应用经典题型四：二分法经典题型五：零点分布问题经典题型六：函数与方程综合问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：函数的零点例1．（2023·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表x1234y1.213.7910.28以下说法中错误的是（

）A． B．当时，C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点【答案】D【解析】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确；对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确；对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确；对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误，故选：D.例2．（2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在上的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】先绘制在上的图像，根据是奇函数，可得到在上图像和，再由得到的周期为2，令，则，所以，即可得到的图像，由图可知，，所以在有6个零点，故选：D．例3．（2023·安徽蚌埠·高一统考期末）已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，，得，，，则为函数与交点横坐标，为函数与交点横坐标，为函数与交点横坐标，在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示，由图可知，，故选：A．例4．（2023·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】A【解析】因为，解之得或2，当时，；当时，，当且仅当时等号成立，所以，，的图象如图：由图可知使得或的点有4个.故选：A.例5．（2023·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为.故选：D.例6．（2023·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数，，的零点分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，即；因为，易知在上单调递增，又因为，所以；，易知在上单调递增，又因为，，所以；所以.故选：B.例7．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,所以,可得且在上单调递增,由，得．又因为，,可得,为定义在上的奇函数,又可得,根据题意作出满足要求的的大致图像,由图知，直线与的图像有4个公共点，所以有4个零点．故选：A.例8．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知定义在上的函数单调递增，且对任意恒有，则函数的零点为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】设，则，方程等价为，令，则，满足方程，∵函数单调递增，∴值唯一，∴，由得，解得，故函数的零点为.故选:B.例9．（2023·湖北荆州·高一校联考期末）已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】函数只有一个零点，则，不等式的解集为，即的解集为.设方程的两根为，则，且，∴，则，整理得，.故选：C.例10．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）若是函数的零点，则属于区间（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得，所以，即.又为上的减函数，由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点.故选：B．例11．（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）已知函数，若，且满足，则下列说法不正确的是（

）A．有且只有一个零点 B．的零点在内C．的零点不可能在内 D．的零点可能在内【答案】D【解析】函数的定义域为，因为函数在单调递减，在单调递增，所以函数在上单调递减，又，，所以有且只有一个零点，且零点在区间内，A正确，B正确；因为，所以的零点不可能在内，C正确；因为函数在上单调递减，又，，所以，又，所以，所以当时，，所以的零点不可能在内，D错误；故选：D.经典题型二：几个函数模型的比较例12．（2023·上海·高一专题练习）有一条长为米的步行道，A是垃圾投放点，以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系．设点，现要建设另一座垃圾投放点，把点到和的距离中较小的称为点的垃圾投放距离，记为函数．(1)若，求的值，并写出的函数解析式；(2)若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）由题意可知投放点，表示点的垃圾投放距离，所以，同理分析，，由题意得，，则当，即时，；当，即时，；综上；（2）由题意及（1）易得，所以，则与坐标轴围成的图形如阴影部分所示，所以与坐标轴围成的面积，又由题意知，即，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．例13．（2023·山东日照·高三统考期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）．(1)求单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）依题意可得，，所以.（2）当时，图象开口向上，对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增，所以；当时，，当且仅当，即时取得等号，因为，所以当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.例14．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【解析】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，代入与公式可得解得；（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；②疲劳阶段，则有，当且仅当，即时，“”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为，由于，因此，在时，运动员体力有最小值.例15．（2023·江苏常州·高一校联考期中）某电子公司在2023年生产某种电子产品，其固定成本为200万元，每生产一万台该电子产品需再增加投入10万元，已知总收入R（单位：万元）关于总产量x（单位：万台）满足函数：(1)将利润（单位：万元）表示成关于总产量x（单位：万台）的函数；(2)当总产量（单位：万台）为何值时，该电子公司所获利润最大，最大利润是多少万元？（利润＋总成本＝总收入）.【解析】（1）根据题意，当时，，当时，，所以函数的解析式为.（2）当时，可得，所以当时，万元；

当时，可得，当且仅当时等号成立，所以万元，所以，当总产量为50万台时，公司获得的月利润最大，最大利润为300万元.例16．（2023·广东广州·高一广州市协和中学校考期中）小明今年一月一日用24万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用年（）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）(1)该出租车第几年开始盈利（总收入超过总支出）？(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出；②当年平均盈利达到最大值时，以10万元卖出．试问哪一种方案较为合算？请说明理由．【解析】（1）由题意可得总收入，令，解得，又该出租车第三年开始盈利；（2）总收入①，当时，盈利总额达到最大值，此时将车以1万元价格卖出，得到年时间共盈利万；②年平均利润，当且仅当，即时等号成立，但，又，故年平均利润最大值为，此时年总利润，明显方案②总利润高，时间少，故方案②合算.例17．（2023·河北沧州·高一校联考期中）某厂家生产并销售某产品，设该产品的产量为件，则每件产品的生产成本为万元，生产该产品的月固定成本为400万元．已知每件该产品的售价为10万元，且该厂家生产的该产品均可售完．当月产量低于600件时，万元；当月产量不低于600件时，万元．(1)求月利润（万元）关于月产量（件）的函数关系式．(2)当月产量为多少件时，该厂家能获得最大月利润？并求出最大月利润（单位：万元）．【解析】（1）根据题意可得当产量为件时，生产总成本为万元．当时，；当时，．综上，（2）当时，，当时，取最大值，最大值为400万元；当时，，当且仅当，即时，等号成立．故当月产量为700件时，该厂家能获得最大月利润，最大月利润为586万元．例18．（2023·广东深圳·高一校考期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【解析】（1）由已知；（2）由（1）得，即由二次函数的单调性可知，当时，，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取得最大值，综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.例19．（2023·北京西城·高一北京育才学校校考期中）小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以（单位：吨，）表示下一个销售季度内，该市场该农产品需求量.（单位：元）表示下一个销售季度内小华销售该农产品的利润.(1)分别求当时，的值；当时，的值；(2)将表示为的函数；(3)求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围.【解析】（1）由题意，即，当时，元；当时，元.（2）由（1）知：.（3）当，令，可得，则；当，恒成立，则；综上，.例20．（2023·云南红河·高一开远市第一中学校校考期中）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用m万元满足），已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品元(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解析】（1）因为每件产品的销售价格为元，且，所以2020年的利润；（2）由（1）可知，令，所以，，当，即，即时，取得最小值8，所以，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．经典题型三：函数的实际应用例21．（2023·陕西榆林·高一校考期中）为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.(1)求公司获得的利润的函数解析式；(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？【解析】（1）当时，当时，故（2）当时，，对应的二次函数图象开口向下，对称轴为，则的最大值为（万元）；当时，当且仅当，即时，等号成立，则的最大值为730（万元），，封装160万片时，公司可获得最大利润.例22．（2023·陕西汉中·高一校联考期中）某厂每年生产某种产品x万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本为10万元，浮动成本若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡．(1)设年利润为（万元），试求与x的关系式；(2)年产量x为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润．【解析】（1）（2）当时，，当时，当且仅当,即时等号成立，故当时，取得最大值110．∴当年产量为40万件时，该厂所获利润最大，最大利润为110万元，例23．（2023·陕西汉中·高一校联考期中）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后8分钟测得车库内的一氧化碳浓度为32ppm（ppm为浓度单位．一个ppm表示百万分之一），再过8分钟又测得浓度为8ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间t（分钟）存在函数关系（c，m为常数）．(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.25ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?【解析】（1）∵函数（c，m为常数）经过点，，∴，解得，．（2）由（1）得，令，解得．故至少排气36分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．例24．（2023·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）某生活超市经销某种蔬菜，经预测从上架开始的第且天，该蓅菜天销量（单位：）为.已知该种蔬菜进货价格是3元，销售价格是5元，该超市每天销售剩余的该种蔬菜可以全部以2元的价格处理掉.若该生活超市每天都购进该种蔬菜，从上架开始的5天内销售该种蔬菜的总利润为元.(1)求的解析式；(2)若从上架开始的5天内，记该种蔬菜按5元售价销售的总销量与总进货量之比为，设，求的最大值与最小值.【解析】（1）由第天销量为，可得前5天销量依次为，当时，可得；当时，可得，所以的解析式为.（2）从上架开始的5天内该种蔬菜的总进货量为，当时，，可得则，因为与在上都是增函数，所以在上是增函数，所以，.例25．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期中）2023年10月11日，连接贵阳至广州的贵广高铁正式提速，按最高时速300公里运营，并同步加密列车开行频次，我国西南地区至珠三角及粤港澳大湾区的高铁运行时间进一步压缩.目前，铁路部门将在贵广高铁线路上开行列车177列，根据客流变化在高峰时段增加高峰线12列；其中，贵阳站至广州南站130列.贵广高铁提速将有效提升高铁运输能力和效率，对密切西南与华南地区往来交流、推动成渝地区双城经济圈和粤港澳大湾区高质量发展具有重要意义.现在已知列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客星为396人．记列车载客量为．(1)求的表达式；(2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．【解析】（1）由题意，当时，设，所以，解得，所以.（2）由题意，当时，，当且仅当，即时，等号成立，即；当时，，所以当时，.因为，所以当发车时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为84元．例26．（2023·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）购买某种机器时可同时购买维修服务，购买次维修服务的总费用为元，．购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当时，的图象上所有点都在同一条直线上；当时，的图象上所有点都在函数的图象上．(1)求的解析式；(2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？【解析】（1）当且时设，则，解得，所以（且），当时，综上可得.（2）设平均每次的维修费用为，当且时，函数在上单调递减，当时；当时，所以当，即时取得最小值，即，综上可得购买次维修服务能使平均每次的维修费用最少.例27．（2023·贵州六盘水·高一统考期中）六盘水市是典型的资源型城市，它因“三线”建设而生，因转型升级而兴，近年来，在市委市政府的领导下，紧扣产业转型升级，全力以赴推进新型工业高质量发展.我市某多能互补能源公司建造某种国标充电站，需投入年固定成本40万元，另建造个充电站时，还需要投入流动成本万元，在年建造量不足18个充电站时，（万元），在年建造量大于或等于18个充电站时，（万元），每个充电站售价为20（万元），通过市场分析，该公司建造的充电站当年能全部投入使用.(1)写出该公司年利润（万元）关于年建造量个充电站之间的函数解析式；（注：年利润年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年建造量为多少个充电站时，该公司在这一项目的建造中获得利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）由题意，当且时，；当且时，，所以该公司年利润（万元）关于年建造量个充电站之间的函数解析式为：.（2）由（1）可得：当且时，，当时，；当且时，，当且仅当即时，等号成立，所以，因为，所以，当年建造量为20个充电站时，该公司在这一项目的建造中获得利润最大，最大利润是35万元.例28．（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知函数为偶函数．(1)求实数的值；(2)若函数有大于0的零点，求实数的取值范围；(3)若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解析】（1）函数的定义域为,，因为函数为偶函数，所以，即，得；（2）由（1）可知，，，等价于，若函数有大于0的零点，即的取值范围为的值域，当时，，，则，所以实数的取值范围是；（3），，，令，，，函数的对称轴当，即时，在上单调递增，，所以，得，成立，当时，即时，在上单调递减，，所以，得，舍去，当时，即，函数的最小值为，所以，得，舍去，综上可知，.例29．（2023·山西运城·高一统考期末）已知函数.(1)若函数，，求函数的最小值；(2)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，则，，设，则，则，则二次函数的对称轴方程为.当时，即当时，函数在上单调递增，故当时，；当时，即当时，函数在上单调递减，故当时，；当时，即当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，.综上：.（2），因为函数与图象有个公共点，由可得且，由，可得，设，则，即，又因为函数在上单调递增，所以方程有两个不等的正根，所以，，解得，因此，实数的取值范围为.例30．（2023·陕西西安·高一西安中学校考期中）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值，并判断函数的单调性（给出单调性即可，不要求证明）；(2)设关于的函数有零点，求实数的取值范围.【解析】（1）因为函数为上的奇函数，则，可得，此时，对任意的，，所以，当时，函数为奇函数，合乎题意.因此，.因为，故函数在上为减函数，证明如下：任取、x2∈R且，所以，，则，所以，，故函数为上的减函数.（2）由可得，因为函数在上的减函数，则，所以，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，因此，当时，函数有零点.例31．（2023·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(3)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.【解析】（1）由题得的定义域为，∵是偶函数，∴，即对任意恒成立，∴，∴；（2）即，因为当，函数有零点，即方程有实数根.令，则函数与直线有交点，∵，根据复合函数单调性可得在上单调递减，当时有，∴，则，所以a的取值范围是；（3）因为，又函数与的图象只有一个公共点，则关于x的方程只有一个解，又函数的定义域为，函数的定义域满足，即当时，定义域为，当时，定义域为，所以，令，得，①当，即时，此方程的解为，不满足题意；②当，即时，则，即，此时，又，，所以此方程有一正一负根，且正根大于，所以，解得，所以；③当，即时，则，即，若方程有根两根，又，，所以此时方程为两个负根，不符合题意；④当时，则，即，要使得方程唯一的在内的根，则，解得，综合①②③④得，实数m的取值范围为：.例32．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数，其中．(1)当时，求的零点；(2)当为偶函数时，①求的值；②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，因为函数在上单调递增，且，外层函数为上的增函数，故函数在上单调递增，又因为函数在上单调递增，故函数在上单调递增，因为，所以，函数的零点为.（2）当为偶函数时，，①，因为，即，所以，对恒成立，则，解得；②因为函数与的图象有且只有一个公共点，所以，只有一解，即只有一解，

所以，只有一解，令，则关于的方程只有个正数解，

（Ⅰ）当时，，不合题意；（Ⅱ）当时，，设方程两根为、，则，所以，方程有一正一负根，负根舍去，符合题意；（Ⅲ）当时，因为当时，，故只需，解得.综上：实数的取值范围为或.例33．（2023·山东泰安·高一统考期末）已知函数．(1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式；(2)若函数有且只有一个零点，求a的值；(3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解析】（1）由题知，当，，设．则，所以，因为是奇函数，所以，又因为所以；（2）令，整理得，因为有且只有一个零点，所以方程有且只有一根或两相等根，当时，，符合题意，当时，只需所以，此时，符合题意综上，或．（3）在上任取，且，则，．所以，所以在上单调递减．所以函数在上的最大值与最小值分别为，．所以，即，对任意成立．因为，所以函数的图象开口向上，对称轴，所以函数在上单调递增，所以当时，y有最小值，所以，解得．所以a的取值范围为．例34．（2023·北京西城·高一统考期末）函数，其中．(1)若，求的零点；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【解析】（1）当时，，令，则，故，所以的零点为.（2）令，则，，故，由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故，所以的取值范围为经典题型四：二分法例35．（2023·高一课时练习）求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是．【答案】【解析】令，则，，由因为，因此，下一个有根的区间为.故答案为：.例36．（2023·高一课时练习）下表是连续函数在区间上一些点的函数值:x11.251.3751.520.6256由此可判断，方程的一个近似解为（误差不超过0.1）.【答案】【解析】由表可得，，故方程的一个近似解为.故答案为：例37．（2023·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下:据此数据，可得方程的一个近似解为（误差不超过0.01）.【答案】1.56【解析】由图表知,,函数的一个零点在区间上,故函数的零点的近似值（精确到0.01)为1.56,可得方程的一个近似解(精确到0.01)为1.56,故答案为:1.56.例38．（2023·高一课时练习）下列函数图象均与轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是【答案】③【解析】若函数的零点能用二分法求解，则在零点的左右两侧，函数值符号相反；由图象可知：只有③中图象满足此条件.故答案为：③．例39．（2023·高一课时练习）在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为（精确度为0.2）.【答案】0.6875【解析】因为，，所以可作为方程的近似解.故答案为：0.6875.例40．（2023·四川雅安·统考三模）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为．【答案】2或或2【解析】由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，当，即时，，能用二分法求零点，不符合题意；当，即时，此时为二次函数，而有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数的图象与轴有1个交点，即有两个相等实根，所以，解得：或.故答案为：2或.例41．（2023·高一课时练习）关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有.①“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有根得到②“二分法”求方程的近似解有可能得到在内的重根③“二分法”求方程的近似解有可能得到在内没有根④“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解【答案】④【解析】根据用二分法求方程的近似解的条件以及过程即可判断.利用二分法求方程在内的根，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解.故答案为：④.例42．（2023·高一课时练习）在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为．(精确度0.1)【答案】0.75或0.6875【解析】根据二分法的概念判断．注意精确度即可．因为(0.75)0，(0.6875)0，且|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．故答案为：0.75或0.6875．例43．（2023·高一课时练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是.（填写上所有符合条件的图号）【答案】①③【解析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求故答案为：①③经典题型五：零点分布问题例44．（2023·山东临沂·高一校联考期中）已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是．【答案】【解析】当时，，当时，，由函数恰有两个零点，可知在和x>1各有一个零点，可得：

，解得故填：例45．（2023·福建厦门·高三阶段练习）函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】∵函数在区间上存在一个零点∴，即∴∴或故答案为：例46．（2023·高一课时练习）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】若函数在区间内恰有一个零点，则方程在区间内恰有一个根，若，则方程可化为：，得，不成立；若时，设方程的两根为，且，得，且，当时，有故，，不符合题意；若时，则函数图象开口向上，又，若函数在上恰有一个零点，则，所以.综上：.故答案为：例47．（2023·广东广州·高一校考期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根，如图作出函数的图象，结合函数图象，则，所以直线与曲线有两个不同的公共点，所以在有两个不等实根，令，实数a满足，解得．故答案为：例48．（2023·山西大同·高一统考期末）若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是.【答案】【解析】由已知得，，.由二次函数图象及函数零点存在定理可知，该函数在内只有一个零点，只需，解得.故答案为：.例49．（2023·河南焦作·高一统考期中）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为.【答案】【解析】当时，令可得；当时，，此时函数单调递减，因为函数有且只有一个零点，所以，函数在上无零点，由可得，所以，直线与函数在上的图象无交点，如下图所示：且当时，，由图可知，当或时，直线与函数在上的图象无交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.例50．（2023·四川宜宾·高一统考期末）若函数恰有四个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】因为函数在上最多有个零点，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在上至多有两个零点，因为函数恰有四个零点，所以，函数在上有两个零点，则，解得；函数在上有两个零点，由可得，作出函数、在上的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，综上所述，.故答案为：.例51．（2023·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则．①定义域为，值域为②在定义域内是偶函数③的图象与x轴有三个公共点【答案】（答案不唯一）【解析】根据题意可取，函数的定义域为，值域为，故①符合，因为，所以函数为偶函数，故②符合，令，解得或，所以的图象与x轴有三个公共点，故③符合，所以函数符合题意.故答案为：.例52．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是．【答案】【解析】如图，作出函数的图象，由，令，由图知，当时，方程有个不同的解，当时，方程有个解，令，则，即，即，如图所示，作出函数的图象，函数恒过定点，当函数的图象只有一个交点时，即，即只有一个解，则，解得（舍去）当时，由图知函数的图象只有一个交点，即方程有且仅有一个根，且这个根在上，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以符合题意；当时，由图知函数的图象有个交点，即方程有个根，且一个在上，一个为，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以不符合题意；当时，由图知函数的图象有个交点，即方程有个根，且一个在上，另外两个在上，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以不符合题意；当时，方程没有正数根，此时令，则，当时，方程无解，所以方程无解，即函数没有零点，所以不符合题意；当时，，（1）当时，，即方程的解为，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以符合题意；（2）当时，，则由，得，则，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以符合题意；（3）当时，，则由，得，则，所以方程只有个解，即函数有个零点，故符合题意；（4）当时，，则由，得，则，所以方程有个不同的解，即函数有个零点，故不符题意，综上所述，a的取值范围是.故答案为：.例53．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函数，在上是增函数，只需即可，即，解得．故选：B.经典题型六：函数与方程综合问题例54．（2023·广西南宁·高一校联考开学考试）已知函数，方程有四个不同的解，，，，且，则的最大值是.【答案】4【解析】画出的图象：因为方程有四个不同的解，，，，故的图象与有四个不同的交点，由图，，，故的取值范围是.由图可知，，，故，故.故.又当时，.当时，，故.又在时为减函数，故当时，取最大值.故答案为：4.例55．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知，函数．若关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】由可得，可得，若，当时，由，可得，当时，由，可得，该方程至多两个根，不合乎题意.所以，，当时，由可得或，即方程在有两个不等的实根，当时，由可得，对于二次函数，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，，设函数的两个零点分别为、，则，若使得关于的方程恰有四个不同的实数根，则方程在上只有两个不等的实根，所以，或（无解），解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.例56．（2023·新疆·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知函数，若存在实数，，，，有，则的范围是．【答案】【解析】作出函数的大致图象如图：当时，，解得，令.由图象可知，当时，满足题意.且，.又由知，，所以，即.所以.由，可得，所以.故答案为：．例57．（2023·江西上饶·高一统考期末）设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为.【答案】【解析】画出函数的图象如下图所示，令，则方程可化为.由图可知：当时，与有个交点，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同实数根，所以，，解得，因此，实数的取值范围为.故答案为：.例58．（2023·广东广州·高一校考期末）已知函数有两个零点分别为，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意，有两个不等实根，即有2个实根，即图象有2个交点，如图，不妨设，则，即，解得，，（）在上为增函数，故答案为：例59．（2023·四川凉山·高一宁南中学校考阶段练习）已知函数，若存在（），使，则的取值范围是.【答案】.【解析】的图象如图所示，当时，，由，得，因为存在（），使，所以由图可得关于点，，所以，所以，即的取值范围是，故答案为：.例60．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知函数，若方程恰有个不同的实根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示，在时，有4个不同的实根，令，则方程化为，原方程有8个不同的实根，则方程在上有两个不等的实根，记，由，解得．故答案为：．例61．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是.【答案】.【解析】由有四个不同的零点等价于函数与的图像有四个交点，作出的函数图像，如图所示，由图像可得，且，可得，所以，令，则，令，则在上单调递减，且，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例62．若函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是

A． B． C． D．【答案】B

【解析】令，则原方程等价为作出函数的图象如图，由图象可知当，时，函数和各有两个交点．要使方程有4个不同的实数根，则方程有两个不同的实数根，，令，则由根的分布可得，①当，时，，解得②当且时，，解得；③当且时，可得，解得综上，b的取值范围为故选例63．设函数若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】函数在R上有4个不同的零点与有4个交点，①当时，作出函数的图象，如图所示，其中的顶点为，则②当时，作出函数的图象，如图所示，其中的顶点为，则故a的取值范围是故选例64．已知函数，若存在，且，，两两不相等，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】画出函数的图象如图所示：设，则方程有3个根，根据图可得，不妨设与的两个交点的横坐标为，，与交点的横坐标为则，当时，最大，由解得当m接近时，接近最小，由解得，即的取值范围是故选例65．“”是“函数只有一个零点”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分必要条件【答案】B

【解析】若则函数，令，则，故，所以当函数只有一个零点1，即”是“函数只有一个零点”的充分条件，若函数只有一个零点，即函数的图象与x轴只有一个交点，也即有且只有一个实根，当时，得符合题意；当时要使有且只有一个实根，则，即函数只有一个零点则或，即函数只有一个零点不是的充分条件，故不是函数只有一个零点的必要条件．综上“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件．故选：例66．已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】当时，为减函数，且，若，此时当时，没有零点，则必须当时，有两个零点，由，得，，此时满足条件；当时，当时，只有1个零点，要使恰有2个零点，则只需当时，只有一个零点即可，由得或，，要使当时只有一个零点，，或且，得，综上实数a的取值范围是，故选：例67．已知函数的零点至少有一个大于0，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】①当时，由，得，符合题意．②当时，由，得，令，解得，符合题意；由，即，得，设的两根分别为，，且，若，则，，即，，符合题意，若，则，，即，，符合题意．综上，，故实数m的取值范围为故选②转化与化归思想例68．设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（

）A． B． C．10 D．9【答案】D

【解析】如图，作出函数的大致图象，如图所示：关于x的方程有四个实根则，，则，其中，所以，则，当且仅当，时取等号，所以的最小值是故选例69．已知函数，，函数有4个不同的零点且，则