3.2 基本不等式（六大题型7个方向）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页3.2基本不等式课程标准学习目标1、理解基本不等式的内容及证明.2、熟练掌握基本不等式及变形的应用.3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.1、数学建模：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.2、逻辑推理：熟练掌握基本不等式及变形的应用.3、数学运算：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.4、直观想象：运用图像解释基本不等式.知识点01基本不等式1、对公式及的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．2、由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：.知识点02基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，．所以，（当且仅当时取等号“=”）．知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，，求证：.【解析】∵，，，∴，当且仅当，即时，等号成立，同理：，，当且仅当，时，等号成立，以上三式相加得：，当且当且仅当时，等号成立，所以.知识点03基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．易证，那么，即．这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由图知：，在中，，所以，即，故选：C知识点04用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．【即学即练4】（2023·陕西西安·高一校考期中）已知，且满足，求的最小值是.【答案】18【解析】，当且仅当，即，联立，得，所以的最小值是.故答案为：题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．（2023·全国·高一专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.例2．（2023·江苏·高一专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，此时，当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；对：，当且仅当，即时取等号，但，则等号取不到，故的用法有误；对：，，，当且仅当，即时取等号，故的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：.例3．（2023·高一课时练习）给出下面三个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正确的推导为（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】B【解析】①，根据基本不等式的知识可知①正确.②，当时，，所以②错误.③，根据基本不等式的知识可知③正确.所以正确的为①③.故选：B变式1．（2023·高一课时练习）下面四个推导过程正确的有（

）A．若a，b为正实数，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】A中，∵a，b为正实数，∴，则，当且仅当时等号成立，故A正确；B中，∵，当时，，当且仅当，即时等号成立，故B不正确；C中，由，得，则，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C不正确；D中，对任意的，都有，即，当且仅当时等号成立，所以D不正确．故选：A变式2．（多选题）（2023·高一课时练习）下列推导过程，正确的为（

）A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2B．因为x∈R，所以1C．因为a＜0，所以+a≥2＝4D．因为，所以【答案】AD【解析】对于A.因为a，b为正实数，所以，所以≥2＝2.故A正确；对于B.当x=0，有1.故B错误；对于C.当a=-1时，左边+a=-5，右边2=4，所以+a≥2＝4不成立，故C错误.对于D.因为，，所以.故D正确.故选：AD.【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点（1）一正数：指式子中的a，b均为正数．（2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．（3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值．题型二：利用基本不等式比较大小例4．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则，，2ab，中最大的一个是．【答案】/【解析】，，，则，，，综上所述：最大的一个是.故答案为：例5．（2023·高一课时练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为．【答案】【解析】依题意，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：例6．（2023·高一课时练习）若，且，则中值最小的是【答案】【解析】由，，且，根据均值不等式有：，，又，因为，所以，则，所以，即.故答案为：.变式3．（2023·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是.【答案】【解析】因为，所以，且，由不等式的基本性质得，所以在中最大的一个是故答案为：变式4．（2023·山东青岛·高一山东省青岛第十六中学校考阶段练习）已知a>0，b>0，a+b>2，有下列4个结论:①ab>1；②a2+b2>2；③和中至少有一个数小于1；④和中至少有一个小于2，其中，全部正确结论的序号为.【答案】②③④【解析】举例说明①错误；利用基本不等式证明②正确；利用反证法说明③④正确.因为，满足，但不满足，故①错误；，故②正确；若，则由得，与矛盾，故③正确；若，则由得与矛盾，故④正确；故答案为：②③④变式5．（2023·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考期中）设a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2＋1＞a；

②；

③(a＋b)；

④a2＋9＞6a.其中恒成立的是(填序号).【答案】①②③【解析】由于a2＋1－a＝，故①恒成立；由于＝＋＋≥2＋2＝4，当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立；由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.故答案为：①②③.变式6．（2023·全国·高一专题练习）给出下列不等式：①；

②；

③；④；

⑤.其中正确的是(写出序号即可)．【答案】②【解析】当时，，所以①不正确；因为与同号，所以，所以②正确；当时，，所以③不正确；当时，，所以④不正确；当时，，所以⑤不正确．故答案为：②变式7．（2023·高一课时练习）已知都是正实数，且，则与的大小关系是．【答案】．【解析】，．而，．．故答案为：变式8．（2023·高一单元测试）若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有个．【答案】【解析】，则，，.，（1）中的不等式正确；，则，（3）中的不等式错误；，（2）中的不等式错误；，则，由基本不等式可得，（4）中的不等式正确.故答案为：.【方法技巧与总结】利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．题型三：利用基本不等式证明不等式例7．（2023·全国·高一专题练习）设非负实数满足，求证：【解析】因为，，，，所以，.当且令当时，等号成立，所以，即.例8．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，证明.(1)；(2)【解析】（1），因为，，则，则，当时等号成立，所以；（2）而，当时等号成立，所以例9．（2023·全国·高一专题练习）已知，都是正数.(1)若，证明：；(2)当时，证明：.【解析】（1）证明：由于，都是正数，，当且仅当时等号成立.所以.（2）证明：.因为，，所以，，所以成立.变式9．（2023·黑龙江绥化·高一统考期中）已知、是正实数，且，证明：(1)；(2).【解析】（1）证明：因为、是正实数，则，当且仅当时，等号成立，故.（2）证明：，当且仅当时，等号成立，故.变式10．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知求证：；（2），，求证：.【解析】（1）因为，所以；（2）因为对任意正实数有三式相加得，当且仅当时取等，又，故，所以即整理得.当且仅当时取等.变式11．（2023·浙江温州·高一校考阶段练习）已知且.求证：(1)；(2).【解析】（1），，且，又，，又，，即；（2），，当且仅当时取等号，即当且仅当时等号成立，而由（1）可知，即，即，，.变式12．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）（1）已知，求证：（2）设，，为正数，求证：【解析】证明：（1）由于，则，，于是要证，即证，即证，由于，即证，而显然成立，故（2）因为，，为正数，由基本不等式可得，，当且仅当取等号，，当且仅当取等号，，当且仅当取等号，以上三式相加有，即，当且仅当时取等号.【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题（1）注意基本不等式成立的条件；（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．题型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值例10．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，，则的最大值是．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取到最大值，故答案为：.例11．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，，由基本不等式可得，即，解得，即，当且仅当时，即当时，等号成立，故的取值范围是.故答案为：.例12．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数a，b满足则ab的最大值为.【答案】5【解析】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，解得，则的最大值5．故答案为：5．变式13．（2023·全国·高一专题练习）已知（），则的最大值是.【答案】/1.5【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值是.故答案为：变式14．（2023·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为．【答案】2【解析】因为x，y为正实数，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：2变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知为正实数，且满足，则的最大值为．【答案】9【解析】因为为正实数，且满足，所以，即，当且仅当即时取等号，所以的最大值为9.故答案为：9.变式16．（2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值是．【答案】【解析】，，，（当且仅当时取等号），的最小值为.故答案为：.（2）常规凑配法求最值变式17．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：B.变式18．（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）已知，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】由知，，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为6.故选：A变式19．（2023·高一课时练习）若，则的最小值为（）A．3 B．－3C．4 D．－4【答案】C【解析】∵，∴，∴，，当且仅当，即时，等号成立，∴当时，y的最小值为4.故选：C变式20．（2023·浙江台州·高一校联考期中）若，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C变式21．（2023·全国·高一专题练习）当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．变式22．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A（3）消参法求最值变式23．（2023·全国·高一专题练习）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为正实数、、满足，则，则，当且仅当时取等号.故的最大值为.故选：C.变式24．（2023·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（

）A． B．C． D．6【答案】A【解析】由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：A变式25．（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选：.变式26．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D（4）换元求最值变式27．（2023·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是.【答案】【解析】令，则，可得，即，且，∵，当且仅当，即时，等号成立，可得，∴，即的最大值是.故答案为：.变式28．（2023·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为.【答案】【解析】正数、满足，则则，又时，，则，则的最小值为.故答案为：变式29．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为．【答案】/【解析】因，则，即，令，则，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为.故答案为：（5）“1”的代换求最值变式30．（2023·甘肃临夏·高一校考期末）若，，，则的最小值为．【答案】9【解析】由题意得，，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为9.故答案为：9变式31．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数，满足，则的最小值为.【答案】【解析】因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.变式32．（2023·山东菏泽·高一校考期末）已知正实数、满足，则的最小值是.【答案】【解析】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为.故答案为：.变式33．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为.【答案】【解析】∵正数x，y满足，∴.当且仅当，即时取等号，则，其最大值为.故答案为：变式34．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（），则它的最小值为.【答案】【解析】由，可得，，则，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为.故答案为：.变式35．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值为.【答案】10【解析】因为，所以，所以又因为，，所以，，由基本不等式得：当且仅当，即时等号成立.故答案为：10变式36．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为.【答案】/1.125【解析】因为，所以，当且仅当，即最取到等号.故答案为：.变式37．（2023·江苏·高一专题练习）正实数满足，则的最小值为.【答案】1【解析】因为正实数满足，所以，则，当且仅当,即时取等号，所以的最小值为1，故答案为：1变式38．（2023·全国·高一专题练习）若正实数满足.则的最小值为.【答案】/【解析】已知且，整理得...①而.将①式代入得.又，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为故答案为：（6）法变式39．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，方程可化为，整理得，则满足，解得，所以，即，所以的最大值为.故选：B.变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，设，代入方程得：，所以，即的最小值为：.故选：D.（7）条件等式求最值变式41．（2023·全国·高一课堂例题）若正实数满足，则的最大值为.【答案】54【解析】由题设知，，所以，即，当且仅当，即，时等号成立.所以的最大值为54.故答案为：54变式42．（2023·高一课时练习）已知实数满足，则的最大值为．【答案】【解析】由已知可得，，所以，所以，，当且仅当时，等号成立.因为，所以，当时，该式有最大值，且.所以，的最大值为.故答案为：.变式43．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值为.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以

，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故答案为：.变式44．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为．【答案】【解析】，仅当时等号成立．所以目标式最大值为.故答案为：变式45．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为．【答案】/【解析】由已知，，，则，而，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：.变式46．（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最大值为.【答案】/【解析】由，且可得，则，当且仅当，结合，即时取等号，即的最大值为，故答案为：变式47．（2023·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为．【答案】18【解析】由条件知，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18．故答案为：18.变式48．（2023·四川成都·高一统考期末）已知实数x，y满足，则的最小值为．【答案】【解析】因为时取等号，则,得，可得，，即得最小值为,故答案为：变式49．（2023·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）已知，，，则的最小值为.【答案】/【解析】由得：，而，，则有，于是，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例13．（2023·高一课时练习）对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为.【答案】【解析】因为对任意，为正实数，都有，所以恒成立，也即，因为（当且仅当时，也即时等号成立）所以，则实数a的最大值为，故答案为：.例14．（2023·辽宁沈阳·高一统考期末）已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】由得：，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为27，又恒成立，故.故答案为：例15．（2023·江苏·高一专题练习）对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．变式50．（2023·江苏·高一专题练习）对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立，因为，当且仅当即时取“＝”.所以故答案为：变式51．（2023·江苏连云港·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，，且，所以（当且仅当，即时取“=”），因为恒成立，所以.故答案为：.变式52．（2023·全国·高一专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以，所以不等式可化为，设，，则，则，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以，故答案为：变式53．（2023·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，因此，故答案为：.变式54．（2023·贵州遵义·高一遵义四中校考阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】两个正实数，满足，，，当且仅当，即，时等号成立，，若不等式恒成立，则应，解得，，故答案为：．变式55．（2023·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为．【答案】【解析】，，，恒成立，（当且仅当，即时取等号），，解得：，则的最大值为.故答案为：.【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值题型六：基本不等式在实际问题中的应用例16．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.(1)试求关于的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.【解析】（1）因应急室的左右两侧的长度均为米,则应急室正面的长度为米,于是得（2），当且仅当，即时等号成立，此时在内，，故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，最低20000元.例17．（2023·浙江温州·高一乐清外国语学校校考期中）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.【解析】（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以广告的高为，宽为(其中)广告的面积当且仅当，即时，取等号，此时.故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为（2）由题，，解得由（1）可得当时，广告的面积最小为故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为例18．（2023·河北邯郸·高一校考阶段练习）两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函数:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；(2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小，【解析】（1）由题意可知，汽车从地到地所用时间为小时，全程成本为，.当，时，，当且仅当时取等号，所以，汽车应以的速度行驶，能使得全程行驶成本最小；（2）当，时，，由双勾函数的单调性可知，当时，有最小值，所以，汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小．变式56．（2023·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．

(1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；(2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.【解析】（1）由题意可得，，且，则，则（2）由（1）可知，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当米时，元.变式57．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）（1）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．（2）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值．【解析】（1）设这个矩形菜园的长为，则宽为，，则这个矩形菜园的面积，当且仅当，即时，等号成立.所以这个矩形菜园的最大面积为.（2）设这个矩形菜园的长为，则宽为，，则这个矩形菜园的周长为，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以所用篱笆的最短值为.变式58．（2023·全国·高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．【解析】（1）由已知可得，而篱笆总长为．又∵，当且仅当，即时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得，又∵，∴，当且仅当x＝y，即x＝5，y＝5时等号成立．∴的最小值是．变式59．（2023·全国·高一专题练习）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短?【解析】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，所以，所以，

所以，令，则，所以.（2）设通过隧道的时间为，则．①当时，．②当时，．当且仅当，即时等号成立．又，所以当时用时最短．答：当速度为时该车队通过该隧道用时最短．【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值．（4）正确写出答案．一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【解析】，，，，，，当且仅当，即，时等号成立，故选：A2．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C3．（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】方法一

由条件得，由，知，从而，当且仅当，即，时取等号．故的最小值为5．方法二

对原条件式转化得，则，当且仅当，，即，时取等号．故的最小值为5．故选：D4．（2023·全国·高一专题练习）设为正数，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】由题意为正数，且，则，当且仅当，结合，即时等号成立，即的最小值为2，故选：A5．（2023·辽宁葫芦岛·高一校考期末）设，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最小值为 D．无最小值【答案】C【解析】由，当且仅当，即，时等号成立，故当，时，取得最小值为．故选：C．6．（2023·高一单元测试）不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：，令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即，又，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值，故可得.故选：A．7．（2023·浙江宁波·高一校联考期中）若正实数满足，则下列说法错误的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】C【解析】对于A，正实数满足，所以，可得，当且仅当即等号成立，所以的最大值为，故A正确；

对于B，因为，所以，，所以当时，有最小值，为，故B正确；对于C，当时，，且，即，故C错误；对于D，因为正实数满足，所以，当且仅当即，等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选：C.8．（2023·安徽蚌埠·高一统考期末）若均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为均为正数，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：C二、多选题9．（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知实数，，，则下列结论中正确的是（

）A． B．若则C．则 D．若则有最大值【答案】CD【解析】对于A，当时，，不满足，错误；对于B，当时，，满足，但是，错误；对于C，因为，所以，所以，所以，正确；对于D，因为，所以有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即有最大值，正确.故选：CD10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知正数a，b满足，则（

）A．的最大值是 B．ab的最大值是C．的最大值是 D．的最小值是2【答案】ABC【解析】由得，当且仅当时取等，A正确；由得，当且仅当时取等，B正确；对C，因为，a，b为正数，则，，当时去等，故C正确；对D，，当且仅当时等号成立，故D错误，故选：ABC.11．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）下列命题中的真命题有（

）A．当x＞1时，的最小值是3B．的最小值是2C．当0＜x＜10时，的最大值是5D．若正数x，y为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y的最大值为3【答案】AC【解析】对于选项A因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；对于选项B因为，等号成立的条件是，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为2，令，则在上单调递增，所以时取得最小值，故选项B错误；对于选项C因为，则所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；对于选项D由得，故，当且仅当时取等号，故选项D错误.故选：AC.12．（2023·吉林白城·高一校考期中）下列结论正确的是（

）A．当时，B．当时，C．的最小值为2D．的最小值为2【答案】AB