第6章 幂函数、指数函数和对数函数章末题型归纳总结 -苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第6章幂函数、指数函数和对数函数章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：函数的图象经典题型二：指对幂比较大小经典题型三：指数型函数性质的综合问题经典题型四：对数型函数性质的综合问题经典题型五：幂函数型性质的综合问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：函数的图象例1．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项B；又当时，，所以，故排除CD.故选：A例2．（2023·陕西西安·高一长安一中校考期末）幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即BM=MN=NA,那么（

）A． B．.2 C．1 D．【答案】C【解析】因为M、N为线段AB的三等分点，易得，分别带入得，解得，所以.故选：C例3．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高一校考期末）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为；因为，所以；所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C；当时,,排除选项B．故选：D．例4．（2023·陕西汉中·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分离万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图像来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如：函数的大致图像是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵的定义域为，∴，∴为奇函数，排除B、D；又当时，，故A满足，C排除.故选：A.例5．（2023·江西九江·高一校考阶段练习）当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，∴函数在定义域内单调递增，AC选项错误，的一次项系数为负，∴函数在定义域内单调递减，B选项错误，D选项正确，故选：D.例6．（2023·河南安阳·高一统考期末）已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确；当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误．故选：C例7．（2023·全国·高一专题练习）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】A【解析】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；，其图像应与④对应．故选：A．例8．（2023·湖北黄石·高一校联考期末）函数（且）的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，函数定义域为，有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.故选：C.例9．（2023·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，当，，所以函数的图像大致是选项D，故选：D经典题型二：指对幂比较大小例10．（2023·全国·高一专题练习）设，，，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，即.故选：D.例11．（2023·全国·高一专题练习）设，，，则、、的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即.故选：A.例12．（2023·云南曲靖·高一校考期中）设，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】指数函数，为减函数，∴，∵幂函数为增函数，∴，∴，∵对数函数为减函数，∴，即，∴.故选：A.例13．（2023·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数，其中，，，则判断a，b，c的大小是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】；，，，，则又在R上单调递增，则，即故选：B例14．（2023·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知，，，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，所以.故选:B.例15．（2023·贵州遵义·高一遵义航天高级中学校考阶段练习）已知，则的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，所以．故选：C．例16．（2023·全国·高一专题练习）三个数的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由于，所以，所以，即，而，，所以，所以，即，所以.故选：D．例17．（2023·全国·高一专题练习）已知，则，，的大小排序为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：设.则，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故选：D例18．（2023·全国·高一期末）令，，，则三个数、、的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，，，判断可得选项.由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，故选：D．经典题型三：指数型函数性质的综合问题例19．（2023·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的值；(2)求函数的值域.【解析】（1）因为，若，则，令，则方程为，解得或（舍去），所以，解得.（2）因为，令，则，所以当时，取得最小值，故的值域.例20．（2023·全国·高一专题练习）设，函数.(1)若，求证：函数是奇函数；(2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明.【解析】（1）当时，函数的定义域为，由于，所以函数是奇函数.（2）当时，函数为上的增函数.当时，，任取，且，则，由，得，则，即，所以函数为上的增函数.例21．（2023·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数为奇函数.(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；(2)求不等式的解集.【解析】（1）∵是奇函数，定义域为，∴，则，，所以，符合为奇函数，证明：任取，且，则，由，可得，则，，∴，即，∴函数在上是增函数.（2）∵函数在上是奇函数∴又函数在上是增函数∴令为，则解得即∴不等式的解集为例22．（2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若为奇函数，求的值；(2)在（1）的条件下，求的值域．【解析】（1）因为为奇函数，所以，即，所以.（2）,令，则，因为，所以，所以的值域．例23．（2023·湖南株洲·高一统考开学考试）已知函数的定义域是.(1)求实数a的取值范围；(2)解关于m的不等式.【解析】（1）函数的定义域是，因此在上恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围为.（2）由（1）知，则指数函数在上单调递减，因此，即，解得或，所以原不等式的解集为.例24．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在上最大值和最小值的和为，令.(1)求实数a的值，并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；(2)解不等式：.【解析】（1）当，函数在上单调递减，所以，，因为函数（且）在上最大值和最小值的和为，所以，所以或，因为此时，所以或，舍去，当，函数在上单调递增，所以，，因为函数（且）在上最大值和最小值的和为，所以，所以或，因为此时，所以，综上所述，，所以，此时是定值，证明如下：所以，所以，所以为定值.（2）由（1）知，且，所以，所以即，所以，即，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以不等式的解集为.例25．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并利用结论解不等式；(3)是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（1）是定义在R上的奇函数，，从而得出，当时，，；（2）是R上的增函数，证明如下：设任意，且，，，，，，，是在上是单调增函数.，又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，，，，故解集为：；（3）假设存在实数k，使之满足题意，由（2）可得函数在上单调递增，，，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令，即方程有两个不等的正根，设为，，于是有且且，解得：.存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.例26．（2023·全国·高一期中）已知二次函数，关于实数的不等式的解集为(1)当时，解关于的不等式：(2)是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由不等式的解集为知关于的方程的两根为和，且由根与系数关系，得，所以原不等式化为，①当时，原不等式化为，且，解得或；②当时，原不等式化为，解得且；③④当时，原不等式化为，且，解得或；综上所述当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或．（2）假设存在满足条件的实数，由（1）得：，，，令，，则对称轴为，又，，，函数在,递减，时，最小为：，解得：，例27．（2023·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）已知函数且在上的最大值与最小值之差为.(1)求实数a的值；(2)，若，求不等式的解集.【解析】（1）①当时，上单调递增，则，所以，解得或（舍去）；②当时，上单调递减则，所以，解得或（舍去）；综上所述：或.（2）因为，由（1）可知：，则，可知：的定义域为，因为，则为奇函数，又因为在上单调递增，则在上单调递增，综上所述：在R上是奇函数且为增函数，因为，可得，则，解得或，所以不等式的解集为.例28．（2023·浙江温州·高一校联考期中）已知函数，．(1)指出单调性与的奇偶性，并用定义证明的奇偶性．(2)是否存在实数使不等式对恒成立，若存在求出的范围，若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵，函数的定义域为，为增函数，为减函数，为增函数，∴为上的增函数.∵，函数的定义域为，定义域关于原点对称，∴，∴是奇函数.∵为奇函数，∴也是奇函数.（2），即，即，即，即，即，∵是奇函数，∴，又∵为上的增函数，∴，∴，∵，∴，令，问题转化为对任意恒成立，所以，解得，故存在实数使不等式对恒成立.经典题型四：对数型函数性质的综合问题例29．（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，且函数的图像过点．(1)求函数的解析式；(2)若成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）函数的图像过点,且（2），当时,在上为增函数,或.实数的取值范围为或.例30．（2023·全国·高一专题练习）已知是偶函数，是奇函数.(1)求a，b的值；(2)判断的单调性，并加以证明；(3)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）∵是偶函数，∴,,,又∵是奇函数，经检验，时符合题意.（2）由题可知，在上单调递增，证明：设，且，，，，，又，，即，在上单调递增.（3）由题（2）可知单调递增，则不等式在上恒成立，在上恒成立在上恒成立，∴，∵在上单调递增,∴，∴.例31．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)当时，，求实数的取值范围．【解析】（1）由是奇函数，得，即，所以，整理得，对于定义域内的每一个恒成立，所以，解得．当时，为奇函数，符合题意；当时，，不存在．综上，.（2），其中，易知在上单调递减，所以．设，则，由，得在上恒成立，令，其中，因为函数、均为上的增函数，故在上单调递增，所以，则，故实数的取值范围为．例32．（2023·河南南阳·高一统考期末）已知函数的图像关于轴对称．(1)求的值；(2)若函数，求的最大值．【解析】（1）易知，且恒成立，即恒成立，化简得：对任意恒成立，所以，解得．（2）由（1）知：，∴，令，转化为求的最大值；又因为函数的图象开口向上，对称轴，所以分两种讨论，①当时，，②当时，，综上所求．例33．（2023·甘肃·高一统考期中）已知函数，其中，记函数的定义域为.(1)求函数的定义域；(2)若对于内的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由解得，.所以函数的定义域为.（2）由（1）知则，所以不等式可转化为.设，，.当且仅当，即时，等号成立.且，所以的最大值为.对于内的任意实数，不等式恒成立，所以.例34．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的表达式为，且，(1)求函数的解析式；(2)若在区间上有解，求实数的取值范围；(3)已知，若方程的解分别为､.①当时，求的值;②方程的解分别为､，求的最大值.【解析】（1）由，所以；所以；（2）因为在区间上有解即在区间上有解即在区间上有解设，由，则所以在区间上有解当时，所以；（3）①当时，方程，即为方程，解得或，又，所以；②由，得或，因为方程的解分别为､，所以，，所以，由，得或，因为方程的解分别为､，所以或，则，所以，因为函数在上单调递减，当时，有最大值.所以，则，所以的最大值为.例35．（2023·广东东莞·高一校联考期中）（1）已知函数是奇函数，求的值；（2）若；①化简；；②对于任意都有，求k的取值范围.【解析】（1）方法一：由已知可得，函数的定义域，∵是奇函数，∴，又∵，，∴∴，即.方法二：由已知可得，函数的定义域，∵是奇函数，∴函数的图象经过原点，即，∴，即，当时，是奇函数.证明如下：∵，∴，∴是奇函数.（2）①∵，∴，.②由得.令，∵，∴，∴，对一切恒成立，当时，恒成立；即，∵，当且仅当，即时等号成立.∴的最小值为，∴，∴实数k的取值范围为.例36．（2023·全国·高一专题练习）设函数，，且，．(1)求的值及的定义城；(2)判断的奇偶性，并给出证明；(3)求函数在上的值域．【解析】（1）由可得，故函数的定义域，因为，由题意，故（2）因为，又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，（3）由（1）可知，，，所以，所以函数的值域为．例37．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）.(1)求函数的定义域；(2)若，求函数的值域；(3)是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由，解得的定义域为.（2）当时，，.因为的定义域是，所以，所以，，所以，所以，的值域是.（3）因为函数在上的值域为，又，且，由的定义域得，所以.①当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以无解.（或者因为，所以，所以无解），故此时不存在实数a，b满足题意.②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以，即解得或（舍），.综上，存在实数，.例38．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数．(1)求a的值；(2)设，，若对任意的，存在，使得，求m的取值范围.【解析】（1）因为是偶函数，所以，即，即，所以．（2）因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值．因为在上单调递增，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以解得，即m的取值范围是．经典题型五：幂函数型性质的综合问题例39．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递增.(1)求m的值；(2)求函数在上的最大值.【解析】（1）因为幂函数在上单调递增．所以，解得．所以m的值为0.（2）由（1）知，，所以函数，由二次函数的性质，函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为．所以在上单调递增，所以在上的最大值为．例40．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数.(1)求的值；(2)当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意得：，或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，当时，在上单调递增，.（2）由（1）得，当时，，即，当时，，即，∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴，∴的取值范围是．例41．（2023·广东东莞·高一校联考期中）已知幂函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式.【解析】（1）∵为幂函数∴，得或当时，是奇函数不是偶函数，当时，是偶函数，∴.故的解析式.（2）由（1）得，当时，对于，则，当时，，∴，又∵函数是定义在R上的奇函数，∴即，∴，，∴函数的解析式例42．（2023·福建泉州·高一统考期中）已知幂函数是偶函数．(1)求的解析式；(2)求函数的值域．【解析】（1）依题意，，即，解得或，当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数，所以的解析式是．（2）由（1）知，，，设，则，，因此，当时，，当或时，，于是，所以函数的值域为.例43．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图像关于点对称．

(1)求该幂函数的解析式；(2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像；(3)直接写出函数的解集．【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或，当时，函数定义域是，易得是奇函数，图像关于原点对称，则满足题意；当时，函数，易知是R上的偶函数，其图像关于y轴对称，关于原点不对称；综上：幂函数的解析式是.（2）因为函数，定义域为，且，所以是上的偶函数，当时，在上单调递减，其图像是反比例函数在第一象限的图像，作出函数在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图像，如图，（3）观察（2）中图像可得，的解集为.例44．（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上是减函数.(1)求函数的解析式，并画出它的图象；(2)讨论函数（）的奇偶性.【解析】（1）由幂函数在区间上是减函数，得，即.又，得.因为函数的图象关于y轴对称，所以是偶函数，所以是偶数.将分别代入检验，得，所以.的图象如下图所示.（2）把代入的解析式，得，则.所以当，时，为非奇非偶函数；当，时，为奇函数；当，时，为偶函数；当，时，既为奇函数又为偶函数.例45．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上是减函数，．(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：，解得，于是（2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减，由，即，于是，解得例46．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在定义域上不单调．(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；(2)若，求实数a的取值范围．【解析】（1）由题意，解得或，当时，，函数在上单调递增，不合题意；当时，，函数的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递减，但，所以函数在定义域上不单调，符合题意，所以，因为函数的定义域关于原点对称，且，所以为奇函数；（2）由及为奇函数，可得，即，而在上递减且恒负，在上递减且恒正，所以或或，解得或．例47．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值．【解析】（1）为幂函数，，解得：或；当时，，则，即为偶函数，不合题意，舍去；当时，，则，即为奇函数，符合题意；综上所述：.（2）由（1）得：，即，又，，（当且仅当，即，时取等号），.例48．（2023·辽宁·高一校联考期末）已知幂函数在上单调递减．(1)求的解析式；(2)若，，求a的取值范围．【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，所以，解得，所以的解析式为．（2）由，可得，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1．所以a的取值范围为．例49．（2023·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知幂函数，在上单调递增，(1)求；(2)当满足时，求实数的范围.【解析】（1）因为是幂函数，所以，即，解得或.又因为在上单调递增，所以.（2）由（1）知，，所以的解析式为，由幂函数的性质知，在上单调递增，且，所以，解得.所以实数的范围为.模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例50．（2023·广西壮族自治区·其他类型）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由，，，①当时，函数单调递减，此时，函数单调递增，此时由题意必有，解得，②当时，函数单调递增，此时，函数单调递减，此时由题意必有，无解．故实数m的取值范围为故答案选：例51．（2023·江苏省苏州市·单元测试）设函数的最小值为，则实数a的取值范围是

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】当时，，当时，取得最小值；当时，，由二次函数的性质可知在递减，则，由题意可得，解得故选例52．（2023·山西省·单元测试）已知且，且在区间上有恒成立，则实数a的取值范围是

A． B．C． D．【答案】C

【解析】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，”．①当时，，即，解得，故；②当时，，即，解得，故综上，实数a的取值范围是故选例53．（2023·全国·其他类型）已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】函数对于一切实数均有成立，令得，，又，，令得，，即，当时，不等式恒成立，当时，恒成立，令，，则在上单调递增，，要使当时，恒成立，则，且有，即，所以故选：例54．（2023·辽宁省抚顺市·单元测试）若，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】①若且时，不等式成立，此时②若，此时不等式组的解为；③若，不等式组无解，综上实数a的取值范围是，故选例55．（2023·河南省·其他类型）已知幂函数满足，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由幂函数的概念可知，，所以，解得或，当时，，则，不满足题意，当时，，则，满足题意，则，其定义域为令，则，所以，，所以当时，取得最小值，故函数的值域为故选②转化与化归思想例56．（2023·全国·其他类型）若函数的值域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】设，则，且，由题意，得的值域为，且在上单调递减，在上单调递增，对于A：当时，，显然，即选项A错误；对于B：当时，，显然，即选项B错误；对于C：当时，，显然，即选项C错误；对于D：当时，则由二次函数的性质，得：当或，，当时，，即选项D正确．故选：例57．（2023·全国·其他类型）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】因为，且，所以，即，因为函数

在R上是单调递增函数，所以函数在R上是单调递增函数，所以当时，有，因为，所以有，由，因为函数在R上是单调递减函数，所以函数在R上是单调递减函数，因为，所以，因此，故选：A例58．（2023·