第1章 集合 章末题型归纳总结-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第1章集合章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：集合的基本概念经典题型二：集合的基本关系经典题型三：集合的交、并、补运算经典题型四：利用子集关系求参数经典题型五：子集、真子集的个数问题经典题型六：韦恩图的应用经典题型七：根据集合的交、并、补求参问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：集合的基本概念例1．（2023·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A，表示不同的点，故A不正确；对于B，集合与集合相同，故B正确；对于C，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故C不正确；对于D，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故D不正确.故选：B.例2．（2023·高一课前预习）由英文单词“book”中的字母构成的集合中元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．16【答案】A【解析】3个不同的元素例3．（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（）①；②；③；④.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】为实数，①正确；是无理数，，②正确；是自然数，③正确；，④错误，故选：C例4．（2023·全国·高一假期作业）下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①集合中最小数为，故①错误；②取，则，故②错误；③若，，则的最小值为2，错误，当时，，故③错误；④所有的正数组成一个集合，故④正确；故选：B.例5．（2023·高一课时练习）方程组的解集可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，所以方程组的解集可以表示为，故选：C例6．（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.例7．（2023·高一课时练习）方程组的解集可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，将代入得，所以，故选：D例8．（2023·四川雅安·高一统考期末）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.经典题型二：集合的基本关系A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，则.故选：D.例9．（2023·高一课时练习）集合，集合，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．集合间没有包含关系【答案】D【解析】由集合表示函数图象上所有的点的集合，又由结合表示轴上方所有点的集合，因为，但，所以集合与之间没有包含关系.故选：D.例10．（2023·全国·高一假期作业）如果，那么（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A：是元素，所以故与集合的关系是，故A错误；对于B：是集合，所以与集合的关系是，故B错误，D正确，对于C：是集合，所以，故C错误，故选：D．例11．（2023·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以，故选：B例12．（2023·全国·高一假期作业）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，因为，所以集合是由所有奇数的一半组成，而集合是由所有整数的一半组成，故.故选：B例13．（2023·广西桂林·高一统考期末）下列各式中关系符号运用正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:因为是集合,是数字,所以选项A错误;因为是集合,所以,故选项B错误;因为1是中的元素,所以选项C正确;因为,所以选项D错误.故选：C例14．（2023·全国·高一假期作业）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤【答案】C【解析】①中，是集合中的一个元素，，所以①错误；②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；③中，是的子集，，所以③错误；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；⑤中，是的元素，所以⑤正确.故选：C.例15．（2023·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（

）A．M=P B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.例16．（2023·江苏扬州·高一期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．以上选项均不正确【答案】C【解析】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍，即是与的公倍数，，且，∴由集合中元素的互异性，集合中元素有，，，，，，对于集合，当时，是的正整数倍，∴集合中元素有，，，，，，∴.故选：C.例17．（2023·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考期末）已知集合，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以选项A,B,D均正确，C不正确.故选：C.经典题型三：集合的交、并、补运算例18．（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（

）19．（2023·高一课前预习）已知全集，集合，则.【答案】【解析】由全集，集合，则.故答案为：例19．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合则=．【答案】【解析】由题意可得，解方程可得，故．故答案为：例20．（2023·高一课时练习）全集，则为．【答案】/【解析】因为，所以，，∴，故答案为：.例21．（2023·北京·高一校考开学考试）设集合，集合，集合，则.【答案】【解析】；故答案为：.例22．（2023·上海浦东新·高一校考期末）已知集合,,则；【答案】【解析】解:由题知,,所以.故答案为:例23．（2023·高一课时练习）已知集合，，则．【答案】【解析】因为或，故或，故答案为：或.例24．（2023·江苏·高一假期作业）已知全集，.用列举法表示集合.【答案】【解析】因为全集，所以.故答案为：.例25．（2023·江苏·高一假期作业）设集合则．【答案】【解析】由题意知，.故答案为：例26．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，．求，，．【解析】因为，，，所以，，或，所以或，.例27．（2023·广西桂林·高一统考期末）已知集合,,求：(1)；(2)．【解析】（1）因为,，所以；（2）因为,,所以，所以或．经典题型四：利用子集关系求参数例28．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）①当时，即，解得，此时满足；②当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.（2）由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，所以实数不存在，即不存在实数使得.例29．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，则实数a的值是多少?(2)若，则实数a的取值范围是多少?(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?【解析】（1）因为集合，，所以.（2）因为，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.（3）因为B⫋A，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.例30．（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【解析】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.例31．（2023·高一课时练习）设全集，已知集合，集合.(1)求；(2)若且，求实数a的取值范围.【解析】（1）因为集合，由补集的定义可得.（2）因为集合，集合，且，所以分和两种情况：若，则有，解得；若，要使成立，则有，解得，综上所述：实数a的取值范围.例32．（2023·高一课时练习）设集合，，且．(1)若，求实数的值；(2)若，且，求实数的值．【解析】（1）由解得，所以，因为，所以是集合中元素，所以将代入得，解得，.（2）因为，由（1）得是集合中元素，当即时，此时符合题意；当时，①，此时符合题意；②，此时不满足集合元素的互异性，舍去；综上或.例33．（2023·陕西商洛·高一校考期中）设，，，求m的取值范围.【解析】∵，，，∴，解得.即m的取值范围是.例34．（2023·江苏·高一专题练习）已知，若，求实数a的值.【解析】由已知可得，因为，则或或或，当时，，无解，当时，则，解得，当时，则，无解，当时，则，解得，综上，实数a的值为1或4.例35．（2023·高一校考课时练习）设，若，求所有满足条件的的集合.【解析】因为，，若，则，此时满足；若，则，因为，故或，解得或，所以的取值集合为.例36．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，或.(1)若为非空集合，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）若为非空集，则，解得：；（2）若，则，当时，，解得：，当时，，解得：或，解得：所以实数的取值范围是或经典题型五：子集、真子集的个数问题例37．（2023·全国·高一假期作业）集合，则集合的子集的个数为.【答案】4【解析】由方程，解得或，即集合，所以集合的子集为，共有4个子集.故答案为：4.例38．（2023·高一课时练习）满足的集合M共有个.【答案】7【解析】由题意可得，,所以集合M包含，且集合M是的真子集，所以或或或或或或,即集合M共有个.故答案为：例39．（2023·江西赣州·高一上犹中学校考周测）若，则，就称是伙伴关系集合．集合（填“是”或“不是”）伙伴关系集合；集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为．【答案】不是【解析】对于集合，由，但，所以集合不是伙伴关系集合；因为，；，；，；，；这样所求集合即由“”，“”，“和”，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为．故答案为：不是；15．例40．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）集合共有个子集【答案】8【解析】集合共有个子集.故答案为：.例41．（2023·高一课时练习）设集合，，，集合M的真子集的个数为．【答案】15【解析】集合，，而，则，所以集合M的真子集的个数为.故答案为：15例42．（2023·高一单元测试）已知集合，，则满足条件的集合的个数为个.【答案】31【解析】集合，，由得,所以是的真子集故有，故答案为：31经典题型六：韦恩图的应用例43．（2023·江苏·高一假期作业）如图是反映的“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容.A为；B为；C为；D为.【答案】{小说}{文学作品}{叙事散文}{散文}【解析】由Venn图可知AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系，由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，得A为{小说}，B为{文学作品}，C为{叙事散文}，D为{散文}.故答案为：{小说}，{文学作品}，{叙事散文}，{散文}例44．（2023·全国·高一专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为．【答案】21【解析】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，由Venn图可知，，即，解得，所以对A，B都赞成的学生有21人.故答案为：21.例45．（2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知，，则.【答案】【解析】由题意,,故画图如图:即得，故答案为：例46．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一（1）班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有人．【答案】5【解析】设报名乒乓球兴趣小组的学生构成集合A，其元素个数为x，报名羽毛球兴趣小组的学生构成集合B，元素个数为y，其关系如下：由题意可知:，解得，因此只报名羽毛球兴趣小组的学生有人．故答案为：5例47．（2023·河北邯郸·高一校考期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.那么只参加游泳一项比赛的有人.【答案】9【解析】只参加游泳一项比赛的有：.故答案为：例48．（2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是.【答案】18【解析】记该班全体学生形成集合U，该班学生人数为n，参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合A，则，参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合B，则，两个科目都参加选拔的人数为，于是得，两个科目都不参加的学生人数为，依题意，，即有，解得，则，所以该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是18.故答案为：18例49．（2023·重庆涪陵·高一校考期中）为庆祝“二十大”成功召开，学校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动.高一某班选派了部分同学参演了两个节目，已知有20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，15名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》，其中同时参加了两个节目有7名同学.则这一个班参演了节目的共有人．【答案】28【解析】由题可知：只参加合唱的同学又人只参加诗朗诵的同学有：人，都参加了的同学有：7人所以这个班表演节目的共有人故答案为：28.例50．（2023·浙江·高一期中）为全面贯彻素质教育的思想方针，传承百廿二中的体育精神，积极推动我校群体体育教育的开展，提高师生的身体素质，培养坚强的意志品质，丰富校园文化生活，提升学校品质.学校举行了第二十二届体育文化节.文化节的趣味活动共两项：“旋风跑”和“毛毛虫”.某班有24名同学参加了“旋风跑”接力赛，12名同学参加了“毛毛虫”比赛，两个项目都参加的有6人，则这个班共有人参加趣味活动．【答案】30【解析】依题意仅参加“旋风跑”接力赛的同学有人，仅参加“毛毛虫”比赛的同学有人，所以一共有人参加趣味活动．故答案为：经典题型七：根据集合的交、并、补求参问题例51．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知集合，，或.(1)若，求的取值范围．(2)若，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以.当时，满足，此时解得；当时，要使，则解得.综上，的取值范围为.（2）因为，所以解得.例52．（2023·广西百色·高一统考期末）已知集合，，，(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，又因为，所以，因为，所以或（2）若，则有，即

当时，则，得；当时，则，即，则；综上，实数m的取值范围为或例53．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知集合或.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）因为或所以，解得，所以实数的取值范围是.（2）或，由得当时，，解得；当时，，即，要使，则，得.综上，.例54．（2023·高一单元测试）已知集合或，．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以解得．故的取值范围是．（2）因为，所以，则或，解得或．故的取值范围是．例55．（2023·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．【解析】（1）∵当时，集合，∴．（2）选择①若，∴，∴当时，，解得；当时，，解得，满足题意；综上所述：实数的取值范围是．选择②若，∵或，∴时，，解得；当时，，解得满足题意；综上所述：实数的取值范围是．例56．（2023·河南·高一统考期中）已知全集，集合．(1)若且，求实数的值；(2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值．【解析】（1）由题意，，所以，若，则或，解得或，又，所以；（2）因为，当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意；当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意，综上所述，例57．（2023·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）全集，集合，集合.(1)若，且集合满足：，求出所有这样的集合；(2)集合是否能满足，若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.【解析】（1）时，，，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故，，或；（2）因为，所以，若，则满足，此时，解得：；若，则，解得：，所以，解得：或，故，不满足，舍去；若，则，解得：，所以，解得：或2，所以，不满足，舍去；若，则，解得：，所以，解得：或4，不满足，舍去，综上：实数的取值范围是模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例58．（2023·江苏·高一假期作业）已知，且，则＝．【答案】或1【解析】因为，所以①或②，解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去；解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去；所以或.故答案为：或1例59．（2023·高一单元测试）已知集合，则集合B中有个元素．【答案】6【解析】因为，所以．当时，；当时，或；当时，．故集合，即集合B中有6个元素，故答案为：6例60．（2023·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为.【答案】或.【解析】已知集合，且，或当时，，解得，符合题意；当时，且，则或，解得，综上：实数的取值范围为或.故答案为：或.例61．（2023·陕西宝鸡·高二眉县中学校考阶段练习）已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则.【答案】521【解析】根据题意可知，①若正确，则，不合题意；②若正确，则，不合题意；③若正确，则，符合题意，所以.故答案为：例62．（2023·高一课前预习）已知集合，，若，则.【答案】【解析】由元素的互异性可得，当时，，解得，舍去；当时，，此时，，此时需要满足，即；.故答案为：.②转化与化归思想例63．（2023·广西河池·高一校联考阶段练习）满足条件的集合有个.【答案】8【解析】由可得，所以可以是，，，，，，，共8个，故答案为：8.例64．（2023·福建福州·高一校考期中）若集合，，则满足的集合的个数为．【答案】7【解析】由题意得，又，，所以满足条件集合为所以满足的集合的个数为．故答案为：7.例65．（2023·江西南昌·高一进贤县第二中学校考阶段练习）设集合，则集合的非空真子集的个数为.【答案】14【解析】要使，且，则或或或，所以，或或或.所以，.集合的子集有，，，，，，，，，，，，，，，共16个.去掉和，集合的非空真子集的个数为.故答案为：14