专题09 集合的概念（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题09集合的概念【知识点梳理】知识点1：集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．【知识点拨】集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．知识点2：元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A【知识点拨】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．知识点3：集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型归纳目录】题型1：集合与元素的含义题型2：元素与集合的关系题型3：集合中元素特性的简单应用题型4：列举法表示集合题型5：描述法表示集合题型6：集合表示的综合问题【典例例题】题型1：集合与元素的含义例1．(2023·高一课时练习)下列语句中，正确的个数是(

)(1)；(2)；(3)由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；(4)数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；(5)方程的解能构成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然数，故，(1)正确；是无理数，故，(2)错误；由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故(3)错误；数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，(4)错误；方程的解为，可以构成集合，(5)正确；故选：A例2．(2023·高一课时练习)下列各组对象的全体能构成集合的有(

)(1)正方形的全体；(2)高一数学书中所有的难题；(3)平方后等于负数的数；(4)某校高一年级学生身高在1.7米的学生；(5)平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】(1)(3)(4)(5)中的对象是确定的，可以组成集合，(2)中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.例3．(2023·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中)下列四组对象中能构成集合的是()A．宜春市第一中学高一学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数【答案】D【解析】A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．故选：D．变式1．(2023·高一课时练习)下列各组对象不能构成集合的是(

)A．上课迟到的学生 B．年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数【答案】B【解析】根据集合中元素的三要素判断．上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.故选：题型2：元素与集合的关系例4．(2023·全国·高一专题练习)给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.例5．(2023·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试)已知集合,那么(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知集合，故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A例6．(2023·全国·高三专题练习)已知，若，则实数构成的集合的元素个数是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】让集合中每个元素等于1，求得，检验符号集合中元素的互异性，得的值，从而可得结论．①，∴，，则，不可以，②，∴，，则，可以，或，∴，，则，不可以，③，，，则，不可以，或，∴，，则，不可以，∴，故选：B．变式2．(2023·高一课时练习)设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【解析】表示实数集

，则①正确表示有理数集

，则②正确表示自然数集

，则③正确是集合的一个元素

，则④正确本题正确选项：变式3．(2023·河北·高三学业考试)若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是

()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M【答案】B【解析】当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.选B变式4．(2023·全国·高三专题练习)设集合，若，则的值为(

)．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D【解析】由集合中元素的确定性知或．当时，或；当时，．当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．综上，或．故选：D．题型3：集合中元素特性的简单应用例7．(2023·全国·高三专题练习)集合中实数的取值范围是_________．【答案】.【解析】由集合，根据集合元素的互异性，可得，即实数的取值范围是.故答案为：.例8．(2023·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试)已知集合与相等，则实数__________．【答案】2【解析】因为集合与相等，则，解得．故答案为：2.例9．(2023·全国·高三专题练习)含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________.【答案】【解析】要使得有意义，则，由集合，故可得，此时，故只需或，若，则集合不满足互异性，故舍去.则只能为.则.故答案为：.变式5．(2023·高一课时练习)由构成的集合中，元素个数最多是______.【答案】2【解析】当时，，此时元素个数为1；当时，，所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2.所以由构成的集合中，元素个数最多是2个.故答案为:2.变式6．(2023·河北·高三学业考试)设集合，，，则中的元素个数为______．【答案】4【解析】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．故答案为：4．变式7．(2023·上海·高三统考学业考试)“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________【答案】7【解析】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.题型4：列举法表示集合例10．(2023·全国·高三专题练习)用列举法写出集合＝__________.【答案】【解析】由且，得或或或或或或，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时，，当时，.故.故答案为：例11．(2023·高一课时练习)设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______.【答案】【解析】a，b是非零实数，当时，，当时，，当时，，所以所求集合是.故答案为：例12．(2023·全国·高一专题练习)已知集合，用列举法表示M＝______．【答案】【解析】根据题意，应该为6的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.又，所以的值分别为：4，3，2.故集合.故答案为：变式8．(2023·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末)用列举法表示_________．【答案】【解析】.故答案为：变式9．(2023·高一课时练习)已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．(1)试用列举法表示集合且；(2)试用列举法表示集合且．【解析】由题意，，.(1).(2).且变式10．(2023·高一课时练习)用列举法表示下列集合(1)以内非负偶数的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．【解析】(1)以内的非负偶数有，所以构成的集合为，(2)的根为，所以所有实数根组成的集合为，(3)联立和，解得，所以两个函数图象的交点为，构成的集合为题型5：描述法表示集合例13．(2023·上海崇明·高一统考期末)直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________．【答案】【解析】依题意，第二象限所有点组成的集合是.故答案为：例14．(2023·高一课时练习)用描述法表示所有奇数组成的集合________．【答案】【解析】根据奇数可写成的形式即可得出.所有奇数可写成的形式，所以所有奇数组成的集合为.故答案为：.例15．(2023·高一课时练习)用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合．(2)坐标平面内第一象限内的点的集合．(3)大于4的所有偶数．【解析】(1)因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；(2)第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；(3)大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．变式11．(2023·高一课时练习)试用集合表示图中阴影部分(含边界)的点.【解析】由题意可得，所以图中阴影部分(含边界)的点组成的集合为.变式12．(2023·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习)用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有实数解组成的集合；(4)抛物线上所有点组成的集合；(5)集合.【解析】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：(2)不等式的解集，用描述法可表示为：.(3)方程的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：.(4)抛物线上所有点组成的集合，用描述法可表示为：.(5)集合，用描述法可表示为：且.题型6：集合表示的综合问题例16．(2023·全国·高三对口高考)设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.【答案】【解析】由题意可知，不含“孤立元”的个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合有：、、、、、，共个.故答案为：.例17．(2023·全国·高三专题练习)已知集合中的所有元素之和为1，则实数的取值集合为_____．【答案】【解析】集合中的所有元素之和为1，则：①当时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当没有实根时,，即，解得：.综合①②得:.故答案为.例18．(2023·全国·高三专题练习)已知集合.(1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围.【解析】(1)由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且.故实数的取值范围是且(2)当时，方程为，，集合只有一个元素；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.综上可知，实数的取值范围是或变式13．(2023·高一课时练习)已知集合，其中.(1)1是中的一个元素，用列举法表示A；(2)若中至多有一个元素，试求a的取值范围.【解析】(1)因为，所以，得，所以.(2)当中只有一个元素时，只有一个解，所以或，所以或，当中没有元素时，无解，所以，解得，综上所述：或.变式14．(2023·高一课时练习)集合M满足：若，则(且)已知，试求集合M中一定含有的元素.【解析】，，，，，∴在M中还有元素，，.故集合M一定含有的元素有.变式15．(2023·高一课时练习)集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：(1)A中至少有几个元素？(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【解析】(1)因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少有3个元素.(2)因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的元素是.(3)令，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的其它元素是.【过关测试】一、单选题1．(2023·陕西榆林·高一校考阶段练习)下列各组对象不能构成集合的是(

)A．上课迟到的学生B．2022年高考数学难题C．所有有理数D．小于x的正整数【答案】B【解析】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B2．(2023·高一课时练习)由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，故，即，即a可取2，即A，B，C错误，D正确，故选：D3．(2023·北京·统考模拟预测)设集合，则(

)A．当时， B．对任意实数，C．当时， D．对任意实数，【答案】C【解析】当时，，将代入A得：成立，故，即A错误；若时，此时将代入不成立，即B错误；当时，此时将代入不成立，即C正确；若时，此时将代入A得成立，即D错误；故选：C.4．(2023·四川绵阳·统考模拟预测)已知集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，即集合B的可能元素，则有：由，则，可得；由，且，可得，且；由，且，可得，且；由，且，可得；综上所述：.故选：D.5．(2023·全国·高三专题练习)设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是(

)A．N B．Z C．Q D．【答案】C【解析】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；对于集合，，，故不是数域，D选项错误.故选：C6．(2023·高一课时练习)方程组的解集可表示为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，将代入得，所以，故选：D7．(2023·全国·高一专题练习)已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为()A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】集合A满足，，，故，，，，故，则集合A所有元素之和为：故选：C8．(2023·全国·高三专题练习)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为()A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】，的取值有、、、，又，值分别为、、、，故集合中的元素个数为，故选C.考点：数的整除性二、多选题9．(2023·河南周口·高一周口恒大中学校考期末)下列说法中不正确的是(

)A．与表示同一个集合B．集合＝与＝表示同一个集合C．方程＝的所有解的集合可表示为D．集合不能用列举法表示【答案】ABC【解析】对于A中，是一个元素(数)，而是一个集合，可得，所以A不正确；对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，所以B不正确；对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.10．(2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中)已知集合，则下列属于集合A的元素有(

)A． B．3 C．4 D．6【答案】CD【解析】依题意，是的约数，而的约数有，即，则，因为，因此所以CD正确，AB错误.故选：CD11．(2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考开学考试)(多选)给出下列关系中正确的有()A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，，，，所以AD正确.故选：AD.12．(2023·云南·高一校联考阶段练习)已知集合，若，则的值可能为(

)A． B．2 C． D．12【答案】ABD【解析】因为，所以或.①当时，，，所以或，得或4.当时，不合题设，舍去.当时，，，此时.②当时，，，所以或，解得：或或当时，不合题设，舍去.当时，，此时.当时，，此时.故选：ABD三、填空题13．(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模)已知，则__________.【答案】3【解析】因为，所以二次方程有两个相等的实数根，则①，且方程的根为1，所以②，联立①②解得：所以故答案为：.14．(2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)已知集合中的最大元素为，则实数________.【答案】1【解析】因为，所以，所以，解得或，显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．故答案为：15．(2023·高一课时练习)已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则_____.【答案】【解析】当都为正数时，可得；当都为负数时，可得；当两正一负时，可得；当一正两负时，可得，所以集合.故答案为：.16．(2023·江苏·高一专题练习)已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______．【答案】【解析】当时，，满足条件；当时，只有1个元素，则二次方程判别式，解得.故或故答案为：四、解答题17．(2023·全国·高一专题练习)选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．【解析】(1)方程的实数根为－1，0，3，所以方程的实数根组成的集合可以表示为{－1，0，3}；(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}；(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.18．(2023·贵州安顺·高一校考阶段练习)已知集合，，若.(1)求实数的值；(2)如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.【解析】(1)∵，∴或者得或，验证当时，集合，集合内两个元素相同，故舍去∴(2)由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.由一元二次方程根与系数的关系，得.19．(2023·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市南岗中学校校考阶段练习)已知集合，若，求实数a的取值集合．【解析】因为，所