专题15 等式性质与不等式性质（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题15等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则(为正数)、或(为负数)三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式(组)表示不等关系题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典例例题】题型一：用不等式(组)表示不等关系例1．(2023·甘肃酒泉·高一统考期末)铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(

)A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.故选：C.例2．(2023·四川眉山·高一校考阶段练习)将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为(

)A． B．或C． D．【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为.因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D例3．(2023·西藏林芝·高一校考期中)下列说法正确的是(

)A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”C．某变量x至少为a可表示为“x>a”D．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x>y”【答案】B【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误；对于B，变量y不超过a可表示为，B正确；对于C，变量x至少为a可表示为，C错误；对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.故选：B.变式1．(2023·黑龙江双鸭山·高一校考期中)完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，请工人满足的关系式是，即.故选：D变式2．(2023·全国·高一专题练习)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘米)，故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B．变式3．(2023·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考开学考试)在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间(包括这两点)移动，点在表示和0的两点(包括这两点)之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意.可知：而是负数，只有的值可以超过2021，如，故选：D.题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小例4．(2023·高一课时练习)比大小：_____．【答案】>【解析】因为，，所以，，因为，所以，所以.故答案为：.例5．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)已知，，则的大小关系是_______．【答案】【解析】由于，所以.故答案为：例6．(2023·四川成都·高一校考阶段练习)已知，，则与的大小关系为__________．【答案】/【解析】因为，，所以，所以.故答案为：变式4．(2023·吉林长春·高一校考阶段练习)设、为实数，比较两式的值的大小：_______(用符号或=填入划线部分)．【答案】【解析】因为，时等号成立，所以．故答案为：变式5．(2023·全国·高一专题练习)，则的大小关系为_______．【答案】≥【解析】因为，则由所以故答案为：变式6．(2023·上海宝山·高一校考期中)如果，，那么，，从小到大的顺序是___________【答案】【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：题型三：利用不等式的性质判断命题真假例7．(多选题)(2023·高一单元测试)如果满足，且，那么下列不等式中一定成立的是()A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由实数满足，且，可得，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，可得，因为，所以，所以B正确；对于C中，当，则，可得，所以C不正确；对于D中，由，可得，因为，所以，所以D正确.故选：ABD.例8．(多选题)(2023·全国·高一专题练习)下列命题为真命题的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题；对于B，若，则，，所以，故B是真命题；对于C，若，则，所以，故C是假命题；对于D，若，则成立，故D是真命题.故选：BD.例9．(多选题)(2023·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习)已知∈R，则下列结论正确的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】对于A：因为，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确；对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得，故C错误；对于D：,因为，所以,所以，所以，故D正确.故选：ABD变式7．(多选题)(2023·湖南长沙·高一校联考阶段练习)下列不等式成立的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】BD【解析】对于A，当时，则，故A错误；对于B，由，则，，故B正确；对于C，当，则，故C错误；对于D，由，，则，所以，故D正确．故选：BD．变式8．(多选题)(2023·宁夏吴忠·高一统考期中)若是不为0的实数，且，则下列不等式一定成立的是(

)A． B． C． D．【答案】BD【解析】对于A，当，时，，故A不正确；对于B，因为，，即，故B正确；对于C，当时，，故C不正确；对于D，由可得或或，当时，则，故，即，当时，则，故，当时，则，所以由可得，故D正确.故选：BD．变式9．(多选题)(2023·辽宁丹东·高一统考期末)若，，则下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，由，则，故A正确；对于B，，由，所以，故B错误；对于C，由，可得，所以，所以，故C错误；对于D，，由，则，即，故D正确.故选：AD.题型四：利用不等式的性质证明不等式例10．(2023·高一课时练习)证明下列不等式：(1)已知，求证(2)已知，求证：．【解析】(1)证明：，，，，又因为，即，所以.(2)证明：，，；又，，；.例11．(2023·河北石家庄·高一校考期中)(1)比较与的大小．(2)已知，求证：；【解析】(1)，所以.(2)因为，所以，所以，所以，即.例12．(2023·内蒙古呼和浩特·高一统考期中)证明不等式．(1)，bd＞0，求证：；(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．【解析】(1)证明：，因为，，所以，，又bd＞0，所以，，即.(2)证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，，，，则，，即有，成立；因为，，所以，，又，所以，成立.所以，有.变式10．(2023·高一课时练习)阅读材料：(1)若，且，则有(2)若，则有．请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【解析】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料(1)知，，同理，，由材料(2)得：，所以原不等式成立.变式11．(2023·河北衡水·高一校考阶段练习)已知，，求，的取值范围．【解析】因为，所以．

又，所以，即．

因为，所以，因为，所以，

所以，即．

所以的取值范围是，的取值范围是．题型五：利用不等式的性质比较大小例13．(2023·高一课时练习)已知，则下列结论不正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；取，则，此时，故C错误；∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．故选：C．例14．(2023·高一课时练习)若，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，C，令，满足，而，，AC错误；对于B，令，，B错误；对于D，，D正确.故选：D例15．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)设、、为实数，且，则下列不等式正确的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为、、为实数，且，所以，，，，故A错误，D正确；当时，故B错误，因为，所以，故C错误；故选：D变式12．(2023·福建泉州·高一校考期中)若，一定成立的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】若，则，故A正确；当时，，故BC错误；当时，，故C错误.故选：A.变式13．(2023·全国·高一专题练习)已知，且，则下列结论中正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且，可得，A正确；取，满足条件，但，B错误；取，满足条件，但，，C，D错误；故选：A变式14．(2023·安徽合肥·高一校考期末)下列命题为真命题的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.故选：B.题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例16．(2023·高一课时练习)已知，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，在中，∵，∴，解得：，故答案为：.例17．(2023·江西赣州·高一上犹中学校考周测)若α，β满足，则的取值范围是______________【答案】【解析】因为，所以，，∴，又，∴．故答案为：例18．(2023·贵州贵阳·高一校联考期中)已知，，则的取值范围是______.【答案】【解析】∵，∴，∵，∴.故答案为：.变式15．(2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习)已知，，则的取值范围是______．【答案】【解析】设，所以，解得，因为，，则，，因此，.故答案为：.变式16．(2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)若，，则的取值范围是_________.【答案】【解析】令，则，解得，因为，，故.故答案为：变式17．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习)已知，则的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可得，因为，所以，故，即的取值范围是，故答案为：变式18．(2023·高一课时练习)若、满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，则，，且，所以，，所以，.故的取值范围是.故答案为：.变式19．(2023·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习)若实数，满足，则的取值范围为__．【答案】【解析】由不等式的性质求解即可．，因为实数，满足，所以，即的取值范围为．故答案为：．【过关测试】一、单选题1．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末)已知，，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】,，又，故选：C2．(2023·山东济宁·高一曲阜一中校考期末)已知，，则的范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】设，得，解得：，所以，因为，，所以，，所有的范围是.故选：C3．(2023·高一课时练习)下列各式中，不能判断其符号的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，故A正确；，故B正确；当时，；当时，，故C正确；当时，；当时，；当时，，则的值可正，可负，也可能为0，故D错误.故选：D.4．(2023·高一课时练习)若，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】若，则，则，即，即，故选：D.5．(2023·高一单元测试)设，，则有(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】，∴.故选：A.6．(2023·广西·高一校联考期中)下列命题为真命题的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A：当时，，A错误；对于B：当时，，B错误；对于C：取满足，，而，此时，C错误；对于D：当时，则，所以，即，又，所以，D正确.故选：D.7．(2023·高一校考课时练习)下列说法中，错误的是(

)A．若，则一定有 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】对于A，若，则，故A错误.对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.对于C，，因为，所以，所以.故C正确.对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.故选：A.8．(2023·江苏盐城·高一统考期中)设，，，则P，Q，R的大小顺序是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，而，，而，，即，综上，.故选：B.二、多选题9．(2023·浙江·高一校联考期中)已知实数，则下列不等式正确的是(

)A． B． C． D．【答案】BCD【解析】对于A项，取，，，，则，，所以，故A项错误；对于B项，由已知可得，，，所以，故B项正确；对于C项，因为，所以.因为，所以，故C项正确；对于D项，因为，所以.因为，所以，所以，所以.又，所以，，所以，故D项正确.故选：BCD.10．(2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习)已知，则下列结论正确的为(

)A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【解析】对于A：当，，则，若，，，，显然满足，，但是、，此时，故选项A错误；对于B：因为若，所以，又，则，故选项B错误；对于C：因为，所以，即，所以，故选项C正确；对于D：若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；故选：CD11．(2023·云南昆明·高一昆明一中统考期末)已知为实数，则(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【解析】当时，，A错误；，则，即，B正确；，则，，∴，∴，C正确；，则，，，∴，即，D正确．故选：BCD．12．(2023·吉林长春·高一校考阶段练习)已知，，则下列不等式不正确的是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】，，，，故A正确；，，，，故B不正确；设，则，，，，，，，，，，故C正确、D错误；故选：BD.三、填空题13．(2023·高一课时练习)已知均为实数，有下列说法:①若，则;②若，则;③若，则;④若，则.其中，正确的结论是________.(填序号)【答案】③【解析】①用特殊值法检验．令，有，故①错误；②当时，有，故②错误；③当时，有，从而，故③正确；④当时，显然有，故④错误．综上，只有③正确.故答案为：③14．(2023·北京·高一北京市十一学校校考期末)已知对于实数，，满足，，则的最大值为______.【答案】7【解析】由，可得，，因为，，所以，故，则的最大值为7，故答案为：715．(2023·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习)已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是_____．【答案】③【解析】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误；对于②，当时，满足，不满足，故②错误；对于③，由，则，即，故③正确；对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误.故答案为：③16．(2023·青海玉树·高一校联考期末)已知，则__________．(填“＞”“＜”或“＝”)【答案】【解析】，因为