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第1页(共1页)2024年浙江省杭州市西湖区之江实验中学中考数学二模试卷一、选择题:(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)1.(3分)珠穆朗玛峰是世界最高的山峰,某日测得山脚气温为19℃,山顶气温为﹣31℃()A.24℃ B.26℃ C.50℃ D.75℃2.(3分)如图所示的圆柱,它的俯视图为()A. B. C. D.3.(3分)把a2﹣2a+1分解因式,正确的是()A.a(a﹣2)+1 B.(a+1)2 C.(a+1)(a﹣1) D.(a﹣1)24.(3分)如图,CA⊥BE于A,AD∥BC,则∠C等于()A.36° B.46° C.54° D.126°5.(3分)如图所示,若点E坐标为(m,n),则(m﹣2,n+2)对应的点可能是()A.A点 B.B点 C.C点 D.D点6.(3分)在一个不透明的袋子中,装有四个分别标有数字,,0,2的小球,两球上的数字之积恰好是无理数的概率是()A. B. C. D.7.(3分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载:绳索量竿问题,“一条竿子一条索,索比竿子长一托,却比竿子短一托”.其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设竿长x尺,则符合题意的方程组是()A. B. C. D.8.(3分)尺规作图源于古希腊的数学课题,蕴含着丰富的几何原理.如图,在△ABC中,BC为半径作弧交边AB于点D;②以点A为圆心;③连结CD与DE.若要求∠CDE的度数,则只需知道()A.∠A的度数 B.∠B的度数 C.∠ACB的度数 D.∠DCE的度数9.(3分)某小组在研究了函数y1=x与性质的基础上,进一步探究函数y=y1﹣y2的性质,以下几个结论:①函数y=y1﹣y2的图象与x轴有交点;②函数y=y1﹣y2的图象与y轴没有交点;③若点(a,b)在函数y=y1﹣y2的图象上,则点(﹣a,﹣b)也在函数y=y1﹣y2的图象上.以上结论正确的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=10,E是矩形内部的一个动点,连接AE,CE,DE()A.0<CE<2 B.无论点E在何位置,总有AE2+CE2=BE2+DE2 C.若AE⊥BE,则线段CE的最小值为8 D.若∠EAD+∠EBC=60°,AE+BE的最大值为23二、填空题:(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)11.(3分)若二次根式有意义,则x的取值范围是.12.(3分)走路不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小云、小南两名同学将同一星期内日步数的数据绘制成折线统计图,将步数方差分别记为,,(填“>”,“<”或“=”).13.(3分)现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如表所示.甲种糖果乙种糖果单价(元/千克)3020千克数ab将这a千克甲种糖果和b千克乙种糖果混合成什锦糖果,则混合什锦糖果的单价为元/千克(用含a和b表示).14.(3分)如图,正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O,连接BG.15.(3分)如图,4个小正方形拼成“L”型模具,其中两个顶点在y轴正坐标轴上,顶点D在反比例函数的图象上△ABC=4,则k=.16.(3分)已知矩形纸片ABCD,将纸片沿AE折叠,使点D与BC边上的点F重合,连结AF,DF(如图1),将纸片继续沿DF折叠,点C的对应点G恰好落在AF上,连结DG,与AE交于点H(如图2),CE=4,则tan△CDF=;AH=.三、解答题:(本大题有8个小题,共72分)17.(6分)化简:.圆圆的解答下:=2x﹣x+3=x+3圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的解答.18.(6分)如图,在6×6的正方形网格图中,小正方形的边长都为1,在该网格图中只用无刻度的直尺作图,保留作图痕迹.(1)在线段AC上画出点D,使△ABD∽△ACB.(2)画出△ABC的外接圆圆心O,并连结OB,OC19.(8分)小璐在研究数学题的时候发现:任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.(1)计算22+42的结果是4的几倍?(2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),请论证“发现”中的结论正确;(3)任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗?(填“是”或“否”).20.(8分)某公司准备从A、B两款语音识别软件中择优购买一款.为了解两款软件的性能,测试员小敏随机选取了20个句子,其中每句都含10个字.他用标准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件,下面给出了部分信息:A款软件每个句子中识别正确的字数记录为:5,5,6,6,66,6,6,7,78,9,9,9,910,10,10,10B款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为:A、B两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表软件平均数众数中位数识别正确达到10个字的句子所占百分比A款7.7a7.525%B款7.78bc根据以上信息,解答下列问题:(1)上述中的a=,b=,c=;(2)若会议记录员用A、B两款软件各识别了500个句子,每个句子有10个文字,请估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有多少个?(3)该公司现派采购小组前去购买一批同款语音识别输入软件,请你根据学过的统计量,从A、B两款软件中推荐一款进行采购21.(10分)甲骑电动车,乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩,设乙行驶的时间为x(h)甲、S乙关于x的函数图象如图①所示,甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示,请你解决以下问题:(1)甲的速度是km/h,乙的速度是km/h;(2)对比图①、图②可知:a=,b=;(3)乙出发多少时间,甲、乙两人路程差为7.5km?22.(10分)综合与实践【问题情境】如图,在正方形ABCD中,点E在线段AD上,且始终满足AE=CF,连接BE,将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度,得到线段EG(点G是点B旋转后的对应点),EG与BF交于点H.【初步分析】(1)线段EG与BF的数量关系为,位置关系为;【深入分析】(2)如图②,再将线段EG绕点E逆时针旋转90°,得到线段EM(点M是点G旋转后的对应点),请判断四边形BEMF的形状,并说明理由;(3)如图③,若点G落在BC的延长线上,且当点H恰好为EG的中点时,AD=3,求CG的长.23.(12分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+(a﹣3)x﹣3经过点A(3,t),B(m,p).(1)若t=0,①求此抛物线的对称轴;②当p≥t时,直接写出m的取值范围;(2)若t>0,点C(n,q)在该抛物线上,请比较p,q的大小24.(12分)在△ABC内接于⊙O,点D在⊙O上,连结AD,分别交BC于点E,F,∠CAD=∠BAO.(1)求证:AD⊥BC.(2)若AO∥CD.①求证:CA=CF.②若CD=5,,求BC的长.
2024年浙江省杭州市西湖区之江实验中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)1.(3分)珠穆朗玛峰是世界最高的山峰,某日测得山脚气温为19℃,山顶气温为﹣31℃()A.24℃ B.26℃ C.50℃ D.75℃【解答】解:∵山脚气温为19℃,山顶气温为﹣31℃,∴山脚与山顶的温度相差为:19﹣(﹣31)=19+31=50(°C).故选:C.2.(3分)如图所示的圆柱,它的俯视图为()A. B. C. D.【解答】解:竖直放置的圆柱体,从上面看圆.故选:A.3.(3分)把a2﹣2a+1分解因式,正确的是()A.a(a﹣2)+1 B.(a+1)2 C.(a+1)(a﹣1) D.(a﹣1)2【解答】解:a2﹣2a+6=(a﹣1)2.故选:D.4.(3分)如图,CA⊥BE于A,AD∥BC,则∠C等于()A.36° B.46° C.54° D.126°【解答】解:∵AD∥BC,∠1=54°,∴∠B=∠1=54°.∵CA⊥BE于A,∴∠BAC=90°,∴∠C=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°.故选:A.5.(3分)如图所示,若点E坐标为(m,n),则(m﹣2,n+2)对应的点可能是()A.A点 B.B点 C.C点 D.D点【解答】解:∵点E坐标为(m,n),n+2>n,∴m﹣2,n+3)在点E的左上方,∴点A符合.故选:A.6.(3分)在一个不透明的袋子中,装有四个分别标有数字,,0,2的小球,两球上的数字之积恰好是无理数的概率是()A. B. C. D.【解答】解:列表如下:72(,)(,3)(,2)(,)(,0)(,2)0(0,)(0,)(3,2)2(6,)(2,)(2,0)共有12种等可能的结果,其中两球上的数字之积恰好是无理数的结果有:(,(,2),),(2,),∴两球上的数字之积恰好是无理数的概率是.故选:B.7.(3分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载:绳索量竿问题,“一条竿子一条索,索比竿子长一托,却比竿子短一托”.其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设竿长x尺,则符合题意的方程组是()A. B. C. D.【解答】解:设索长为x尺,竿子长为y尺,根据题意得:.故选:B.8.(3分)尺规作图源于古希腊的数学课题,蕴含着丰富的几何原理.如图,在△ABC中,BC为半径作弧交边AB于点D;②以点A为圆心;③连结CD与DE.若要求∠CDE的度数,则只需知道()A.∠A的度数 B.∠B的度数 C.∠ACB的度数 D.∠DCE的度数【解答】解:由题意得,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD,∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠A+∠ADE+∠AED=180°,即∠A=180°﹣2∠ADE,在△BDC中,∠B+∠BDC+∠BCD=180°,即∠B=180°﹣2∠BDC,∴∠A+∠B=180°﹣8∠ADE+180°﹣2∠BDC=360°﹣2(∠ADE+∠BDC),∵∠ADE+∠BDC=180°﹣∠CDE,∴∠A+∠B=360°﹣4(180°﹣∠CDE)=2∠CDE,在△ABC中,∠A+∠B=180°﹣∠ACB,∴2∠CDE=180°﹣∠ACB,即∠CDE=90°﹣,∴若要求∠CDE的度数,则只需知道∠ACB的度数,故选:C.9.(3分)某小组在研究了函数y1=x与性质的基础上,进一步探究函数y=y1﹣y2的性质,以下几个结论:①函数y=y1﹣y2的图象与x轴有交点;②函数y=y1﹣y2的图象与y轴没有交点;③若点(a,b)在函数y=y1﹣y2的图象上,则点(﹣a,﹣b)也在函数y=y1﹣y2的图象上.以上结论正确的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【解答】解:∵y1=x,,∴y=y1﹣y2=x﹣,①当y=0时,x﹣,解得x=;①正确;②当x=0时,分式无意义;②正确;③当点(a,b)在函数y=y1﹣y7的图象上,则b=a﹣,﹣b=﹣a﹣),即b=a﹣,故选:D.10.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=10,E是矩形内部的一个动点,连接AE,CE,DE()A.0<CE<2 B.无论点E在何位置,总有AE2+CE2=BE2+DE2 C.若AE⊥BE,则线段CE的最小值为8 D.若∠EAD+∠EBC=60°,AE+BE的最大值为23【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=10,∴AC=,又∵点E在矩形ABCD内部,∴,故选项A正确,不符合题意;过点E作EM⊥AB于M,ME的延长线交CD于P,NE的延长线交AD于Q设EQ=a,EN=b,EP=d,∵四边形ABCD为矩形,EM⊥AB,∴EP⊥CD,EQ⊥AD,∴四边形AMEQ,四边形BNEM,四边形DPEQ均为矩形,由勾股定理得:EA7=a2+c2,EC8=b2+d2,BE6=b2+c2,DE6=a2+d2,∴AE7+CE2=a2+c2+b2+d2,BE5+DE2=b2+c5+a2+d2,∴AE4+CE2=BE2+DE4,故选项B正确,不符合题意;以AB为直径作圆,圆心为O,如图2所示:则OA=OB=OK=AB=5,∵AE⊥BE,即∠AEB=90°,∴点E在矩形内部的半圆上运动,根据点与圆的位置关系得:当点E与点K重合时,CE为最小,在Rt△OBC中,OB=5,由勾股定理得:OC=,∴CK=OC﹣OK=13﹣5=2,即线段CE的最小值为8,故选项C正确,不符合题意;∵四边形ABCD为矩形,∴∠CBA+∠BAD=180°,∵∠EAD+∠EBC=60°,∴∠EAB+∠EBA=120°,∴∠AEB=180°﹣(∠EAB+∠EBA)=180°﹣120°=60°,在矩形ABCD内部,以AB为一边作等边△ABG,以AB为半径作⊙G,使EF=AE∴AE+BE=EF+BE=BF,∠EAF=∠EFA,⊙G的直径为20又∵∠EAF+∠EFA=∠AEB=60°,∴∠EAF=∠EFA=30°,∴点F在优弧AFB上运动,BF为⊙G的弦,根据“直径是圆内最大的弦”得:当BF为⊙G的直径时为最大,最大值为20,故选项D不正确,符合题意.故选:D.二、填空题:(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)11.(3分)若二次根式有意义,则x的取值范围是x≥2.【解答】解:根据题意,使二次根式,即x﹣2≥2,解得x≥2;故答案为:x≥2.12.(3分)走路不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小云、小南两名同学将同一星期内日步数的数据绘制成折线统计图,将步数方差分别记为,,>(填“>”,“<”或“=”).【解答】解:由题意可知,两名同学一星期内日步数都在10000上下波动,所以>,故答案为:>.13.(3分)现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如表所示.甲种糖果乙种糖果单价(元/千克)3020千克数ab将这a千克甲种糖果和b千克乙种糖果混合成什锦糖果,则混合什锦糖果的单价为元/千克(用含a和b表示).【解答】解:由题意可得,混合后的什锦糖的单价应定为元.故答案为:.14.(3分)如图,正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O,连接BG15°.【解答】解:如图,连接OA,OG,∵正方形AGDH是⊙O的内接正方形,∴∠AOG==90°,∵正六边形ABCDEF是⊙O的正六边形,∴∠AOB==60°,∴∠BOG=90°﹣60°=30°,∴弦BG所对圆周角的度数为∠BOG=15°.故答案为:15°.15.(3分)如图,4个小正方形拼成“L”型模具,其中两个顶点在y轴正坐标轴上,顶点D在反比例函数的图象上△ABC=4,则k=﹣24.【解答】解:∵S△ABC=4,∴=4,∴BC2=7,∴小正方形边长为2,∴AB=4,BC=AF=3,AC=2,如图,作DE⊥x轴,∵∠BAF=90,∴∠OAF=∠BCA,∴△ABC∽△FOA,∴,即,∴AO=,OF=,同理△AOF∽△FED,∴,即,∴EF=,DE=,∴OE=OF+EF=.D(﹣2,),∵点D在反比例函数图象上,∴k=﹣6×=﹣24.故答案为:﹣24.16.(3分)已知矩形纸片ABCD,将纸片沿AE折叠,使点D与BC边上的点F重合,连结AF,DF(如图1),将纸片继续沿DF折叠,点C的对应点G恰好落在AF上,连结DG,与AE交于点H(如图2),CE=4,则tan△CDF=;AH=4.【解答】解:连结EF,如图2,∵CE=4,∴CF==3,∴tan∠CDF===,∴DF==4,∴OD=DF=,∵∠EAD+∠DEA=90°,∠CDF+∠DEA=90°,∴∠DAE=∠CDF.∴tan∠ODH=tan∠DAE=tan∠CDF=,∴OH=OD=,∴AH=OA﹣OH=2,故答案为:;3.三、解答题:(本大题有8个小题,共72分)17.(6分)化简:.圆圆的解答下:=2x﹣x+3=x+3圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的解答.【解答】解:圆圆的解答错误,正确解答如下:====.18.(6分)如图,在6×6的正方形网格图中,小正方形的边长都为1,在该网格图中只用无刻度的直尺作图,保留作图痕迹.(1)在线段AC上画出点D,使△ABD∽△ACB.(2)画出△ABC的外接圆圆心O,并连结OB,OC【解答】解:(1)如图,点D即为所求;(2)如图,点O即为所求.∵OB=OC==2=2,∴OB8+OC2=BC2,∴∠BOC=90°,∴的长==π.19.(8分)小璐在研究数学题的时候发现:任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.(1)计算22+42的结果是4的几倍?(2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),请论证“发现”中的结论正确;(3)任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗?否(填“是”或“否”).【解答】解:(1)∵22+62=4+16=20,20÷8=5,∴24+42的结果是8的5倍.(2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),则较大的偶数为7n+2,则它们的平方和:(2n)6+(2n+2)7=4n2+3n2+8n+2=8n2+6n+4,(8n2+8n+4)÷2=2(n2+n)+7,∵n为整数,∴2(n2+n)为偶数,∴6(n2+n)+1为奇数,即任意两个连续偶数的平方和是7的奇数倍.(3)设三个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),则中间的偶数为2n+7,则它们的平方和:(2n)2+(5n+2)2+(7n+4)2=6n2+4n5+8n+4+7n2+16n+16=12n2+24n+20=7(3n2+4n+5),∴任意三个连续偶数的平方和是4的倍数,但不是奇数倍.故答案为:否.20.(8分)某公司准备从A、B两款语音识别软件中择优购买一款.为了解两款软件的性能,测试员小敏随机选取了20个句子,其中每句都含10个字.他用标准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件,下面给出了部分信息:A款软件每个句子中识别正确的字数记录为:5,5,6,6,66,6,6,7,78,9,9,9,910,10,10,10B款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为:A、B两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表软件平均数众数中位数识别正确达到10个字的句子所占百分比A款7.7a7.525%B款7.78bc根据以上信息,解答下列问题:(1)上述中的a=10,b=8,c=20%;(2)若会议记录员用A、B两款软件各识别了500个句子,每个句子有10个文字,请估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有多少个?(3)该公司现派采购小组前去购买一批同款语音识别输入软件,请你根据学过的统计量,从A、B两款软件中推荐一款进行采购【解答】解:(1)在A款软件每个句子中识别正确的字数记录中10出现的次数最多,故众数a=10;把B款软件每个句子中识别正确的字数记录从小到大排列,排在中间的两个数是8,8=5,B款软件识别正确达到10个字的句子所占百分比c==20%,故答案为:10,8,20%;(2)500×25%+500×20%=225(个),答:估计两款软件一字不差地识别正确的句子大约共有225个;(3)推荐采购B款语音识别输入软件,理由如下:因为两款软件每个句子中识别正确的字数的平均数相同,当B款软件的中位数比A款软件高.21.(10分)甲骑电动车,乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩,设乙行驶的时间为x(h)甲、S乙关于x的函数图象如图①所示,甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示,请你解决以下问题:(1)甲的速度是25km/h,乙的速度是10km/h;(2)对比图①、图②可知:a=10,b=1.5;(3)乙出发多少时间,甲、乙两人路程差为7.5km?【解答】解:(1)由图可得,甲的速度为:25÷(1.5﹣4.5)=25÷1=25(km/h),乙的速度为:25÷6.5=10(km/h),故答案为:25,10;(2)由图可得,a=25×(1.4﹣0.5)﹣10×7.5=10,b=1.6,故答案为:10;1.5;(3)由题意可得,前4.5h,乙行驶的路程为:10×0.8=5<7.7,则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后,设乙出发xh时,甲、乙两人路程差为2.5km,25(x﹣0.5)﹣10x=7.5,解得,x=,25﹣10x=7.4,得x=;即乙出发或时,甲、乙两人路程差为7.5km.22.(10分)综合与实践【问题情境】如图,在正方形ABCD中,点E在线段AD上,且始终满足AE=CF,连接BE,将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度,得到线段EG(点G是点B旋转后的对应点),EG与BF交于点H.【初步分析】(1)线段EG与BF的数量关系为EG=BF,位置关系为EG⊥BF;【深入分析】(2)如图②,再将线段EG绕点E逆时针旋转90°,得到线段EM(点M是点G旋转后的对应点),请判断四边形BEMF的形状,并说明理由;(3)如图③,若点G落在BC的延长线上,且当点H恰好为EG的中点时,AD=3,求CG的长.【解答】解:(1)EG=BF,EG⊥BF∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠C=∠ABC=90°,AB=CB,又∵AE=CF,∴△ABE≌△CBF(SAS),∴BE=BF,∠ABE=∠CBF.由旋转的性质,得BE=EG,∴EG=BF,∴∠EBG=∠EGB.又∵∠ABE+∠EBG=∠ABC=90°,∴∠CBF+∠EGB=90°,∴∠BHG=90°,即EG⊥BF.故答案为:EG=BF,EG⊥BF;(2)四边形BEMF为菱形,理由如下:由旋转的性质,得EG=EM,又∵EG=BF,∠BHE=90°,∴EM=BF,∠GEM=∠BHE=90°,∴EM∥BF,∴四边形BEMF是平行四边形,又∵BE=BF,∴四边形BEMF是菱形;(3)∵点H是EG的中点,BF⊥EG,∴BF是EG的垂直平分线,∴BE=BG,∠EBF=∠GBF.又∵∠ABE=∠CBF,∴∠ABE=∠CBF=∠EBF=∠ABC=.∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=90°,AB=AD=CD=B
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