精品解析：河北省衡水市衡水中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

第第页高一月考第五次数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间120分钟，满分150分一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知命题，都有．则为（）A.，使得 B.，总有C.，总有 D.，使得【答案】A【解析】【分析】利用全称量词命题的否定求解即可.【详解】因为量词命题的否定步骤是：改量词，否结论，所以命题，都有的否定为，使得.故选：A.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】由题意，得，解得且，即函数的定义域为．故选：C．3.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式即可求解.【详解】因为，所以.故选:A.5.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）(参考数据：)A.14次 B.15次 C.16次 D.17次【答案】C【解析】【分析】依题运用特殊值求得函数模型中的值，然后运用函数模型得到关于的不等式，通过指、对运算求得的取值范围，即可得解．【详解】依题意，，，当时，，即，可得，于是，由，得，即，则，又，因此，所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．故选：C6.函数与（其中）的图象只可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；对于C，时，为上增函数，图象错误；对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B7.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简，由此求得不等式的解集.【详解】依题意是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，所以，.故选：A8.若关于x的方程(sinx＋cosx)2＋cos2x＝m在区间上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是（）A.[0，2) B.[0，2]C.[1，＋1] D.[1，＋1)【答案】B【解析】【分析】首先化简方程为，通过换元设，若满足条件，利用图象分析可知，求得实数的取值范围.【详解】关于x的方程(sinx＋cosx)2＋cos2x＝m可化为sin2x＋cos2x＝m－1，即sin＝．易知sin＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥．令2x＋＝t，即sint＝在区间上有两个不同的实数根t1，t2．作出y＝sint的图象，如图所示，由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，所以，故0≤m≤2.故选：B【点睛】本题考查根据三角方程的实数根的个数求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是理解条件，并会数形结合分析问题，转化为不等式解集问题.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．）9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB；利用函数的单调性可判断CD.【详解】对于A，，且，所以，故A正确；对于B，，又因为，所以，又等号不成立，故B正确；对于C，因为，所以，所以,可得，，所以，因为在是单调递增函数，所以，故C正确；对于D，，因为在是单调递增函数，所以，故D错误.故选：ABC.10.已知，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.【详解】因为，所以，则，因为，所以，，所以，故A正确；所以，所以，故D正确；联立，可得，，故B正确；所以，故C错误.故选：ABD.11.若，，，，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由对数函数的单调性可得出，从而，则关系可判断；由，则关系可判断；取特殊数字可得的大小不定.【详解】由，则，即，，即，则，所以,故选项A正确.，所以,故选项C正确.取满足，，，此时，取满足，，，此时，所以的大小不定.故选：AC12.已知函数是偶函数，其中，则下列关于函数的正确描述是（）A.在区间上最小值为B.的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到C.点是的图象的一个对称中心；D.是的一个单调递增区间.【答案】AB【解析】【分析】根据为偶函数，求得的值，由此求得的解析式，根据三角函数最值、图像变换、对称中心、单调区间的知识，判断四个选项的正确性.【详解】由得，所以恒成立，得是曲线的对称轴，所以，由得，，对于A：，在区间上的最小值为，故A正确；对于B：，函数的图象向左平移个单位长度，得到，故B正确；对于C：，所以点不是的图象的一个对称中心，故C错误；对于D：，所以不是的一个单调递增区间，故D错误故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】根给定分段函数代入适合的解析式即可求出函数值.【详解】解：，，故答案为：.14.设且，则最小值为___________；【答案】9【解析】【分析】替换常数，再运用基本不等式即可【详解】.当且仅当,即取等故答案为：915.已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用降幂公式化简函数，根据图象平移可得函数，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【详解】，由题意，，当时，由，则，由在上单调，则，可得不等式组，解得；或，可得不等式组，解得，由，解得，由，则，则.综上，的取值范围为.故答案为：.16.已知函数，给出下列三个结论：①当时，函数的单调递减区间为；②若函数无最小值，则的取值范围为；③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】②③【解析】【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解.【详解】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误；对于②，函数可转化为，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数无最小值，则的取值范围为，故②正确；对于③，令即，结合函数图象不妨设，则，所以，，，所以，令即，当时，，存在三个零点，且，符合题意；当时，，存在三个零点，且，符合题意；故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，70分，其中第17题10分，其余均12分．17.记不等式的解集为，不等式的解集为.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入的值得到集合，求解出一元二次不等式的解集为集合，根据并集运算求出结果；（2）先表示出，然后根据求得的范围.小问1详解】当时，，因为的解为或，所以，所以；【小问2详解】因为，，又，所以，故的取值范围为.18.已知函数的最大值为5．（1）求的值和的最小正周期；（2）求的单调递增区间．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；（2）由正弦函数的单调区间可得．【详解】（1），由题意，，．（2），解得，∴增区间为．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．19.已知函数的部分图像如图所示：（1）求函数的解析式；（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值及函数取最大值时相应的x值．【答案】（1）；（2）时，函数在区间上的最大值为2．【解析】【分析】（1）根据函数的最值求出的值，根据函数的最小正周期求出的值，根据函数的最值点求出的值即得解；（2）首先求出，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最大值及函数取最大值时相应的x值．【详解】解：（1）如图可知，，∴．∵，∴，即函数解析式为；（2）根据图象变换原则得，∵，∴，∴，当，即时，函数在区间上的最大值为2．20.若函数在区间上有最大值4和最小值1，设．（1）求a、b的值；（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二次函数在上的单调性最大值和最小值，从而求得；（2）用分离参数法化简不等式为，然后令换元，转化为求二次函数的最值，从而得参数范围．【小问1详解】，对称轴，在上单调递增，所以，解得；【小问2详解】由（1）知化为，即，令，则，因为，所以，问题化为，记，对称轴是，因为，所以，所以．21.已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式①函数是偶函数；②函数是奇函数．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】先利用赋值法求，化简的解析式之后应用对数函数的单调性解不等式【详解】根据题意,易得函数的定义域为.选择①:为偶函数,因此,

故,解得.经检验符合题设

,,即即或不等式解集为；选择②:函数为奇函数,有,即,解得.经检验符合题设，

,,即即不等式的解集为.22.随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某