2024北京昌平区高二（下）期末数学试题及答案

2024北京昌平高二（下）期末数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、未知=xx，B=xx1．已知集合AA．−，则A（）B．−0C．D．(−2．若p:x,0，x(−)p2−2x0，则为（）A．x(,0)，x−B．x(−,0)2−2x0−2x0，x2−2x0−2x0）C．x(−,0)，xD．x(−,0)，x22()上单调递增的是（3．下列函数中，既是奇函数又在区间1A．y=xB．y=sinxC．y=3y=−D．x4．已知数列a的前项和nS=n−n2a+a=，则）（）nn34A．1B．2C．4D．6D．15．函数f(x)=x1−x)的最大值为（1212A．B．C．421a1b6．设a，b为非零实数，则“ab0”是“”的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件ππ7．若点A(cos,sin)关于轴的对称点为Bcos−,sin−x，则的取值可以是（3）3π5π7ππA．B．C．D．3663二、单选题()=8．已知函数fxlog2x−f(x)0+1，则不等式的解集是（x）()(−),1()()(+)D．0,1A．B．C．1,2三、未知9．把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是1℃，空气的温度是℃，则tminA0=+−)e−0.3t的温度℃可由公式求得．把温度是62℃的液体放在A15℃的空气中冷却，液体A010的温度冷却到51℃和27℃所用时间分别为tmin，tmin，则t−t的值约为（21）12（参考数据ln31.10）第1页/共9页A．2.7B．3.7C．4.7D．5.710．已知集合A(x,x,=p=p,p,(1或，对于集合A中的任意元素和1221()=(+−−)+(+−−)++−−101010.若集合q=(q,q,Mp,qp111qp2q2p2q，记12122BA，p,qB，均满足M(p,q)=0，则B中元素个数最多为（）A．10B．C．1023D．1024x．在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴正半轴为始边，其终边经过点=12．已知函数fxlog2x32x，则f，则.()=(+)−(−)=.13．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，也称“中国剩余定理”．现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为.x3,xa,14．已知函数f(x)=f(x)f(x)在R上a若在R上是增函数，则的一个取值为−x2+2a,x.?a不具有单调性，则的取值范围是.115．已知等差数列a的前项和为，且nS2024S2022.数列SSn的前项和为T.nnn2023anan1给出下列四个结论：①a20230；a2022aa2024a2025②；2023S0nn成立的的最大值为③使4048；④当n2023时，n取得最小值.=其中所有正确结论的序号是.()=16．已知函数fx+23sinxcosxsinx.()(1)求fx的最小正周期；3()m(2)若fx在区间m上的最大值为，求实数的取值范围.217．已知等比数列a为递增数列，其前项和为na=9S=39，，23.Snn(1)求数列an的通项公式；bn−是首项为1，公差为3的等差数列，求数列b的通项公式及前项和T.nnn(2)若数列an18．已知函数fxx3x2x1.()=−−−()(1)求fx的单调区间；()−c≤0在区间−(2)若关于x的不等式fx1,2上恒成立，求实数c的取值范围.第2页/共9页π2π19．设函数f(x)=−x+0，2x（T.2(1)若T=2π，求的值；π7π12127π12()=−1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择(2)已知fx在区间,上单调递减，f()fx存在，求，的值.一个作为已知，使函数π()fx,0条件①：12为函数图象的一个对称中心；π()fxx=条件②：函数图象的一条对称轴为；123()=条件③：fT.2注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.1220．设函数f(x)=xx−mx−m.e(1)若m=−1，求曲线y=f(x)在点f(0))处的切线方程；()x=−1(2)若fx在m处取得极小值，求实数的取值范围；(3)若对任意的xR，f(x)f(−)恒成立，直接写出实数的范围.m21．已知无穷数列an，给出以下定义：对于任意的nN+a，都有nan+22an1，则称数列为“T数n*a+a2an1a列”；特别地，对于任意的nN*，都有，则称数列为严格数列”.“Tnn+2n(1)已知数列a，b的前项和分别为A，B，且a2n1，b=−=−1n2n，试判断数列A，数列nnnnnnnn是否为“T数列”，并说明理出；(2)证明：数列an为“T数列的充要条件是“对于任意的k，，nnmakmka≥nka”mmn时，有N*，当k(−)+(−)(−)；nmT=−=−8.求数列b的最小项的n(3)已知数列b为“严格数列”，且对任意的nN*，nZ，b8，bn1128最大值.第3页/共9页参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分)题号答案1B2A3D4D5B6A7C8C9B10B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）512（11）−（）13）595（14）0(−,2)+)15）②④三、解答题本大题共6小题，共85分)（1613分）Ⅰ）f(x)=3sinxcosx+sin2x31−cos2x=sin2x+22π1=sin(2x−)+.622π所以函数f(x)的最小正周期为T==π.分2π12（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)sin(2x=−)+.632f(x)[0,m]因为在区间上的最大值为，π所以ysin(2x=−)在区间[0,m]上的最大值为1.6因为≤≤m，πππ所以−≤2x−≤2m−.666ππ，即≥π.所以2m−≥623π因为m0，所以实数的取值范围是m[,+).分3（17）（共13分）a}的首项为a，公比为q.n1a=27,aq=1=11根据题意，解得或13a+aq+aq2=39,q=3q=.1111=因为等比数列n}为递增数列，所以q=3.第4页/共9页所以数列a}的通项公式为a=3n(nN*)..分nn（Ⅱ）因为数列a−b}是首项为1，公差为3的等差数列，nn所以a−b=1+3(n−=n−2.nn所以n=3n−n+2.n=+9+27++3n)−+4+7++n−2)−3n)n+n−2)==−1−323n1−n+n−32.分2（18）（共14分）Ⅰ）2xxf,xR.13f'(x)=(x−x+=0x=1或x−=令当，得.xxf)(的变化如下表:变化时，与x++11311−,(−)−(−33+xf00↗极大值↘极小值↗11xf−,(−)，+，单调递减区间为(−所以的单调递增区间为.分33f(x)−c≤0−+等价于当−x[2]（Ⅱ）不等式在区间上恒成立时，.f(x)≤c11由(Ⅰ)知，xf在,1−2)上是增函数，在(−上是减函数,33132227所以f(x)极大值=f(−)=−.f=，又因为所以fxf==1).maxc所以实数的取值范围是+).分(19)（本小题15分）Ⅰ）f(x)cos(=−x)cos+cos2xsin2=sinxcos+cos2xsin=sin(2x+).2因为T=2，0，即T==2.第5页/共9页12=所以.分π（Ⅱ）选择条件②：函数f(x)图象的一条对称轴为x=因为f(x)=x+)，所以f(x)的最小值为−1.．127π7π因为f()=1，所以x=为函数f(x)图象的一条对称轴．1212π7π又因为f(x)在区间[,]上单调递减，T7πππ所以由三角函数的性质得=−=，故T=π．2121222π0，所以7π==2，所以=1f(x)=sin(2x+)，．因为T7ππ由f()=sin(+)=−1，得=+2π(kZ)．1263ππ又因为||，所以=．分233选择条件③：fT)=．2fT)=f(0)=sin因为，3所以sin=.2πππ因为|，所以=f(x)=x+)，.2337π因为f()=1，127ππ3π12k所以+=+2π，得=1+(kZ)．12327π7πf(x)[,]上单调递减，因为所以因为在区间T7πππ≥−=，得T≥π.2121222π0，所以1.=20≤1.，得T所以=分（2015分）12Ⅰ）若m=−1，f(x)=ex+x2+x,fx)=(x+x+x+1=(x++，x所以f(0)f2.==y=f(x)(0，f(0))y=2x.处的切线方程为所以曲线在点分第6页/共9页12f(x)=ex−2−mx，xR.fx)=(x+x−m).（Ⅱ）（1）若0，ex−m0，x(−,x(+)x+1fx)0,f(x)当时，时，单调递减，单调递增，x+1fx)0,f(x)当f(x)x=−1处取得极小值在所以.（2）若m0，令fx)=0,得x=−1或x=m.1−,0m1即若m.exfx)f(x)与的变化如下表：当变化时，x−−−，+m)m，)11++fx)f(x)00↗极大值↘极小值↗−m)，−)1上是减函数f(x).所以所以在，是增函数，在f(x)x=−1处取得极小值在.1m≥−1,≥,即若ex(−,x+1e−me−1−m≤0，x当时，，fx)0f(x)所以单调递增．所以x=−1不是f(x)的极小值点．1m综上所述，实数的取值范围是(,).分e（ⅡI）(,0].分（21）（共15分）Ⅰn=2n−1，所以n=n2．nN*，有n+n+2−2n1n2+(n+2)2−2(n+=20，2对于任意的即nn+22n1，所以数列{n}为“因为n=−−，2n1所以B=b=−1，Bbb=−1+(2)=3，Bbbb=−1+(2)+(4)=7．112123123因为BB−2B=(+(7)−2(0，132即BB2B，所以数列{B}不是“分132n（Ⅱ）证明：先证必要性．因为数列n}为“第7页/共9页则对于任意的nN*，有a+a2a，即n+2−a≥a−an．nn+2n1n1n1所以对于任意的k,,nN*，且kmn，有a−a=(a−a)+(a−a)++(am1−am)(n−m)(am1−am)，nmnn1n1n−2an−an−m−≥am1am所以m．又a−a=(a−a)+(a−am−2)+−a)(m−k)(a−am1)，kmmkmm1m1am−am−k−所以，得k≤amam1．又因为a−aa−am，mm1m1an−an−mmam−am−k所以≥k，即(n−m)a+(m−k)a(n−k)a．knm再证明充分性.因为数列n}k,,nN*，当kmn时，an−an−mmam−am−k有(n−m)a+(m−k)a(n−k)ak．≥knm对于任意的kN*，令m=k+1，n=k+2，a−aa−akk1则k+2k1≥，整理得a−a≥a−a，k+2k1k1k(k+2)−(k+(k+−k即k+2+ak2ak1，所以数列n}为“（ⅡI）因为数列n}为“严格分N*，有nn+2+n1，即b−n1n1−b．所以对于任意的nn+2nc=b−bc}cZn*设，nN,所以数列为递增数列，且．nn1nnb−b=b−b)+b−b)+所以因为，n1nn1n1n−2b=8，b=8b−b=c+c+0，所以．1128112mN*,2≤127，使m1m0，所以存在所以，当≤m,nN*时，nn10，数列−b}递减；n≥m,nN*，n1−≥b0．当nn}存在最小项，且最小项为b因此数列．m