《3.1.1数系的扩充与复数的概念》

3.1.1数系的扩充与复数的概念青山中学叶娟

数的出现人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。分数

中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。

有理数

随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。无理数的由来

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯

（Pythagoras）学派的弟子希伯修斯

（Hippausus）发现了一个惊人的事实，

一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1。则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（只有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希伯修斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。

然而，真理毕竟是淹没不了的。毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯修斯这位为真理而献身的可敬的学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是无理数的由来。复数

在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根为，然后说，"不管会受到多大的良心责备"，把相乘，得乘积为25－（－15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。

知识引入思考？已知a+b>0,

求：（1）a+b（2）a和b实部复数的代数形式：通常用字母

z

表示，即虚部其中称为虚数单位。的实部和虚部。例1：写出复数

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．注意:

1、若两个复数均为实数，则两个数具有大小关系2、若两个复数不都是实数，那么这两个复数只有相等或不相等关系，而不能比较大小。如i和1非纯虚数纯虚数虚数实数复数的分类：复数集虚数集实数集纯虚数集用图形表示复数集与其它数集之间有什么关系？N

Z

Q

R

C.思考？新知初用：例2:（1）说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数?

,,,,,,.0，例3:

实数m取什么值时，复数

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解:（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当即时，复数z是纯虚数．能力提升例4:

已知，其中求两个复数相等应满足什么条件呢？思考？例4:

已知，其中求解：根据复数相等的定义，得方程组得练习：若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.2x2-3x-2=0x2-5x+6=0（2x+1)(x-2)=0(x-2)(x-3)=01.虚数单位i的引入；小