新教材人教A版必修第二册第6章61平面向量的概念学案

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用,IW平面向量及其应用

6.1平面对量的概念

学习任务核心素养

1.理解向量的有关概念及向1.从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入

量的几何表示.(重点)向量的概念，提升数学抽象的核心素养.

2.理解共线向量、相等向量2.类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意

的概念.(难点)义，培育数学抽象和直观想象的核心素养.

3.正确区分向量平行与直线3.通过相等向量和平行向量的学习，提升规律推

平行.(易混点)理的核心素养.

［情境导学•探新知］情境趣味导学•预习素养感知

畲情境与问题

高尔夫球是一项特别好玩的运动，这项运动需

要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个

"D",即方向(Direction)和距离(Distance),初学者

中有不少人只想把球打远，而无视方向的重栗性，

其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔

夫的人都会谨记这样一个原那么：“方向比距离更重票”.方向走对了，哪怕

走得慢却能一步一步靠近胜利；可倘假设走错了方向，不仅白忙活一场，更可能

离胜利越来越远.

问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中”方向比距离更重要〃的缘

由吗？

-学问点1向量与数量

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量.

思考1.海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表

示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？

［提示］海拔不是向量，它只有大小没有方向.温度也是只有大小没有方向，

不是向量.海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是

指方向.

体验1.给出以下物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时

间.其中是向量的有.(填序号)

②③④⑤［质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数

量，不是向量.速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量.］

学问点2向量的几何表示

(1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方面、长度.

(2)向量可以用有向线段赢来表示.向量还的大小称为向量赢的是度(或称

模)，记作曲.向量也可以用字母a,b,c,…表示，或用表示向量的有向线段

的起点和终点字母表示，例如：AB,CD.

思考2.(1)向量可以比拟大小吗？

(2)有向线段就是向量吗？

［提示］(1)向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小.

(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量.

体验酿2.如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点

和终点，可以写出________个向量.

ABCD

12［由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是诵，AC,AD,

BC,RD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.］

学问点3向量的有关概念

零向量长度为0的向量，记做0

单位向量长度等于L个单位长度的向量

方向相同或相反的非零向量.

平行向量(共线向量)

向量a,〃平行，记作allb.

规定：零向量与任意向量平行

长度相等且方向相同的向量.

相等向量

a与向量b相等，记作a=b

思考3.“向量平行〃与“几何中的直线平行〃一样吗？

［提示］向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的

状况，故也称向量共线.

体验3.思索辨析(正确的画“，错误的画"X")

(1)长度为0的向量都是零向量.()

(2)零向量的方向都是相同的.()

(3)单位向量的长度都相等.()

(4)单位向量都是同方向.()

(5)任意向量与零向量都共线.()

［答案］(1)V(2)X(3)V(4)X(5)V

体验\4.如图，四边形ABCD是平行四边形，那么图中相等的向量是

.(填序号)

(1)命与庆:；(2)而与。b；

(3)元与由)；(4)命与况.

⑴(4)［由平行四边形的性质和相等向量的定义可知:

AD=BC,OB^OD,AC^BD,AO=OC.］

［合作探究-释疑难］疑难问题解惑•学科素养形成

类型1向量的有关概念

【例1】推断以下命题是否正确，请说明理由：

(1)假设向量。与)同向,且同＞向,那么a＞岳

(2)假设向量|a=|回，那么a与8的长度相等且方向相同或相反;

(3)对于任意向量|a|=|A|,假设a与的方向相同，那么。=岳

(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

(5)向量a与向量8平行，那么向量a与万方向相同或相反.

［解］(1)不正确.由于向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向

量不能比拟大小.

(2)不正确.由同=|。|只能推断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.

(3)正确.由于|a|=|〃|,且a与力同向，由两向量相等的条件，可得a=0.

(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.

(5)不正确.由于向量a与向量》假设有一个是零向量，那么其方向不定.

r.....•••废思领悟............................

1.理解零向量和单位向量应留意的问题

(1)零向量的方向是任意的，全部的零向量都相等.

(2)单位向量不肯定相等，不要忽视其方向.

2.共线向量与平行向量

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区分.

(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同.

(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

提示：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度.

［跟进训练］

1.给出以下命题：

①假设a〃方，b//c,那么a〃c；

②假设单位向量的起点相同，那么终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量诵与心是共线向量，那么A,B,C,。四点必在同始终线上.

其中正确命题的序号是..

③［①错误.假设8=0,那么①不成立；

②错误.起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确.对于一个向量只要不转变其大小和方向，是可以任意移动的;

④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个

向量诵，诙必需在同始终线上.］

类型2向量的表示及应用

【例2】(对接教材P5—T1)在如下图的坐标纸上(每个小方格边长为1),用

直尺和圆规画出以下向量：

(1)04,使|近|=也②点A在点。北偏东45。；

(2)成，使|谶|=4,点3在点A正东;

(3)病，使|病|=6,点C在点3北偏东30。.

量应如下图.

(2)由于点3在点A正东方向处，且|谶|=4,所以在坐标纸上点3距点A的

横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点3位置可以确定，画出向量赢如

下图.

(3)由于点C在点3北偏东30。处，且|病|=6,依据勾股定理可得：在坐标

纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3小弋5.2,于是点C位

置可以确定，画出向量病如下图.

厂.......泼现规律.............................A

用有向线段表示向量的根本思路是什么？

［提示］用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最终依据向量

模的大小确定有向线段的终点.必要时，需依据三角形的相关学问求出向量的方

向或长度，选择适宜的比例关系作出向量.

［跟进训练］

2.飞机从A地按北偏西15。的方向飞行1400km到达3地，再从3地按南

偏东75。的方向飞行1400km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地

距A地多远？

［解］如下图，还表示飞机从A地按北偏西15。方向飞行北|

到B地的位移，那么|诵|=1400km.°

病表示飞机从3地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，祥«

那么|病|=1400km.

所以元为飞机从A地到C地的位移.

在△ABC中，AB=5C=1400km,且NA3C=75。-15。=60。，

故△ABC为等边三角形，所以NR4c=60°,AC=1400km.60°-15°=45°,

所以C地在A地北偏东45°方向上，距离A地1400km.

类型3相等向量和共线向量

【例3】如下图，。是正六边形A3CDER的中心，且而=夫_»

一一rZc

a,OB=b,OC=c.\fl/\/

(1)与〃的长度相等、方向相反的向量有哪些？4B

(2)与〃共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a,b,c相等的向量.

尝试与发现

1.两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？

［提示］不肯定.由于向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相

等向量，与起点和终点位置无关.

2.假设还〃历，那么从直线A3与直线CD的关系和赢与无的方向关系

两个方面考虑有哪些状况？

［提示］分四种状况

(1)直线A3和直线CD重合，赢与诙同向；

(2)直线A3和直线CD重合，赢与比反向；

(3)直线A3〃直线CD,还与也同向；

(4)直线A3〃直线CD,还与诙反向.

［解］(1)与a的长度相等、方向相反的向量有心，BC,AO,FE.

(2)与a共线的向量有律，BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.

(3)与a相等的向量有话，DO,CB-,与8相等的向量有比，EO,FA;与c

相等的向量有两，ED,AB.

［母题探究］

1.本例条件不变，写出与向量病相等的向量.

［解］相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与病相等的向

量有15,OD,FE.

2.本例条件不变，写出与向量座长度相等的共线向量.

［解］与正长度相等的共线向量有：CB,OD,DO,AO,OA,FE,EF.

3.在本例中，假设⑷=1,那么正六边形的边长如何？

［解］由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以

△R24为等边三角形，所以边长AR=|a|=l.

厂.....••废思领悟.......................

相等向量与共线向量的探求方法

(1)查找相等向量：先找与表示向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪

些同向共线.

(2)查找共线向量：先找与表示向量的有向线段平行或共线的线段，再构造

同向与反向的向量，留意不要漏掉以表示向量的有向线段的终点为起点，起点为

终点的向量.

提示：与向量平行相关的问题中，不要无视零向量.

y

［跟进训练］

3.如下图，△ABC的三边长均不相等，E,F,。分别是AC,AB,3c的

中占

I八、、,

(1)写出与法共线的向量；

(2)写出与赤长度相等的向量；

(3)写出与话相等的向量.

［解］(1)VE,R分别是AC,A3的中点，.,.EF//BC,

，与法共线的向量为位，BD,UB,DC,CD,BC,CB.

(2)：E,F,。分别是AC,AB,3c的中点，

：.EF=^BC,BD=DC=^BC,：.EF=BD=DC.

,：AB,BC,AC均不相等，

与球长度相等的向量为位，BD,DB,DC,CD.

(3)与法相等的向量为方及CD.

［当堂达标-夯基础］课堂知识检测•小结问题点评

1.正“边形有几条边，它们对应的向量依次为ai,42,03,…，Un,那么这

〃个向量()

A.都相等B.都共线

C.都不共线D.模都相等

D［由于多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相

等・］

2.汽车以120km/h的速度向西走了2h,摩托车以45km/h的速度向东北

方向走了2h,那么以下命题中正确的选项是（）

A.汽车的速度大于摩托车的速度

B.汽车的位移大于摩托车的位移

C.汽车走的路程大于摩托车走的路程

D.以上都不对

C［速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比拟大小，路程可以比

拟大小.］

3.（多项选择题）以下条件，能使成立的有（）

A.