第07讲平面向量的应用与新定义（六种题型）-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）-高考数学备考复习

第07讲平面向量的应用与新定义（六种题

型）

1热点、重难点题型】

题型一：用向量证明线段垂直

一、单选题

1.（2023春•云南•高三校联考开学考试）已知双曲线C：£-g=l（a>0,b>0）的焦距为2c,

a-b-

它的两条渐近线与直线y=2（x-c）的交点分别为A,B,若。是坐标原点，O8-AB=0,且

0AB的面积为当，则双曲线C的焦距为（）

L525

A.5B.C.-D.—

24

【答案】A

【分析】直线y=2（x-c）过右焦点尸2，OB.AB=0,得O8_L",求出渐近线的斜率，得

到关系，利用二倍角正切公式，求出tanNAOB,进而将IA31用|。例表示，结合

面积求出1。刈，在中，得出|。例、c关系，求出c即可.

【详解】如图,

设双曲线的右焦点为尸2,则直线y=2（x-c））过右焦点F2,

由08A8=0,得03,43,直线。8的斜率为一；,

所以2=_L,a=2A,tanN居。8=,，

a22

12

在RtaOF/中，cos/F0B=-=,

yj\+tan~ZF20B75

\OB|=|(?^|cosZF2OB=苧，

2tanZF0B4

tan/-AOB=tan2ZFOB=2

2l-tan2ZF；OB3

在RtZXAOB中,

4

\AB\=\OB\tanZAOB=-\OB\,

所以sAOB=；画网=^1。3|2=,,画=6=1nc=],

zjj7bz

所以2c=5,

故选：A.

2.(2022秋•河南洛阳•高三校联考阶段练习)若。为；,ABC所在平面内一点，且满足

\OB-OC\=\OB+OC-2OA\,则ABC的形状为()

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

【分析】由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含ABC的边的向量等式，再由

模的意义即可得解.

【详解】_A3C中，|0B-0C|=|08+0C-20A|o|CB|=|(08-0A)+(0C-0A)|

<=>|AB-AC|=|AB+AC\O(AB-AC)2=(AB+AC)2

22,22

<=>AB-2ABAC+AC=48+2ABAC+ACo4W=0

因AB与4c均为非零向量，则A8J.4C,即NBAC=90,.ABC是直角三角形.

故选：B

3.(2022•全国•高三专题练习)己知点。为△ABC所在平面内一点，且

0A1+BC2=OB2+CA1=OC'+AB2'则。一定为△48。的()

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】C

【解析】利用向量的等式关系|OA『+WC『=|O8『+|CA[，=C^-BC2>

利用向量加减法运算化简得到CO=0,即证CO_LAB,再同理证得

OBYAC,OA1BC,即得。是..ABC的垂心.

【详解】*|OA|2+|BC|2=\OB[+|CA|2\OAI2-|OBI2=\CAI2BCI2,

即OA-OB2=CA"-BC2.故(OA-OB)(OA+OB)=(CA-BC)(CA+BC),

ijlBA-(OA+OB)=(CA+CB)-BA,BA\OA+OB-CA-CB)=Q,

又CA=OA-OC，CB=OB-OC，

BA(OA+OB+CO-OA+CO-OB)=()BAC<?=0>COA.AB,

同理ACOB=O,8C04=O,即08_L4C,OA_LBC,所以。是.ABC的垂心.

故选：C.

【点睛】关键点点睛:

本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方，进行向量的灵活运算，才能证得垂直

关系，突破难点.

4.（2022•全国•高三专题练习）若。在ABC所在的平面内，且满足以下条件

ACABBCBA，CACB、

OA-=OB-=OC-0,则。是一/WC的（）

\AC\\AB\)、前一陷、画一百,

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

【答案】C

【分析】江AR

而分别表示在边AC和A8上的单位向量,可设为AC'和AB'

|AC|

ACAR

则AC-A*=B'C'，则当。4T—r-r—I=0时，即0AJ.8'C'，

AC\AB

点。在的角平分线上，同理证明即可求解.

ACAB

【详解】分别表示在边AC和A3上的单位向量，可设为AC和，

\AC\'\^\、

ACAR

则AC'-AB'=B'C'，则当。A1~~I-i।=0时，即。4_LBV，点。在/fiAC的角平分

ACd\AB\

线上;

BCBA

分别表示在边3c和BA上的单位向量，可设为BC和BA'，

\BC\BA\

\

则8C—8H=AC'，则当器-/=。时，即OB_LAC>,

BA\

7

点。在ZABC的角平分线上;

耳，0•分别表示在边C4和CB上的单位向量，可设为CA和CB，,

\CA\\CB\

则CW-CB'=8'A，则当。。与一器=0时，即OCJ.B'A，

\CcACB\

点。在/ACB的角平分线上，故。是工A3C的内心.

故选：C.

二、多选题

5.（2022・全国•高三专题练习）点。在△A8C所在的平面内，则以下说法正确的有（）

uunuir

A.若动点P满足OP=OA+；l(2>0),则动点P的轨迹一定经过

△ABC的垂心:

UUIUuuiuuuuu

uirACuunBC

B.若08?(冲防jtarp-0则点。为△ABC的内心;

ACSC

C.若（0A+08）48=（08+OC>8C=0,则点0为4ABC的外心；

/uunuuu、

uunuurAD4r

D.若动点P满足OP=OA+；l-H»------+-WHH--a>0）,则动点P的轨迹一定经过

kIAB|cosB|AC|cosC,

△ABC的重心.

【答案】BC

【分析】A由正弦定理知|AB|sinB=|AC|sinC=nz,且OP-QA=AP，代入已知等式得

AB+AC=mAP，即知P的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设。为△A8C的内心、

外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；

D由OP_04=AP，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知户

的轨迹一定经过的哪种心；

【详解】A：由正弦定理知|A8|sin8=|4C|sinC=〃z,VHOP-OA=AP，所以

AB+AC=mAP>即动点P的轨迹一定经过^ABC的重心，故错误.

OA-ACOA-AR

B：若。为△ABC的内心，如下图示：-一-=-\AE\,同理上一~=~\AD\,

\AC\\AB\

LlllUuuuuuuuuUUuuu

UUI1

A-3\、OA，11^E，ACOA^ABuun

.­.3AK4£|-IUlflII/_titutt央*2=|AD|-|AE|=0

kl网|AC||AB|

uuuUUULU1uuuuuuuu

uimBCBA、OB犀CC>f>04uunuun

TtitrT)=”utB-tar^=\BD\-\BF\=0故正确;

\BC\54\BC\IBA|

C：若。为△ABC的外心，2E分别为AB,BC的中点，则04+08=200,而

ODAB=0>同理OB+OC=2OE，又OEBC=0，故

(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,正确；

空JACBC

D：由OP_O4=AP,故APBC"=/t(-|BC|+|BC|)=0,即

JAB|cosB|AC|cosC?

AP1BC＞动点P的轨迹一定经过44BC的垂心，错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三

角形的何种心，或假设。为△ABC的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向

量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.

6.（2020.全国•高三专题练习）已知AABC是边长为2的等边三角形，D,E分别是AC、

uuuuuu

AB上的两点，且AE=EB，AD=1DC-BD与CE交于点0,则下列说法正确的是

()

A.ABCE=-\B.OE+OC=O

C.\OA+OB+OC\=—D.E。在BC方向上的投影为:

II26

【答案】BCD

【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.

【详解】由题E为A8中点，则

以E为原点，EA,EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示:

所以，E(O,O),A(1,O),B(-1,O),C(O,G),叫竽),

所以丫-手=-卜，解得：y=与,

即。是CE中点，OE+OC=0，所以选项B正确：

\pA+OB+0C\=|2O£+0C|=|。@=#，所以选项C正确;

因为CE_ZAB,ABCE=O＜所以选项A错误；

如《，¥），

8c=(1,扬，

E。在BC方向上的投影为半%=匚=2,所以选项D正确.

\BC\26

故选：BCD

【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特

殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

三、填空题

7.（2021秋•河南新乡鬲三校考阶段练习）已知直线y=2x+2与抛物线产加（〃>0）交于

P,Q两点，过线段尸2的中点作x轴的垂线，交抛物线于点4,若|AP+AQ卜,尸-4。|,

则"=.

【答案】2

【分析】根据卜/5+4。|=,「-4。|得出4尸，4。，联立方程根据韦达定理求出点A的坐

标，即可根据垂直得到的斜率乘积为-1,列出式子代入求解即可.

【详解】联立方程组>0）,消去y得：依2-2X一2=0（。>0）,

设P（±,y）,Q（x2,y2）,

n,22

则玉+W=—,XjX=----，

a2a

则点A的横坐标》=七逗=：，则纵坐标为>=即点A的坐标为

2222

/.AP+AQ+2APAQ=AP+AQ—2APAQ，

/.APAQ=（）f

APYAQ,

11

乂一一必——\]2

「♦y-Xf"=T，即一7（芭+》2）+乂%—'（y+%）+/=0，

yxy2=（2%+2）（2巧+2）=4%/+4（%+々）+4，

y,+y2=（2%+2）+（2&+2）=2（玉+/）+4,

5X|X9+（4—]（玉+xj+4----1——=0,

102/3、421

即__+-4-4-4—+—=0,解得〃=2或（舍）

aa\a）aa2

故答案为：2.

四、解答题

8.（2022秋・云南•高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOx中，已知点*2,0）,直线

/：x=g,点〃到直线/的距离为d,若点"满足|M月=2",记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

⑵过点产且斜率不为零的直线"，与C交于P,Q两点，设A（-LO）,证明：APYAQ.

2

【答案】⑴炉-匕=1

3

（2）证明见解析

【分析】（1）设点M（x,y）,由点线距离、两点距离建立方程|MP|=2d,化简整理即可；

（2）设直线”的方程为》=）+2,尸（西,乂）,。（吃,必），可得AP,A。，联立直线，〃及C的方

程，结合韦达定理通过ARAQ=O证明垂直即可

（1）

设点则4=尸|=J（x-21+y2,

由|用q="得：J（x—2）2+y，=2x-g,两边平方整理得3372=3,

则所求曲线C的方程为V-£=1.

3

（2）

设直线用的方程为x=9+2,网玉,y）,%，

联立方程j3,消去龙并整理得（3产-1）y?+⑵>+9=0,,

因为直线机与C交于两点，故/二土立，此时A=（12f）2-4（3*-1）.9=36（/+1）>0,

\2t9h

所CCI1以I,+%=一记:，乂％=铲口，而

玉+々=《乂+%）+4,%刍=（》+2）（必+2）=+%）+&

又AP=（X|+1,弘）,4。=（々+1,%），

所以AP-AQ=（N+1乂々+1）+R，2=+玉+々+xixi+1

=（广+13%+3心+%）+9=雪拦-挈-+9=无2辿+9=0.

\八）3/2-13/一13产一1

所以AP_LAQ.

9.（2021•全国•高三专题练习）已知抛物线C：y2=4x,A（1,2）,8（"?,0）,其中〃?>0,过8

的直线/交抛物线C于M,N.

（1）当机=5,且直线/垂直于x轴时，求证：AAMN为直角三角形；

（2）若0P=04+0B，当点P在直线/上时，求实数机，使得AMLAN.

【答案】（1）证明见解析；（2）m=6.

【分析】（1）由题设可得M（5,2石），M5,—2石），利用向量数量积的坐标表示求

AM-AN，即可证△AA/N为直角三角形；

7，

（2）由题意，设/：），=2（x—〃?），M（%,y）,N（五,力）,联立抛物线方程应用韦达定理求

44

9+”、〃”，再由垂直知AMYN=O,应用向量数量积的坐标表示得到关于"z的方程，

即可求得使AM-LAN成立的值.

【详解】（1）证明：由题意，/：x=5,代入V=4x中，解得尸士2石，

不妨取”（5,2石），N（5,一2际），则AM=（4,2君-2）,4N=（4,-2君-2）,

/.AM-A/V=（4,2>/5-2）-（4,-2^5-2）=16-（20-4）=0,

：.AM±AN,即AAMN为直角三角形，得证.

（2）由题意，四边形OAP8为平行四边形，贝A8P=kOA=2,

设直线/：y=2（x—m）,吟,%），联立）得y2—2y—4成=0,

由题意，判别式A=4+16m>0,y/+”=2,>/”=一4"?,

'JAMLAN,则4M-AN=0，又AM=目-l,y-2）,AN=5一1,必-2）,

:.(^--l)(^--l)+(y,-2)(y2-2)=0,化简得(y/+2)(”+2)+16=0,即.”+2。/+卜2)+

20=0,

A24-4/77=0,解得〃?=6,故〃2=6时，有AM_LAN.

10.(2023•全国•高三专题练习)如图，正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点，F是

BC的中点，求证：DE±AF.

【答案】证明见解析

【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有OE-AF=（OA+；48）.（A8+;A。），根

据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得QE-AF=O,即可证结论.

【详解】vDEAF^（DA+-AB）.（AB+-AD）^^AB2--^AD2+-ADAB+DAAB,

22//4

而AO_LAB,AO=AB,

DEAF=0，

DE-i-AF<BPDE±AF.

11.（2022.湖北黄冈.黄冈中学校考二模）动点P到定点RO,1）的距离比它到直线y=-2的

距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A、8两个不同的点，过

点A、8分别作曲线C的切线，且二者相交于点M.

⑴求曲线C的方程；

（2）求证：ABMF=O;

（3）求4的面积的最小值.

【答案】⑴d=4y；

（2）见解析；

（3）4.

【分析】（1）利用定义判断出曲线C为抛物线；

（2）设出点AB的坐标，利用导数分别求出过点A,B的切线方程，求出交点M的坐标为

（土产，牛〕，联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理算出从而得到

[24）（XAXB=-4

M（2Z,—1）,利用向量可以计算48g=2%（4一4）—2%（/—5）=0,所以

（3）利用焦半径公式和点到直线的距离可以求得5=4（1+二）；，从而求得面积的最小值为

4.

【详解】（1）解：由已知，动点尸在直线产-2上方，

条件可转化为动点P到定点/（0,1）的距离等于它到直线y=-1距离，

...动点P的轨迹是以尸(0,1)为焦点，直线y=T为准线的抛物线,

故其方程为V=4y.

(2)证：设直线A8的方程为：y^kx+\,

X2=4y

由＜得:

y=fcr+l

x2-4fcc-4=0，

设4(/，%)，8(/，%)，

则4+/=44,XAXB=-4.

由/=4y得：

12

y=-x,

4

,1

•••y=2Xf

直线AM的方程为：=(X“(X-XA)①，

直线BM的方程为：尸%/=白8(»-4)②，

①一②消y得：

；(xj-X；)=g(4-/)》+；卜j-X；卜

即X=XA+%=2k,

2

将%=%|&代入①得：

121-XA112

y~4XA=2XA^^=4XAXB~4XA,

1,

故M(2匕-1),

MF=(-2/,2),A8=(xp_XA,Z(Xg-x.))

AB-MF=2A:(XB-XA)-2Z:(XB-XA)=0,

AB1.MF-

(3)解：由(2)知，点M到A8的距离d=|MF|=2yli+公,

2

\AB\=\AF\+\BF\=yA+yB+2=k(xA+xB)+4=4k+4,

11/J

.1.S=-|AB|^=-X4（A:2+1）X2V1+F=4（1+A:2）2>4,

...当々=0时，的面积有最小值4.

【点睛】形如x2=2py（p>0）的抛物线，考虑其切线时可以利用导数去讨论.

题型二：用向量解决夹角问题

一、单选题

1.（2020・全国•高三专题练习）在A5C中，角ABC的对边分别为a,b,c,已知

c=2后，J.2dfsinCcosB=«sinA-/?sinB+—Z?sinC,点。满足OA+O8+OC=0，

2

3

cosZC4O=-,则-A3c的面积为

8

A.半B.3石C.5&D.V55

【答案】D

【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面

积公式结合求解.

【详解】由2asinCcosB=asinA—bsinB+^-bsinC.

2

可得2“cx"―+'———=a2-b2+^-bc>即c=又c=2石，所以b=4.

2ac22

因为。4+OB+OC=0，所以点。为-ABC的重心，

所以AB+AC=3AO，所以A8=3AO—AC，

两边平方得|AB『=9|4O『-61AO|IAC|cosZCAO+1ACI2.

因为cosNC4O=|,所以|AB『=9|AOF-6|AC>||Ac|x|+|AC|2,

于是91Aoi2-9,0卜4=0,所以|AO|=g,

oAOC的面积为gx|AO|x|AC卜sinNG4O=〈xgx4x=~^~'

因为AfiC的面积是:AOC面积的3倍.故./IBC的面积为屈

【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积

公式相结合求解，属于难度题.

2.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，"ABBC<0”是“AABC为钝角三角形”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设

条件间的推出关系，即可知答案.

【详解】由48BC=-8ABC=-|BA||BC|cosB<0,即cos8>0,又0<8<乃，

TT

所以0<8<],不能推出△ABC为钝角三角形，充分性不成立；

△A8C为钝角三角形时，若则A8BC=-B48C=-|BA||BC|cosB>0,不能

推出A"8C<0，必要性不成立.

所以“ABBC<0”是"△ABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.

故选：D

二、填空题

3.(2021秋・山东泰安・高三校考阶段练习)己知向量。=(4,2),6=(41),若。+劝与

人的夹角是锐角，则实数2的取值范围为.

【答案】(1一日,2)(2,1+而)

【分析】先求出”+2〃与a-匕的坐标，再根据〃+2b与4-方夹角是锐角，则它们的数量积

为正值，且它们不共线，求出实数2的取值范围，.

【详解】向量。=(4,2),*=(2,1),，“+26=(4+22,4),«-/>=(4-2,1),

若4+2。与4-的夹角是锐角，则4+2/?与d不共线，且它们乘积为正值，

即^¥工3,K(«+26).(«-/7)=(4+2/l,4).(4-/l,l)=20+42-222>0,

4-21''')

求得1-«</1<1+而，且4*2.

【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表

示，向量平行的条件等.条件的等价转化是解题的关键.

4.(2022春・安徽滁州•高三校考阶段练习)已知“，b，c均为单位向量，且

3a+26-3c=0，则a与匕夹角的余弦值为.

【答案】-；

【分析】利用向量的数量积计算向量夹角的余弦值.

【详解】解：由题意得：

3〃+2〃-3c=0

3。+2b=3c

（3a+=（3c）2,即（3“『+Q”+2.（3a）.（26）=（3c）?

.212-...2

9a+46+12。。=9。

Qa，b，c均为单位向量

22.2

/.a=b=c=1

\2ab-12p/|-|z>|cos<a,b>=-4,即cos<a,b>=_^

故答案为：-§

三、解答题

5.(2023・全国•高三专题练习)如图，在AA8C中，已知AB=2,AC=6近,

ZBAC=45°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P.

B

(1)求Zft4M的正弦值；

(2)求/MPN的余弦值.

【答案】(吗3

13M

⑷---------

50

【分析】(1)解法1、由余弦定理求得8c=2万，得到BM=CM=g8C=>AI,分别在

和△ACM,求得cos/BMA和cos/CMA,结合NBMA和NCM4互补，求得

A"=5,再在中，求得cosNBAW,即可求解；

uuur1zUiuion、

解法2、由题意，求得AbAC=12，根据AM=5(48+ACj,结合,ABM的面积为"IBC

面积的列出方程，即可求解；

(2)解法I、由余弦定理求得用V=而，得到8尸=率，4尸=¥，在中，由余

弦定理求得cosNAP8="叵，即可求解；

50

又由4MPN=ZAPB,所以cosZ.MPN=cosZ.APB=1

50

解法2、由BN=-AB+gAC,求得心M=而，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得BC?=AB2+AC2-AB-AC-COSNBAC,

BPBC2=22+（6V2）2-2X2X6>/2X^=52,所以BC=2后,

所以BM=CM」BC=V^,

2

.4皿-BM2+AM2-AB2AM2+9

在二谢中，由余弦定理，得cos血A=2BMSM=而犷

在“皿中，由余弦定理，得cosNCMA=CM；；优丁C?=*一59,

ZBMA与NCM4互补，则cosNBA14+cosNCM4=0,解得AM=5,

在2ABA/中，由余弦定理，得cosNBAM='*4"二叫：=）,

2ABAM5

因为/84Mw（0弓），所以sinN84A/=Jl-cos?NBAM=1.

解法2、由题意可得，AB.AC=|AB|x|AC|xcos45o=12,

由AM为边8c上的中线，则AM=/（A8+AC）,

两边同时平方得，AM2=-AB2+-AC2+-AB-AC=25,故碗|=5,

44211

因为M为BC边中点，则.4加的面积为—A8C面积的

所以河xsin/BAM=」xLABxACxsin/BAC,

222

g|Jx2x5xsinZ.BAM=；x；x2x6拒xsin45°,

3

化简得，sinZBAM=-.

(2)解：方法1、在.A8V中，由余弦定理，得BN?=AB2+AN2-2A9AN2.COS45。,

所以用V=厢,

由AM,BN分别为边BC,AC上的中线可知P为重心，

可得BP=2BN=^^,AP=-AM=—,

3333

在4ABp中，由余弦定理，得cosNAPB=0A-+PB-AB：=

2PAPB50

又由NMPN=ZAPB,所以cos/MPN=cos/APB=

50

解法2：

因为3N为边AC上的中线，所以5N=R4+AN=—A3+LAC,

2

AMBN=-(AB^AC\\-AB^-AC\=--AB"--ABAC+-AC1=\?>.

2、/I2J244

-22

BN-AB+,AC]=AB-ABAC+-AC=\O,即网=M.

2)4

AMBN1313V10

所以cosZ.MPN=

5x71050-

题型三：用向量解决线段的长度问题

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知_"C的内角4,B,C所对的边分别为mb,c,且

C=60°,a=3,S~BC=今亘，则45边上的中线长为（）

497

A.49B.7C.—D.-

42

【答案】D

【分析】根据面积公式结合已知数据，即可求得b,根据余弦定理即可求得J结合中线

的向量表达即可求得中线长度.

【详解】因为SABc=L^sinC=Lx3xbx3=A叵，故可得6=5,

2224

根据余弦定理可得/=合+〃一2McosC=19,故c=M,

不妨取A3中点为M,故CM=；（CA+C8）,

i^|CA7|=1^CA|2+|c«|2+2|CA||CB|cosC=^25+9+2x5x3x1=1.

7

即A8边上的中线长为

故选：D.

2.（2021・全国•高三专题练习）设数列｛xn｝的各项都为正数且xl=l.4ABC内的点Pn

（n£N*）均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2：1,若5A+Jxn+1月8+（2xn+l）

PnC=0,则x4的值为

A.15B.17C.29D.31

【答案】A

【分析】将条件变形为e,A+（2x“+l）eC=-gx“+/,B,设匕。=（2x“+l）QC，画出图形后

利用三角形面积的关系得到数列递推式，然后构造等比数列得答案.

【详解】由4A+1",B+（2x“+l皤C=0,得KA+（2x“+l）BC=-1".B,

设勺。=（2/+1）匕。，延长8勺至⑻，使BPn=PnBl,贝ij..日凶3与,.Q出阴的面积相等，

以线段24巴。为邻边作出平行四边形AE£）E,,如图，

则匕A+4Q=《E=—；x,"/,8,

.欧=4

.例2"+，

・SpnAE-X〃+l

,.二F

又生有1_

2^71

PnDAE

qqi

.-PMC=°=PnAC_工

SPnADSPtlAE1+2xn

则_1

人匕,2（l+2x„）=2'

即x“+尸2x“+1,

•*,Xn+i+1=2（X„+1）,

•••数列｛x.+l｝是以2为首项，以2为公比的等比数列,

3

x4+1=2x2=16,

・・乙=15.

故选A.

【点睛】解答本题的关键是根据条件构造平行四边形，从形的角度考虑向量问题，然后根

据三角形的面积得到数列的递推公式，进而求得通项公式.题目有一定的难度，考查分析

问题、解决问题和转化能力，较好地考查学生的综合素质.

3.（2021•云南・统考模拟预测）己知共面向量满足同=3,"c=2a,且忖=%一目.若对

每一个确定的向量6,记卜-回（/€氏）的最小值为4“加，则当b变化时，411kl的最大值为

4

A.-B.2C.4D.6

3

【答案】B

【分析】作出平面向量的儿何表示，用|切表示出4”,“即可得出结论.

【详解】解：设OA=n，OB=b，OC=c，以。8,OC为邻边作平行四边形O80C,

由题意可知00=204，04=3,

\h\=\h-c\,:.OB=BC,:.AB=-0B,

2

过8作BE，OO,则Ib-sI。eR）的最小值为%“=BE,

20加jQ

设08=〃?，ZAOB^a,则-'"十丁_丁十，

vUoCc•——;

2x/wx36m

Q2a

J36m2-（—+9）2J-<-m2-15）2+144

BE=OBsina=加J-----------------------=--------------------„2'

6m6

故选：B.

D

0B

二、填空题

4.（2022•全国•高三专题练习）已知为等边三角形，点G是二ABC的重心.过点G的

UUUUUU

直线/与线段A8交于点。，与线段AC交于点£设AO=/M8，AE=〃AC,贝ij

I+;VADE与一ABC周长之比的取值范围为__________.

X〃

・2、r~21V3-

【答案】3T»-+—

32o

【分析】连接AG并延长，交BC于F,可得A/=；（AB+4C）,变形可得

AG=J7AO+J-AE,根据。、G、E三点共线，即可得答案；设一"C的边长为1,设

C.c,2+z/I。4DE

V3与周长之比U，可得?=—+根据余弦定理，可求得——表达

c2C233\AB\AB

式，代入可得今="，+J力〃2-华，根据人〃的范围，可得的范围，利用导数，结合

的范围，即可得答案.

【详解】连接AG并延长，交8c于F,如图所示

由题意得，尸为BC中点，

所以AF=g（A3+AC）,

又G为重心，所以AF=|AG,

所以。AG=〈（AB+AC）=±AO+；AE,即4G=JAD+JAE,

22,7222//323〃

因为。、G、E三点共线，

所以导》即J+，=3

X〃

设_ABC的边长为1,设VADE与_ABC周长之比g,

J2

GJ阿卜”AC|+怛目/+〃

则

c2_3\AB\_33\AB\

A2|A5|2+//2|AC|2-|D£|2

在VAOE中，由余弦定理得cosA=

22|AB|-//|/1C|2

DE

所以|。目2=（42+〃2_4"）,耳2,即=J[?+〃2一沏,

AB

。23

由(1)可得:+)=3，即4+〃=3"代入上式，可得a=2v

由题意得0＜，41，0＜〃41,

所以1

Xu.

\巾=-----

又〃=士，所以32-11_3

J1

A—1~2

141

因为所以入42〃4—，

_*则/⑺=1+廿=>(),

41

所以/⑺在上为增函数，

72.

所以/Q)e14+2T，

j2o

所以VAOE与工ABC周长之比的取值范围为坐

【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则，三点共线定理等知识，并灵活应

用，难点在于将周长比转化为4〃的表达式，利用二次函数的性质，结合导数，即可得答

案，属中档题.

5.(2022・全国•高三专题练习)如图，等腰三角形ABC,AB=AC=2,

ZBAC=nO0.E,尸分别为边A8,AC上的动点，且满足AE=〃MB，AF=nAC＞其

中m,«€(0,1),m+n=l,M,N分别是EF,8c的中点，贝力的|的最小值为.

【答案】|

【解析】根据条件便可得到MV=g(l-M/W+；(l-“)AC,然后两边平方即可得出

MN1=(l-m)2+(l-n)2-(1-m)(l-n)，而由条件〃=1一加，代入上式即可得出

W=3m2-3m+l，从而配方即可求出MN?的最小值，进而得出I"N|的最小值.

【详解】解：MN=AN-AM

=-(AB+AC)--(mAB+nAC)

22<

=-(l-/M)^B+-(l-n)AC

22

21,21,21

:.MN+-(1-/?)2AC+—(1一m)(1一〃)A&AC

442

=(1-m)2+(1-n)2-(1-附(1-ri)；

m+n=\,:.n=\-m,代入上式得：

.2

MN=(1-m)2+AM2+(1-tn)m

=3机2—+1

=3(机一；

加£(0,1)；

1)1

二.时，MAT取最小值1；

的最小值为

故答案为：y.

【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，

以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法.

三、解答题

6.(2023秋•吉林长春•高三长春市第二中学校考期末)在“MC中，内角4B,C的对边分

别为a,b,c,c=2b,2sirb4=3sin2C.

(1)求5后。；

(2)若的面积为次2,求AB边上的中线CO的长.

2

【答案】⑴丑

4

⑵万

【分析】(1)利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出

结果；

(2)利用三角形面积公式，及(1)的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向

量的线性表示出C。，最后利用求模公式即可求A8边上的中线的长.

【详解】(1)因为2sinA=3sin2C,

所以2sia4=6sinCcosC,

所以2a=6ccosC,

即。=3ccosC,

所以cosC=9,

3c