第4讲 乘法公式一完全平方公式-尖子班

第4讲乘法公式一完全平方公式

「完全平方公式

［利用完全平方公式进行整式及数的运算

乘法公式-完全平方公式］-

［完全平方式

，完全平方公式的几何背景］

知识点1完全平方公式

(a+b)2-a2+2ab+b2;(a-b)2-a2-2ab+b2,

即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍.

【典例】

例1(2020秋•盐池县期末)回答下列问题

(1)填空：?+4=(x+b2-2=(x-b2+2

XX

1.C1

(2)若〃+工=5,则(广+滔=23；

(3)若“2-34+1=0,求/+当的值.

aL

【解答】解：(1)2、2.

(2)23.

(3)・.・/-3。+1=0

两边同除。得：。-3+\=0,

1

移项得：。+公=3,

*,•—(a+工)2-2=7.

a2a

【方法总结】

本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式.

例2(2020秋•肇源县期末)已知〃+〃=3,出;=2,求/+/,(〃-〃)之的值.

【解答】解：'：a+b=3,

：.a2+2ab+b2^9,

，：ab=2,

：.c^+b1=9-2X2=5；

/.Ca-h)2=cr-2ab+b2=5-2X2=1.

【方法总结】

本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算

更加简便.

【随堂练习】

1.(2020秋•荔城区校级期中)已知：x+y=5,孙=3.

求：①f+5肛+/；

【解答】解：①：x+y=5,xy=3,

.,.?+5^/=(x+y)2+3xy=52+3X3=34；

②：x+y=5,xy=3,

，7+)2=(x+y)2-2xy=52-2X3=19,

.*.x4+y4=(/+)2)2-2^/=192-2X32=343.

2.(2020•南关区校级四模)某学生化简a(a+1)-(〃-2)2出现了错误，解答过程如下：

解：原式=/+〃-(/-4a+4)(第一步)

—a2+a-a2-4a+4(第二步)

=-34+4(第三步)

(1)该学生解答过程是从第二步开始出错,其错误原因是去括号时没有变号；

(2)请你帮助他写出正确的简化过程.

【解答】解：(1)第二步在去括号时，-44+4应变为4a-4.故错误原因为去括号时没

有变号.

222

(2)原式="2+。-(a-4a+4)=a+a-a+4a-4=5«-4.

知识点2利用完全平方公式进行整式与数的运算

利用完全平方公式进行整式与数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式

(。+份2=/+2"+户；3—与2=。2—2。6+户的掌握情况.

【典例】

例1(2020春•沙坪坝区校级月考)同学们知道，完全平方公式是：(a+匕)2=/+■+2",

(a-b)2^a1+b2-2ab,由此公式我们可以得出下列结论：

ab=^la+b)2-(aW)]0

(a-b)2—(a+t>)2-4ab@

利用公式①和②解决下列问题：已知根满足(3，〃-2020)2+(2019-3.)2=5,

(1)求(3机-2020)(2019-3m)的值；

(2)求(6〃?-4039)2的值.

【解答】解：(1)设3〃?-2020=x,2019-3m=y,

.*.x2+y2=5且x+y=-1,

(3/n-2020)(2019-3/n)=x)，=1[(x+y)2-(?+/)]=-2；

(2)(6加-4039)2=f(3m-2020)-(2019-3m)]2

=(3m-2020)2+(2019-3m)2-2(2019-3/n)(3m-2020)

—x2+y2-2xy

=5+4

=9.

【方法总结】

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

例2(2020秋•海淀区校级月考)计算：

(1)9992.

(2)计算(9X+1)2-(-%—1)2.

22

[解答]解：(1)9992=([000一])2=]0002_2X1000+1=1000000-2000+1=9980001；

r25r

(2)原式=丁/+5工+1-(—厂-5x+l)

44

=孕7+5工+1—^^+5]-1

44

=10尤.

【方法总结】

本题考查了完全平方公式:灵活运用完全平方公式.完全平方公式为(。土人)2=/±2帅+户.

【随堂练习】

1.(2020春•醴陵市期末)如果(x+〃?)(x+〃)—x^+Ax-1.

①填空：m+n—4,mn--1；

②根据①的结果，求下列代数式的值：

(1)n^+Smn+n2；

(2)Gn-7?)2.

【解答】解：①,二(元+小)(x+n)=/+(加+m)x+mn=x2,+4x-1,

/.m+n=4fmn=-1.

故答案为：4；-1；

@(1)n^+5mn+n2=(〃z+〃)2+3/nn=42+3X(-1)=16-3=13；

(2)(利-〃)2=(m+〃)2-4根〃=42-4义(-1)=16+4=20.

知识点3完全平方式

完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B,

使A=B2,则称A是完全平方式.

a2±2ab+b2=(a±b)2

完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完

全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方，首末

项乘积的2倍中间放，符号随中央.(就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，

再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的

符号，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用［后边的符号都用+广

【典例】

例1(2020秋•南关区校级期末)若f+10x+A是一个完全平方式，那么k=25.

【解答】解：•."0x=2X5・x,

：.k=52=25.

【方法总结】

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，确定出另一

个数是5是求解的关键，是基础题.

例2(2020春•泰兴市期末)用等号或不等号填空：

(1)比较2%与的大小：

①当x—2时，2rV7+1,

②当X—1时，2x=，+1>

③当x=-1时，2x<x1+\；

(2)通过上面的填空，猜想》与7+1的大小关系为2xWf+l；

(3)无论x取什么值，2x与7+1总有这样的大小关系吗？试说明理由.

【解答】解：(D比较M与7+1的大小：

当x=2时，2x<j?+1

当x=l时，2X=X2+1

当x=-l时，2x<x1+l,

故答案为：<,=,V;

(2)由(1)可得

故答案为：2xW/+l；

(3)无论x取什么值，总有2xW/+l.

证明：-2x=(x-1)220,

；.2xW/+l.

【方法总结】

本题考查了不等式的性质，利用完全平方公式是非负数是解题关键.

【随堂练习】

1.(2020秋•朝阳县期末)如果4/+h)'+25尸是一个完全平方公式，那么k的值是±20.

【解答】解：,..4?+5叶25)2=(2x)~+kxy+(5y)2,

：.kxy=+2X2x^5y,

解得k=±20.

故答案为:±20.

2.（2020•河北模拟）在求两位数的平方时，可以用完全平方式及“列竖式”的方法进行速

算，求解过程如下.

例如：求322.

解：因为（3x+2y）2=9,+4）2+12孙，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得:

所以322=1024.

（1）下面是嘉嘉仿照例题求892的一部分过程，请你帮他填全表格及最后结果；

解：因为（8x+9y）2=64/+81尸+144孙，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可

（2）仿照例题，速算672；

（3）琪琪用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图所示.若这个两位

数的个位数字为“，则这个两位数为“+50（用含。的代数式表示）.

【解答】解：（1）因为（&r+9y）2=647+81/+]44冲，将上式中等号右边的系数填入下

面的表格中可得：

89,

□□□

□□□111

所以892=7921；

故答案为：7921；

（2）因为（6x+7y）2=36^+49^+84^,将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可

得：

所以672=4489.

(3)设这个两位数的十位数字为6,

由题意得，2而=10小

解得6=5,

所以，这个两位数是10X5+a=a+50.

HD

故答案为：a+50.

知识点4完全平方公式的几何背景

(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对

完全平方公式做出几何解释.

(2)常见验证完全平方公式的几何图形

(a+b)2=a，+2ab+b2.(用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个

长宽分别是a,b的长方形的面积和作为相等关系)

【典例】

例1(2020春•秦淮区期末)如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型

卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、〃的长方形，C型卡片是边

长为〃的正方形，从中取出若干张卡片(每种卡片至少一张)，把取出的这些卡片拼成一

个正方形，所有符合要求的正方形个数是()

D.7

【解答】解：•・•每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形,

正方形的边长可以为：(a+b),(a+2b),(a+3h),C2a+h),(2a+2b),(3a+h)六种情

况；

(注意每一种卡片至少用1张，至多用10张)

即：(a+h)2=a2+2ah+b1,需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；

(a+26)2=/+4劭+4%需要A卡片1张，8卡片4张，C卡片4张；

Q+3b)2=/+6岫+9后，需要A卡片1张，8卡片6张，C卡片9张；

(2a+b)2=4a2+4ab+kr,需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；

(2a+2m2=4/+8出?+4序，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张;

(3a+b)2=9/+6"+户，需要A卡片9张，8卡片6张，C卡片1张；

故选：C.

【方法总结】

考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提.

例2(2020秋•卧龙区期中)如图①所示是一个长为2〃3宽为2〃的长方形，沿图中虚线用

剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答

下列问题：

(1)图②中阴影部分的正方形的边长为j

(2)请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.

方法一：(加一〃)2;

方法二：(〃2+〃)2-4/1〃：

(3)观察图②，写出代数式(nz+n)\Cm-n)2>之间的等量关系式：(〃？-，?)

2=(加+〃)2-4/7?"

(4)计算：(10.5+2)2-(10.5-2)2=84

①②

【解答】解：(1)由拼图可知，阴影部分是边长为(机-〃)的正方形，

故答案为：，"-〃；

(2)方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为(,〃-〃)2；

方法二：从边长为(〃?+〃)的大正方形减去四个长为m,宽为n的矩形面积即为阴影部

分的面积，

即(m+n)2-4nin；

故答案为：故-n)，(m+n)2-4mn；

(3)由(2)的两种方法可得，(,〃-〃)2=(m+〃)2-4mn；

故答案为:(.m-n)2=(m+n)2-4mn；

(4)(10.5+2)2-(10.5-2)2

=(10.5-2)2+4X10.5X2-(10.5-2)2

=4X10.5X2

=84.

故答案为：84.

【方法总结】

本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关

系式的关键.

例3(2020秋•兴宁区校级期中)请认真观察图形，解答下列问题：

(1)根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积.方法1：J+.；方法

2：(4+:)2-2ab.

(2)从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论：/+房=(”+b)2-2".

(3)运用你所得到的结论，解决问题：已知(x+y)2=25,3y=3,求的值.

【解答】解：(1)方法1,两个正方形的面积和，即"+序，

方法2,大正方形的面积减去两个长方形的面积，即(a+b)2-2ab,

故答案为：cP+)((/+/?)2-2ab；

(2)根据方法1与方法2所表示的面积相等得，aW=(a+b)2-2ab,

故答案为：“2+层=(a+b)2-2ah；

1

(3)，.F=3,

•«xy=6,

又：(x+y)2=25,

.，.x2+_y2=(x+y)2-2xy=25-12=13.

【方法总结】

本题考查完全平方公式的几何背景，用不同方法表示同一个图形的面积是得出等式的关

键.

【随堂练习】

1.(2020春•龙岗区校级月考)如图,两个正方形边长分别为a、b,且满足a+b=\Q,ab

=12,图中阴影部分的面积为(）

B.32C.144D.36

【解答】解：S阴影=。2+序_*2—*(a+b)・b,

=#-豪+护

（。2-ab+伊）,

=，(a+b)2-3>ab\,

当a+6=10,ab=12时，

i

原式=5(100-36)=32.

故选：B.

2.(2020秋•崇川区校级期中)完全平方公式：2=/±2岫+廿适当的变形，可以解

决很多的数学问题.

例如：若4+6=3,ab=\,求/+/的值.

解：因为a+〃=3,ab=\

所以(a+b)2=9,2ab=2

所以c^+tP-+lab=9,2ab=2

得a2+/>2=7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若x+y=8,/+)?=40,求xy的值；

(2)请直接写出下列问题答案：

①若2a+b=5,ab=2,则2a-b=±3；

②若(4-x)(5-x)=8,则(4-x)2+(5-x)2=17.

(3)如图，点C是线段A3上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形的，设AB=6,

两正方形的面积和5I+52=18,求图中阴影部分面积.

【解答】解：(1)'/(x+y)2-Ixy—x^+y2,x+y=8,x^+y^—AO,

A82-2xy=40,

/.xy=12,

答：孙的值为12；

(2)①；(2a-b)2=(2a+b)2-Sab,2a+b=5,ab=2,

(2a-b)2=52-8X2=9,

2a-b=+y/9=±3,

故答案为：±3；

②根据/+层=(a-b)2+2ab可得，

(4-x)2+(5-x)2=[(4-x)-(5-x)]2+2(4-x)(5-x),

又,:(4-x)(5-x)=8,

(4-x)2+(5一%)2=(_D2+2义8=17,

故答案为：17；

(3)设AC=/M,CF=n,

■：AB=6,

+〃=6,

又,.,SI+S2=18,

.'.W24-/t2=18,

由完全平方公式可得，(次+〃)2=m2+2〃7〃+〃2,

・•・62=18+2相〃,

mn=9f

.19

••S阴影部分=2’

9

答：阴影部分的面积为3

3.(2020秋•温岭市期中)如图1,A纸片是边长为。的正方形，B纸片是边长为。的正方

形，C纸片是长为儿宽为。的长方形.现用A种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两

张拼成如图2的大正方形.

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1：(a+b)2:方法2：6t^庐+2〃6；

(2)观察图2,请你写出下列三个代数式：(a+匕户，/+/,一之间的等量关系5)

2=/+廿+246；

(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=5,aW-13,求"的值.

【解答】解：(1)方法一，直接利用正方形的面积公式可得图2的面积为(“+〃)2

方法二，大正方形的面积等于4个部分面积和，可得/+层+2",

故答案为：(a+b),>a^+b^+2ab；

(2)由(1)得，Ca+b)2=b2+c^+2abi

故答案为：(a+b)2=序+2+2ab；

(3)'：a+b=5,/+必=13,(a+b)2=tr+^+2ab,

.♦.52=13+2",

・♦cib~~6.

4.(2020秋•浦东新区期中)完全平方公式：(〃±加2=/±24计/适当的变形，可以解决

很多的数学问题.

例如：若“+6=3,ab—\,求/+/的值.

解：因为。+方=3,

21

所以(。+〃)2=9,即：a+2ah+b=9f

又因为ab=\

所以足+f=7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若x+y=8,/+产=40,求孙的值；

(2)填空：①若(4-x)x=3,则(4-x)2+/=10.

②若(4-x)(5-x)=8,则(4-%)2+(5-x)2=17.

(3)如图，点。是线段A8上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设A8=6,两

正方形的面积和SI+S2=18,求图中阴影部分面积.

，(x+y)2=64,

即，/+2xy+72=64,

又・・・7+y2=4o,

.9.2xy=24

xy=12；

(2)①(4-x)2+/=(4-x+x)2-2(4-x)x=\6-2X3=10,

故答案为：10;

②;(4-x)(5-x)=8,

・•・(4-x)(x-5)=-8,

(4-x)2+(5-x)2

=(4-x)2+(x-5)2

=[(4-x)+(x-5)]2-2(4-x)(x-5)

=1-2X(-8)

=1+16

=17,

故答案为：17；

(3)设AC=a,BC=b,则Si=d，Sz=B,

由Si+S2=18可得,Q2+/，=]8,而a+」=AB=6,

]

而S阴影部分=《ib,

•；a+b=6,

.\a2+2ab+b2=36,

又庐=18,

**-2ab=18,

•*•5阴影部分=2ab=H=力

9

即，阴影部分的面积为1

综合运用

1.（2020秋•金昌期末）如果4/+3+9是完全平方式，则，"的值是±12.

【解答】解：•••4X2+MX+9是完全平方式，

：.m=±\2,

故答案为：±12

2.（2020秋•江汉区期末）如果/+16x+A是一个完全平方式，那么火的值是64.

【解答】解：•••，+16x+A是一个完全平方式，

二16=2迎，

解得々=64.

故答案是：64.

3.（2019秋•石狮市期末）如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（）

A.a(a+b)—c^+abB.(a+b)Ca-b)—a2-b2

C.(«-b)2=/_2ab+b2D.Ca+b>2^a1+2ab+b2

【解答】解：图中左下角的正方形面积可以表示为：(a-b)2,也可以表示为a2-lab+b1,

：.(a-b)2=«2-lab+b1,

故选：C.

4.(2020秋•偃师市期中)已知/+)2=29,x+y=7,求各式的值：

(1)到

(2)x-y.

【解答】解：(1)・・"+y=7,

/.(x+y)2=49,

•*.x2+2x)H-y2=49,

：?+y2=29,

：.2xy=20,

.*.xy=10.

(2);(x-y)2=7-2x*=29-20=9,

.".x-y—±3.

5.(2020•裕华区校级模拟)已知多项式4=(x+2)2+x(1-x)-9.

(1)化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程.在

标出①②③④的几项中出现错误的是①，并写出正确的解答过程；

(2)小亮说：“只要给出/-2x+l的合理的值，即可求出多项式A的值小明给出了

-2x+l的值为4,请你求出此时A的值.

【解答】解：(1)错误：①，

正确解答过程为：A—(x+2)2+x(1-x)-9=/+4x+4+x-，-9=5x-5；

故答案为：①；

(2)由题意得：x2-2x+]=4,

(x-1)2=4,

.,.x-1=+2,

由(1)得A=5x-5,

•,.A=5x-5—5(x-1),

/.5(x-1)=±10.

,此时A的值为±10.

6.(2020秋•朝阳区期中)如图1,是一个长为4外宽为人的长方形，沿图中虚线用剪刀平

均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).

bba

a

图1

图2图3

(1)图2中的阴影部分的边长为…

(2)观察图2请你写出(4+8)2、(〃“)2、他之间的等量关系是(。+万)2一(a-b)

2=4";

(3)根据(2)中的