2021届高三数学“小题速练”含答案解析05

2021届高三数学“小题速练”5

答案解析

一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|d_5x_6<0},B={x\3x+}<3],则()

A.{x|0<x<6}B.{x|-l<x<0}C.{x|0<x<6}D.{x|x<0}

【答案】B

【解析】因为A={x|x2-5x-6<0}={x|-l<x<6},B13A+I<3|={%|x<0}

所以An8={x|-l<x<0}

故选：B

2.已知复数z=l+加满足三£=-i,其中I为复数z的共胸复数，则实数〃=()

z-z

A.-1B.2c.1D.1或-1

【答案】C

z-z=2bi

【解析】由题意得三=1一次，所以，所以由二二=—i,得1+Z??=—2bi2=2b»得b=1

z•N=1+z-z

故选：C.

3.若sma=—，则cos2a=

878

BC

A.9--9-D.-9-

【答案】B

【解析】由公式cos2a=1-2s讥2a可得结果.

,27

详解：cos2a=1-Isin^a=1——=—

99

故选B.

f无无W()

4.函数的大致图象为()

12,x=0

【答案】B

【解析】当X-”时，/(x)=x/f+00,可排除AD；当x<0时，/(x)=x*<0,可排除C.

故选：B.

5.已知a>l,则Tog“x<log"y”是"Ji?〈盯，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为a>l,所以由log“x<log“y,得0<x<y,

所以x-y<0,x2-xy=x(x-y)<0,

所以f〈盯，则充分性成立；

当x=-l,y=-2时:〈孙，但是logax,log”y无意义，故必要性不成立.

综上，已知a>1,则“log“x<log。y”是〈孙，，的充分不必要条件.

故选：A.

6.已知双曲线/一2=1与抛物线丁=8%的一个交点为p1为抛物线的焦点，若归耳=5,则双曲线的

m

渐近线方程为（）

A.x±2y=0B.2x±y=0C.j3x+y=0D.x±0y=O

【答案】C

【解析】

24

由抛物线定义得号+2=5=*=3,;/=24=3?--=1=m=3,因此双曲线的渐近线方程为

pm

2

/一事=0,百x±y=O,选C.

7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆

接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨

量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸；③台体的体积

丫=§1上+吓+7^?7）〃）（）

A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸

【答案】A

【解析】作出圆台的轴截面如图所示:

由题意知，3歹=14寸，OC=6寸，》=18寸，OG=9寸,

即G是OF的中点,

:.GE为梯形OCBE的中位线,

:.GE=-----=10寸，即积水的上底面半径为10寸，

2

，盆中积水的体积为g乃x（100+36+10x6）x9=588万（立方寸），

又盆口的面积为142%=196%（平方寸），

平均降雨量是色坦=3寸，即平均降雨量是3寸，

196万

故选:A

8.如图，正方体48。。一4四。|。的棱长为2,点。为底面48。的中心，点？在侧面88℃的边界及

其内部运动.若2OLOP，则△RGP面积的最大值为（）

C.75D.275

【答案】C

【解析】取8g的中点尸，连接D】F、CF、GF,连接DO、BO、OC、。内、£>,C,如图:

因为正方体ABC。—4月G。的棱长为2,

所以BF=BF=T,DO=BO=OC=6,D]B\=DC=2亚,84_1,平面ABC。，平面

44GA,C,D,1平面BBGC,

所以NOD'DD；=瓜OFVOB-BF?=6,DF=dD\B；+BF=3,

所以O。；+OF2=Dp,OD：+OC2=D,C2,

所以O"_LOC,OD[±OF,

由ocnoE=o可得。4，平面OCT,

所以，CF,所以点p的轨迹为线段CF,

又C、F=Jqc；+=石>qc=2,

所以△£>，产面积的最大值S=gc/-AC=gx2xG=J^

故选：C.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）

9.随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得

到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的

是（）.

2012-2018年中国雪场滑雪人数与同比增长情况统计图

A.2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；

B.2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；

C.中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这

两年的同比增长率均有提高；

D.2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.

【答案】AB

【解析】根据条形图知，2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以A正确；

根据条形图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数逐年增加，

根据折线图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以B正确；

根据条形图知，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数为1250—103（）=220万人，2018年比2017年

增加的滑雪人数为1970-1750=220万人，根据折线图知，2015年比2014年同比增长率上升，但2018

年比2017年同比增长率有下降，故C错误；

2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为=30.5%,故D错误；

故选:AB

10.将函数/(X)=2sin［2x+£］的图象向右平移看个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的

图如若g(xjg(%2)=9，且玉,々@［一2》,2万］,则sin(x+&)的可能取值为()

A.—B.—1C.1D.0

2

【答案】BC

【解析】由题意g(x)=2sin2x+l,g(x)的最大值为3,最小值为一1,因此gCrJgC^)=9,则

JTTT

g(X1)=g(X2)=3,由g(x)=2sin2x+l=3得2x=2k%+—,x=k7r+—,AeZ,又占，々6[-2万,2%],

24

所以x.,x7&{--7r,--7r,—,—7r},设x.=k.7r+—,x7-k^7r+—k\,k?eZ,则

444444

77r1TT5TT

玉+工2=(勺+女2)万+,，则当K+k2偶数(例如4=-1,玉=--屋,左2=1，%2=—))时，Sin(X]+赴)=

1,当匕+左2奇数(例如K=。，玉=?，女2=1，*2=苧))时，Sin(X］+/)=—1,

故选：BC.

11.设双曲线C邑-马=l(a>0,b>0)的左，右焦点分别为片，工，过耳的直线/分别与双曲线左右两支交

a-b

----.1----2

于M,N两点,以MN为直径的圆过F?,ELMFyMNn^MN,则以下结论正确的是()

A./耳闻入=120°；B.双曲线C的离心率为J，；

C.双曲线C的渐近线方程为>=±岳；D.直线/的斜率为1.

【答案】BC

【解析】如图，作"。_LMN于

则砒-MN=|必同-|M7V|COSHMN，所以。是

MN中煮,从而怛M=|月凶,

根据双曲线定义|M£HM|=2a,|M；|TNg|=2a,所以周=|MV|=%,

又以MN为直径的圆过乙，所以Mg_LN^,NMNF2=NNMF?=45°,

于是/月加与=135。，A错；

又得眼用=|班|=2伍，|N£|=(20+2)4,

由余弦定理|耳用「=加耳「+|八闾2_2|八凰|叫上。545。得

222

4c=(2A/2«)2+(2V2+2)a-2x2^2ax(272+2)ax—Htf§]W-^=3,所以e=£=G，B正确;

2矿a

由二=±jg=3得与=2,即2=&,所以渐近线方程为y=±0x,c正确；

a~a-a~a

易知NN耳心＜NNM鸟=45。，所以七“=1211/g玛＜1,D错.

故选：BC.

12.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作EDJ_AC于D把AADE沿。石翻

折至AAOE的位置，连结AC.翻折过程中，其中正确的结论是()

41

A.DEL\C.

B.存在某个位置，使AE_LBE；

C.若瓯=2雨，则5尸的长是定值；

D.若丽=2雨，则四面体C—EEB的体积最大值为竽

【答案】ACD

【解析】由OE_LDC,DELA.D,。得平面4。。，又ACu平面为。。，所以

DE±A,C,A正确；

若存在某个位置，使AELBE,如图，连接AA4B,因为用=他，所以AE_LAB,

连接CE，正AAHC中，CELAB,CEc4E=E,所以AB,平面4。七，而^Cu平面4。七，所

以AB_L4C，由选项A的判断有。且。石口48=七，OEu平面A8C，ABI平面A8C,

所以AC，平面ABC，又。Cu平面ABC,所以A。，。。，则这是不可能的，事实上

AD=AD=AEcos600=-AE=-AB=-AC=-CD,B错；

“2443

"l

F

设M是AC中点，连接尸则BMJ.AC,所以6M//OE,从而。是AM中点,

所以CM=AM=2M£>,若存=2可，即。尸=2必，所以K0〃A。，所以的0LRW，且由

A“FMCM2

FM//AQ得ACFM〜ACAQ,所以方=7^=£，

ZliJ

22

△A6c边长为4,则4。=1，=BM=2\f^,

BF=IBM?+FM?=J(26『+(|)=为定值，C正确;

折叠过程中，A。不变，ABCE不动,当尸到平面ABC距离最大时，四面体C—EFB的体积最大，由

22

选项。的判断知当4。，平面ABC时，尸到平面ABC的距离最大且为§4。=],又

2

SABCE=—xx4=25/3»所以此最大值为％EM=/8c£=lx2A/^X2=生乙,D正确.

"v-tLrijr-3,39

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知随机变量J服从正态分布N（2,4）,且尸C<4）=0.8,则P（0<J<2）=.

【答案】0.3

【解析】

正态分布均值为4=2,P(2<x<4)=0.8-0.5=0.3,故P(0<x<2)=0.3.

14.若多项式d+2x"=4+4(x+1)+••♦+q()(x+1)+a“(x+l)，则q()=.

【答案】-22

【解析】由2/=2©+1)-1『展开式的通项为&|=2a(》+1产'(一1)"

令11一r=10,解得r=1，

贝1|%)=2(7八(一1)=一22,

故答案为：—22.

A

15.zkABC的内角AB,C的对边分别为a,。,c,若acos6+2/?cosA=0，则-----tanC的

tan3

最大值是

【答案】⑴.-2(2).叵

4

【解析】•.'acos3+2^cosA=0,

sinAcosB+2sin8cosA=0=sinAcosB=-2sinBcosA=>tanA=-2tanB,

tanA入

------=-2；

tanB

tanA+tan8

,tanC=-tan(A+fi)=-

1-tanAtanB2tanB+l