(4-1)匀速圆周运动及其应用(教师版)

第四章第1课时圆周运动考纲解读1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件．考点梳理一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量，v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T).2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量，ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T).3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量，T＝eq\f(2πr,v)，T＝eq\f(1,f).4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量，an＝rω2＝eq\f(v2,r)＝ωv＝eq\f(4π2,T2)r.5．向心力：作用效果产生向心加速度，Fn＝man.6．相互关系：(1)v＝ωr＝eq\f(2π,T)r＝2πrf.(2)a＝eq\f(v2,r)＝rω2＝ωv＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2f2r.(3)Fn＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝mreq\f(4π2,T2)＝mr4π2f2.二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动1．匀速圆周运动(1)定义：线速度大小不变的圆周运动.(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．(3)质点做匀速圆周运动的条件合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动．(2)合力的作用：①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的方向．②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的大小．三、离心运动1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．2．受力特点(如图2所示)(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；(3)当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．(4)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动． 图21．[匀速圆周运动的条件和性质]质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 ()A．速度的大小和方向都改变B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动D．向心加速度大小不变，方向时刻改变答案CD解析匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对．2．[线速度和角速度的关系]甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则()A．ω1>ω2，v1>v2B．ω1<ω2，v1<v2C．ω1＝ω2，v1<v2D．ω1＝ω2，v1＝v2答案C解析由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝eq\f(2πR,t)，v2＝eq\f(4πR,t)，v1<v2，由v＝rω，得ω＝eq\f(v,r)，ω1＝eq\f(v1,R)＝eq\f(2π,t)，ω2＝eq\f(2π,t)，ω1＝ω2，故C正确．3．[向心力来源的分析]如图1所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服()A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用B．所需的向心力由重力提供C．所需的向心力由弹力提供 图1D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大答案C解析衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用，A错；衣服做圆周运动的向心力为它所受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡，故弹力提供向心力，即FN＝mrω2，转速越大，FN越大．C对，B、D错．4．[对离心现象的理解]下列关于离心现象的说法正确的是 ()A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动答案C解析物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对．5．[轻杆模型问题]如图3所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的小球，使之绕另一端O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时的速度v＝eq\r(gr/2)，在这点时 ()A．小球对杆的拉力是eq\f(mg,2) B．小球对杆的压力是eq\f(mg,2)C．小球对杆的拉力是eq\f(3,2)mg图3D．小球对杆的压力是mg答案B解析设在最高点，小球受杆的支持力FN，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg－FN＝meq\f(v2,r)，得出FN＝eq\f(1,2)mg，故杆对小球的支持力为eq\f(1,2)mg，由牛顿第三定律知，小球对杆的压力为eq\f(1,2)mg，B正确．6．[轻绳模型问题]如图4所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的是 ()A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大 B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小图4答案AD解析小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)，即v0＝eq\r(gR)，选项A正确而B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v＝eq\r(5gR)，则最低点时的角速度ω＝eq\f(v,R)＝eq\r(\f(5g,R))，选项D正确而C错误．方法提炼1．轻绳模型：在最高点的临界状态为只受重力，即mg＝meq\f(v2,r)，则v＝eq\r(gr)，v<eq\r(gr)时，物体不能到达最高点．2．轻杆模型：由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度v≥0.考点一圆周运动中的运动学分析1．对公式v＝ωr的理解当r一定时，v与ω成正比．当ω一定时，v与r成正比．当v一定时，ω与r成反比．2．对a＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝ωv的理解在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．特别提醒在讨论v、ω、r之间的关系时，应运用控制变量法．例1如图5所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 ()A．a、b和c三点的线速度大小相等B．b、c两点的线速度始终相同C．b、c两点的角速度比a点的大 D．b、c两点的加速度比a点的大图5解析当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对．答案D1.高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)．2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．突破训练1如图6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，A是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，B点在小轮上，到小轮中心的距离为r，C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在转动过程中，皮带不打滑，则 () A．A点与B点的线速度大小相等B．A点与B点的角速度大小相等C．A点与C点的线速度大小相等D．A点与D点的向心加速度大小相等图6答案CD考点二圆周运动中的动力学分析1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．例2在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图7甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝10m/s2.(1)求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小；(2)求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小；(3)直升机在t＝5s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)审题指导解答本题时应注意以下两点：(1)根据A、B间距l的表达式分析被困人员的运动规律；(2)确定被困人员做圆周运动的圆心、半径及向心力．解析(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a＝2m/s2的匀加速直线运动由牛顿第二定律可得F－mg＝ma解得悬索的拉力F＝m(g＋a)＝600N.(2)被困人员5s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10m/s合速度v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,y))＝10eq\r(2)m/s竖直方向的位移y＝eq\f(1,2)at2＝25m水平方向的位移x＝v0t＝50m合位移s＝eq\r(x2＋y2)＝25eq\r(5)m.(3)t＝5s时悬索的长度l′＝50－y＝25m，旋转半径r＝l′sin37°由mgtan37°＝meq\f(v′2,r)解得v′＝eq\f(15,2)eq\r(2)m/s此时被困人员B的受力情况如图所示，由图可知FTcos37°＝mg解得FT＝eq\f(mg,cos37°)＝625N.答案(1)600N(2)10eq\r(2)m/s25eq\r(5)m(3)eq\f(15,2)eq\r(2)m/s625N解决圆周运动问题的主要步骤1.审清题意，确定研究对象；2．分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；3．分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．突破训练2如图8所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．图8答案(1)eq\f(mgH,\r(R2＋H2))eq\f(mgR,\r(R2＋H2))(2)eq\f(\r(2gH),R)解析(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ.由平衡条件有Ff＝mgsinθFN＝mgcosθ由图中几何关系有cosθ＝eq\f(R,\r(R2＋H2))，sinθ＝eq\f(H,\r(R2＋H2))故有Ff＝eq\f(mgH,\r(R2＋H2))，FN＝eq\f(mgR,\r(R2＋H2))(2)分析此时物块受力如图所示，由牛顿第二定律有mgtanθ＝mrω2.其中tanθ＝eq\f(H,R)，r＝eq\f(R,2).可得ω＝eq\f(\r(2gH),R).20．用极限法分析圆周运动的临界问题1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．例3如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30˚.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动． (1)当v1＝eq\r(\f(gl,6))时，求线对小球的拉力；(2)当v2＝eq\r(\f(3gl,2))时，求线对小球的拉力．图9解析如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知F＝mgtan30° ①又F＝meq\f(v\o\al(2,0),r)＝meq\f(v\o\al(2,0),lsin30°) ②由①②两式解得v0＝eq\r(\f(\r(3)gl,6))(1)因为v1<v0，所以小球与锥面接触并产生支持力FN，此时小球受力如图乙所示．根据牛顿第二定律有FTsin30°－FNcos30°＝eq\f(mv\o\al(2,1),lsin30°) ③FTcos30°＋FNsin30°－mg＝0 ④由③④两式解得FT＝eq\f(1＋3\r(3)mg,6)≈1.03mg(2)因为v2>v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为α，小球受力如图丙所示．则FTsinα＝eq\f(mv\o\al(2,2),lsinα)⑤FTcosα－mg＝0⑥由⑤⑥两式解得FT＝2mg答案(1)1.03mg(2)2mg突破训练3如图10所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff＝2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．(取g＝10m/s2) 答案2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s解析要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心O.设角速度ω的最大值为ω1，最小值为ω2对于B：FT＝mg对于A：FT＋Ff＝Mrωeq\o\al(2,1)或FT－Ff＝Mrωeq\o\al(2,2)代入数据解得ω1＝6.5rad/s，ω2＝2.9rad/s所以2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s.21．竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝meq\f(v2,r)得v临＝eq\r(gr)由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥eq\r(gr)，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时，v<eq\r(gr)，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<eq\r(gr)时，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN背向圆心，随v的增大而减小(3)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0(4)当v>eq\r(gr)时，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大例4如图11所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足()A．最小值eq\r(4gr) B．最大值eq\r(6gr)C．最小值eq\r(5gr) D．最大值eq\r(7gr)解析要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝meq\f(v\o\al(2,0),r)，由最低点到最高点由机械能守恒得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,min)＝mg·2r＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为eq\r(5gr)；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg，满足3mg＝meq\f(v\o\al(2,1),r)，从最低点到最高点由机械能守恒得：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,max)＝mg·2r＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为eq\r(7gr).答案CD突破训练4一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图12所示，则下列说法正确的是 ()A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B．小球过最高点的最小速度是eq\r(gR) C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小答案A解析因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零，A对；在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B错；随着速度增大，杆对球的作用力可以增大也可以减小，C、D错.高考题组1．(2012·广东·17)图13是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有 ()N小于滑块重力 B．N大于滑块重力C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小答案BC解析设滑块质量为m，在B点所受支持力为FN，圆弧半径为R，所需向心力为F.滑块从高度h处由静止下滑至B点过程中，由机械能守恒定律有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝mgh，在B点滑块所需向心力由合外力提供，得FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,B),R)，由牛顿第三定律知，传感器示数N等于FN，解得N＝mg＋eq\f(2mgh,R)，由此式知N>mg且h越大，N越大．选项B、C正确．2．(2011·安徽·17)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图14甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是 ()A.eq\f(v\o\al(2,0),g) B.eq\f(v\o\al(2,0)sin2α,g)C.eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,g)D.eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,gsinα)答案C解析物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg＝eq\f(mv2,ρ)，解得ρ＝eq\f(v2,g)＝eq\f(v0cosα2,g)＝eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,g).3．(2012·福建理综·20)如图15所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5m，离水平地面的高度H＝0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2.求：(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.答案(1)1m/s(2)0.2解析(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H＝eq\f(1,2)gt2①在水平方向上有s＝v0t ②由①②式解得v0＝seq\r(\f(g,2H))代入数据得v0＝1m/s(2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有fm＝meq\f(v\o\al(2,0),R) ③fm＝μN＝μmg ④由③④式得μ＝eq\f(v\o\al(2,0),gR)代入数据得μ＝0.2模拟题组4．如图16所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，则下列说法中正确的是 ()A．轨道对小球不做功，小球通过P点的角速度小于通过Q点的角速度B．轨道对小球做正功，小球通过P点的线速度大于通过Q点的线速度C．小球通过P点时的向心加速度大于通过Q点时的向心加速度D．小球通过P点时对轨道的压力大于通过Q点时对轨道的压力答案A解析由机械能守恒可知，P点的速度小于Q点的速度，即vP<vQ，且rP>rQ.由于轨道弹力方向始终与小球的速度垂直，所以轨道对小球不做功；由v＝rω知，ω＝eq\f(v,r)，由于vP<vQ而rP>rQ，所以ωP<ωQ，A对，B错；向心加速度an＝eq\f(v2,r)，可知anP<anQ，C错；而在P、Q点时，mg＋FN＝eq\f(mv2,r)＝man，所以FNP<FNQ，D错．5．在光滑水平面上，一根原长为l的轻质弹簧的一端与竖直轴O连接，另一端与质量为m的小球连接，如图17所示．当小球以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v1时，弹簧的长度为1.5l；当它以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v2时，弹簧的长度为2.0l.求v1与v2的比值． 答案eq\r(3)∶2eq\r(2)解析设弹簧的劲度系数为k，当小球以v1做匀速圆周运动时有：k(1.5l－l)＝meq\f(v\o\al(2,1),1.5l)当小球以v2做匀速圆周运动时有：k(2.0l－l)＝meq\f(v\o\al(2,2),2.0l)两式之比得：v1∶v2＝eq\r(3)∶2eq\r(2)►题组1匀速圆周运动的运动学分析1．关于匀速圆周运动的说法，正确的是 ()A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动答案BD解析速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．故本题选B、D.2．如图1所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝RA/2，若在传动过程中，皮带不打滑．则 () A．A点与C点的角速度大小相等B．A点与C点的线速度大小相等C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4答案BD解析处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝RA/2，所以ωA＝ωC/2，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝ωC/2，可得ωB＝ωC/2，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝ωC/2及关系式a＝ω2R，可得aB＝aC/4，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确．3．下列说法正确的是 ()A．速度的变化量越大，加速度就越大B．在匀变速直线运动中，速度方向与加速度方向不一定相同C．平抛运动是匀变速曲线运动D．匀速圆周运动的线速度、角速度、周期都不变答案BC4．一对男女溜冰运动员质量分别为m男＝80kg和m女＝40kg，面对面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图2所示，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为9.2N，则两人 ()A．速度大小相同约为40m/sB．运动半径分别为r男＝0.3m和r女＝0.6mC．角速度相同为6rad/sD．运动速率之比为v男∶v女＝2∶1答案B解析因为两人的角速度相等，由F＝mω2r以及两者的质量关系m男＝2m女可得，r女＝2r男，所以r男＝0.3m、r女＝0.6m，B正确；而角速度相同均为0.62rad/s，C错误；运动速率之比为v男∶v女＝1∶2，D错误．5．如图3所示，m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，已知该皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑，当m可被水平抛出时，A轮每秒的轮数最少是()A.eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,r)) B.eq\r(\f(g,r)) C.eq\r(gr) D.eq\f(1,2π)eq\r(gr)答案A解析小物体不沿曲面下滑，而是被水平抛出，需满足关系式mg≤mv2/r，即传送带转动的速度v≥eq\r(gr)，其大小等于A轮边缘的线速度大小，A轮转动的周期为T＝eq\f(2πr,v)≤2πeq\r(\f(r,g))，每秒的转数n＝eq\f(1,T)≥eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,r)).本题答案为A.题组2匀速圆周运动的动力学分析6．如图4所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是 ()A．受重力和台面的支持力 B．受重力、台面的支持力和向心力C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力D．受重力、台面的支持力和静摩擦力答案D解析重力与支持力平衡，静摩擦力提供向心力，方向指向转轴．7．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图5所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A.eq\r(\f(gRh,L)) B.eq\r(\f(gRh,d))C.eq\r(\f(gRL,h)) D.eq\r(\f(gRd,h))答案B解析考查向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtanθ，根据牛顿第二定律：F向＝meq\f(v2,R)，tanθ＝eq\f(h,d)，解得汽车转弯时的车速v＝eq\r(\f(gRh,d))，B对．8．质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图6所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为()meq\f(v2,R) B．mgC．meq\r(g2＋\f(v4,R2))D．meq\r(g2－\f(v2,R4))答案C解析飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力F向＝meq\f(v2,R).飞机受力情况示意图如图所示，根据勾股定理得：F＝eq\r(mg2＋F\o\al(2,向))＝meq\r(g2＋\f(v4,R2)).

9．“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模型如图7所示．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的 是 ()A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多D．摩托车对侧壁的压力随高度H增大而减小答案B解析经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H的变化而变化，A错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速圆周运动，所受合外力等于向心力，即F合＝meq\f(v2,r)，随H的增大，r增大，线速度增大，B正确；向心力与速度一直垂直，不做功，C错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的压力恒定不变，D错误．10．如图8所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内．A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部压力为0.75mg，求A、B两球落地点间的距离．答案3R 解析A球通过最高点时，由FNA＋mg＝meq\f(v\o\al(2,A),R)已知FNA＝3mg，可求得vA＝2eq\r(Rg)B球通过最高点时，由mg－FNB＝meq\f(v\o\al(2,B),R)已知FNB＝0.75mg，可求得vB＝eq\f(1,2)eq\r(Rg)平抛落地历时t＝eq\r(\f(4R,g))故两球落地点间的距离s＝(vA－vB)t＝3R题组3匀速圆周运动中的临界问题11．如图9所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4m，最低点处有一小球(半径比r小的多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足(g＝10m/s2)() A．v0≥0 B．v0≥4m/sC．v0≥2eq\r(5)m/s D．v0≤2eq\r(2)m/s答案CD解析解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道．对于第(1)种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv2/r，又根据机械能守恒定律有mv2/2＋2mgr＝mveq\o\al(2,0)/2，可求得v0≥2eq\r(5)m/s，故选项C正确；对于第(2)种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝mveq\o\al(2,0)/2，可求得v0≤2eq\r(2)m/s，故选项D正确．12．用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图10所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是下列选项中的 ()答案C解析小球未离开锥面时，设细线的张力为FT，线的长度为L，锥面对小球的支持力为FN，则有：FTcosθ＋FNsinθ＝mg及FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，可求得FT＝mgcosθ＋mω2Lsin2θ可见当ω由0开始增大，FT从mgcosθ开始随ω2的增大而线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，有FTsinα＝mω2Lsinα，其中α为细线与竖直方向的夹角，即FT＝mω2L，可见FT随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C正确．13．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取g＝10m/s2)答案(1)150m(2)90m解析(1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有Fmax＝0.6mg＝meq\f(v2,rmin)，由速度v＝108km/h＝30m/s得，弯道半径rmin＝150m.(2)汽车过拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有mg－FN＝meq\f(v2,R).为了保证安全通过，车与路面间的弹力FN必须大于等于零，有mg≥meq\f(v2,R)，则R≥90m.14．如图11所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r＝20cm处放置一小物块A，其质量为m＝2kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0.5)．(1)当圆盘转动的角速度ω＝2rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？(2)欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？(取g＝10m/s2)答案(1)1.6N方向沿半径指向圆心(2)5rad/s解析(1)物块随圆盘一起绕轴转动，需要向心力，而竖直方向物块受到的重力mg、支持力FN不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物块的静摩擦力．根据牛顿第二定律可求出物块受到的静摩擦力的大小Ff＝F向＝mω2r＝1.6N，方向沿半径指向圆心．(2)欲使物块与盘面不发生相对滑动，做圆周运动的向心力应不大于最大静摩擦力所以F向＝mrωeq\o\al(2,max)≤kmg解得ωmax≤eq\r(\f(kg,r))＝5rad/s.课后作业1．关于圆周运动的说法，正确的是()A．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定指向圆心B．做圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心C．做圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心D．做圆周运动的物体，只要所受合力不指向圆心，其速度方向就不与合力方向垂直解析：选ABD.做变速圆周运动的物体，所受合力不指向圆心，故C错误．2．一辆载重汽车在丘陵山地上匀速行驶，地形如图所示．由于轮胎太陈旧，途中“放了炮”．你认为在途中A、B、C、D四处中，放炮的可能性最大的是()A．A处B．B处C．C处D．D处解析：选C.做曲线运动的汽车在经过C处时，圆周运动的向心力由重力和山地对它支持力的合力提供，由F－mg＝eq\f(mv2,R)时，此处F>mg，因此选项C正确．3．风洞实验室中可产生竖直向上的风力．如图示，现将一个小球用细线拴住，放入风洞实验室中，使小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最大B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大C．小球可能做匀速圆周运动D．小球不可能做匀速圆周运动解析：选C.由于小球受到竖直向上的风力，这个力可以和重力抵消掉，所以小球一定条件下可以看成只在细线的拉力的作用下做匀速圆周运动，选项C正确，选项D错误．若风力大于重力，在a点，小球速度最大，线的张力最大，若风力小于重力，小球在eq\a\vs4\al(b)点速度最大，线的张力最大，选项A、B错误．4．老山自行车赛场采用的是250米赛道，赛道宽度为7.5米，赛道形如马鞍形，由直线段、过渡曲线以及圆弧段组成，按2003年国际自盟UCI赛道标准的要求，其直线段倾角为13°，圆弧段倾角为45°，过渡曲线段由13°向45°过渡．假设运动员在赛道上的速率不变，则下列说法中可能正确的是()A．在直线段赛道上自行车运动员处于平衡状态B．在圆弧段赛道上自行车运动员的加速度不变C．在直线赛道上自行车受到沿赛道平面斜向上的摩擦力D．在圆弧段赛道上的自行车可能不受摩擦力作用解析：选ACD.在直线段赛道上的运动员做匀速直线运动，处于平衡状态，A项正确；在圆弧赛道上的运动员做匀速圆周运动，加速度方向总指向圆弧形赛道的圆心，时刻发生改变，B项错；在直线段赛道上的自行车根据平衡条件可知受到沿赛道向上的摩擦力作用，C项正确；自行车运动员所受到的重力和支持力的合力恰好提供运动员所需向心力时，自行车则不受摩擦力作用，D项正确．5.如图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是()A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aRB．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同C．线速度vP>vQ>vRD．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同解析：选BC.R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴AB，由a＝rω2可知：aP>aQ>aR，又由v＝rω可知vP>vQ>vR，因此A错，B、C对；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，D错．6．如图所示的皮带传动中小轮半径ra是大轮半径rb的一半，大轮上c点到轮心O的距离恰等于ra，若皮带不打滑，则图中a、b、c三点()A．线速度之比为2∶1∶1B．角速度之比为2∶1∶2C．转动周期之比为2∶1∶1D．向心加速度大小之比为4∶2∶1解析：选D.a、b线速度相等，则va∶vb＝1∶1①b、c角速度相等，即ωb∶ωc＝1∶1②由①得eq\f(ωa,ωb)＝eq\f(\f(va,ra),\f(vb,rb))＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(2,1)③由②③得ωa∶ωb∶ωc＝2∶1∶1由②得eq\f(vb,vc)＝eq\f(ωb·rb,ωc·rc)＝eq\f(rb,rc)＝eq\f(2,1)④由①④得va∶vb∶vc＝2∶2∶1又由①得eq\f(aa,ab)＝eq\f(\f(v\o\al(2,a),ra),\f(v\o\al(2,b),rb))＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(2,1)由②得eq\f(ab,ac)＝eq\f(rbω\o\al(2,b),rcω\o\al(2,c))＝eq\f(rb,rc)＝eq\f(2,1)所以aa∶ab∶ac＝4∶2∶1周期eq\f(Ta,Tb)＝eq\f(\f(2π,ωa),\f(2π,ωb))＝eq\f(ωb,ωa)＝eq\f(1,2)eq\f(Tb,Tc)＝eq\f(ωc,ωb)＝eq\f(1,1)所以Ta∶Tb∶Tc＝1∶2∶2.如图所示，M为固定在水平桌面上的有缺口的方形木块，abcd为eq\f(3,4)圆周的光滑轨道，a为轨道的最高点，de面水平且有一定长度．今将质量为m的小球在d点的正上方高为h处由静止释放，让其自由下落到d处切入轨道内运动，不计空气阻力，则()A．在h一定的条件下，释放后小球的运动情况与小球的质量有关B．改变h的大小，就能使小球通过a点后，落回轨道内C．无论怎样改变h的大小，都不可能使小球通过b点后落回轨道内D．调节h的大小，使小球飞出de面之外(即e的右面)是可能的解析：选D.在h一定的条件下，释放后小球的机械能守恒，其运动情况与小球的质量无关，A错；小球能通过a点的最小速度v＝eq\r(gR)，从a点平抛，R＝eq\f(1,2)gt2，s＝vt＝eq\r(2)R，所以，无论怎样改变h的大小，都不可能使小球通过a点后落回轨道内，选项B错误；但可以使小球通过b点后落回轨道内，选项C错误；如果h足够大，小球可能会飞出de面之外，D正确．8.如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中()A．B对A的支持力越来越大B．B对A的支持力越来越小C．B对A的摩擦力越来越大D．B对A的摩擦力越来越小解析：选BD.以A为研究对象，由于其做匀速圆周运动，故合外力提供向心力．在水平位置a点时，向心力水平向左，由B对它的静摩擦力提供，f＝mω2r；重力与B对它的支持力平衡，即N＝mg.在最高点b时，向心力竖直向下，由重力与B对它的支持力的合力提供，mg－N＝mω2r，此时f＝0.由此可见，B对A的支持力越来越小，B对A的摩擦力越来越小．故选B、D.9．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB，当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上．若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮轮轴的最大距离为()A．RB/4B．RB/3C．RB/2D．RB解析：选C.两轮边缘上的线速度相同，据v＝ωR有：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(RB,RA)＝eq\f(1,2)又因小木块恰能静止在A轮边缘，最大静摩擦力提供向心力，有：μmg＝mRAωeq\o\al(2,A)①设放在B轮上能使木块相对静止的距B转轴最大距离为r.又因为A、B材料相同，木块A、B的动摩擦因数相同．木块放在r处时，最大静摩擦力提供向心力，有：μmg＝mrωeq\o\al(2,B)②①、②联立得RAωeq\o\al(2,A)＝rωeq\o\al(2,B)r＝eq\f(ω\o\al(2,A),ω\o\al(2,B))·RA＝eq\f(1,4)×2RB＝eq\f(1,2)RB，故选项C正确．10．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动．图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.下列说法中正确的是()A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将