2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第1章　§1.4　基本不等式（原卷版）

第第页§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.知识梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立.(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号).(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R).(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤(eq\f(a＋b,2))2与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的.()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.()(4)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.()2.若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A.1＋eq\r(2) B.1＋eq\r(3)C.3 D.43.已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16)D.14.已知x>0，y>0，x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A.b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B.b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC.b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD.b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)跟踪训练1(1)已知p：a>b>0，q：eq\f(a2＋b2,2)>(eq\f(a＋b,2))2，则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)D.ab≤eq\f(a2＋b2,2)题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A.x－eq\f(1,x)B.2x＋2－xC.x2＋eq\f(1,x2)D.eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________.命题点2配凑法例3(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则aeq\r(1＋b2)的最大值为()A.eq\r(7)B.eq\r(3)C.2eq\r(2)D.2(2)已知x>1，则eq\f(x2＋3,x－1)的最小值为()A.6B.8C.10D.12与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞).(1)当eq\r(k)∈[a，b]时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)≥2eq\r(k)，f(x)min＝f(eq\r(k))＝eq\r(k)＋eq\f(k,\r(k))＝2eq\r(k)；(2)当eq\r(k)＜a时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋eq\f(k,a)；(3)当eq\r(k)＞b时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋eq\f(k,b).因此，只有当eq\r(k)∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当eq\r(k)∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.典例函数f(x)＝x2＋eq\f(3,x2＋2)的最小值是______.命题点3代换法例4(1)已知正数a，b满足eq\f(8,b)＋eq\f(4,a)＝1，则8a＋b的最小值为()A.54B.56C.72D.81延伸探究已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________.(2)已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)的最小值为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C.2D.3命题点4消元法例5已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－eq\f(a,4)的最小值为()A.1B.eq\r(2)C.2D.2eq\r(2)命题点5构造不等式法例6若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为()A.9B.6C.3D.12跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A.y＝sinx＋eq\f(1,sinx)(0＜x≤eq\f(π,2))B.y＝2－x－eq\f(4,x)(x＜0)C.y＝eq\f(x2＋6,\r(x2＋5))D.y＝4x＋4－x(2)(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A.ab的最大值为2B.a＋b的最小值为4C.a＋2b的最小值为6eq\r(2)－3D.eq\f(1,ab＋1)＋eq\f(1,b)的最小值为eq\f(1,2)

课时精练一、单项选择题1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是()A.9B.18C.9eq\r(3)D.272.已知a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则4a＋9b的最小值是()A.23B.26C.22D.253.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.2B.3C.4D.54.“∀x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是()A.m>4B.m<eq\f(16,3)C.m<4D.m<25.若x>0，y>0，x＋3y＝1，则eq\f(xy,3x＋y)的最大值为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,16)D.eq\f(1,20)二、多项选择题6.已知x，y是正数，且x＋y＝2，则()A.x(x＋2y)的最大值为4B.log2x＋log2y的最大值为0C.2x＋2y的最小值为4D.eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值为eq\f(3,2)＋eq\r(2)7.若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1三、填空题8.若x<2，则