2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.5　椭　圆（原卷版）

第第页§8.5椭圆课标要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，SKIPIF1<0最大．(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(3)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()2．若椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上一点P与焦点F1的距离为4，则点P与另一个焦点F2的距离为()A．6B．3C．4D．23．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2\r(2),3)4．若椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A．3B．2＋eq\r(3)C．2D.eq\r(3)＋1题型一椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋y2＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1(2)已知P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若eq\f(\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→)),|\o(PF1,\s\up6(→))||\o(PF2,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，则△F1PF2的面积为________．跟踪训练1(1)若F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为()A．4B．8C．10D．20题型二椭圆的标准方程例2(1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为()A.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,10)＝1B.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1D.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1(2)已知过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,60)＝1B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,60)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1(2)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且SKIPIF1<0＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，则椭圆E的标准方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1题型三椭圆的几何性质命题点1离心率例3(1)设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq\f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为()A．2－eq\r(3)B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)(2)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq\f(1,4)，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题例4(多选)已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则()A．SKIPIF1<0的最大值为4eq\r(3)B．|PF1|的取值范围是[4－2eq\r(3)，4＋2eq\r(3)]C．不存在点P使PF1⊥PF2D．|PB|的最大值为2eq\r(5)跟踪训练3(1)已知M，N是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值是eq\f(1,4)a2，则椭圆C的离心率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)(2)已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))的取值范围为()A．[－16,0]B．[－8,0]C．[0,8]D．[0,16]课时精练一、单项选择题1．“1<k<5”是方程“eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若椭圆C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)3．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝14．已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则△ABF1的面积等于()A．18B．10C．9D．6二、多项选择题5．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有()A．△PF1F2的周长为4＋2eq\r(2)B．当∠PF1F2＝90°时，|PF1|＝2C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为eq\f(4\r(3),3)D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形三、填空题6．已知F1(－2,0)，F2(2,0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，则椭圆C的方程为________________．7．椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝________.8．已知一个离心率为eq\f(1,2)，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为F1，F2，在椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，