湖南省2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷

湖南省2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={y|y=lnx}，B={x|xA．{x|0<x≤1} B．{x|−3≤x≤1}C．{x|0<x≤3} D．{x|−1≤x≤3}2．若z(2−i)=i，则z=A．15+25i B．−13．已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(2)=1，则不等式f(x)+1<0的解集为（）A．(−1,1) B．(−2,2) C．4．某班同学利用课外实践课，测量A，B两地之间的距离，在C处测得A，C两地之间的距离是4千米，B，C两地之间的距离是6千米，且∠ACB=60°，则A，B两地之间的距离是（）A．27千米 B．43千米 C．219千米 5．已知命题p：函数f(x)=x3+x+a在[1A．−30≤a≤−2 B．−30≤a≤−3C．−28≤a≤0 D．−30≤a≤06．2cosA．3sin20° B．sin20° C．−7．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．43 B．45 C．468．已知长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2A．5 B．3 C．6 D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论不正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α∩β=m，n∥m，则n∥αC．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β10．已知函数f(x)=sinA．f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=B．直线x=2π3是C．f(x)在[πD．f(x)的图象关于点(5π11．已知三棱锥P—ABC的所有棱长都是6，D，E分别是三棱锥P—ABC外接球和内切球上的点，则（）A．三棱锥P—ABC的体积是18B．三棱锥P—ABC内切球的半径是6C．DE长度的取值范围是[D．三棱锥P—ABC外接球的体积是27三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．某连锁超市在A，B，C三地的数量之比为2:m:4，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则13．若实数x>2y>0，则3yx−2y+xy的最小值为14．在长方形ABCD中，AB=3，AD=2，点E在线段AB上，AE=1，沿DE将△ADE折起，使得AE⊥DC，此时四棱锥A—BCDE的体积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在三棱锥S—ABC中，已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=5.（1）求三棱锥的体积VS−ABC（2）求侧面SBC与侧面SAB所成的二面角的余弦值.16．已知函数f(x)=2x−a⋅（1）求f(x)的解析式；（2）若不等式[f(x)]2−af(x)+1≥0对x∈R恒成立，求17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且43（1）求角A；（2）求b218．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，（1）证明：AB⊥平面CC（2）求异面直线BC1与（3）在C1D上是否存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC19．在复数域中，对于正整数n满足zn−1=0的所有复数z=cos2kπn+isin2kπn（k∈Z）称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m，都有zm≠1，则称这种复数为n次的本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当n=4时，存在四个4次单位根±1，±i，因为11=1，(−1)2=1，因此只有两个4次本原单位根±i，对于正整数n，设n次本原单位根为z1，（1）直接写出8次单位根，并指出哪些是8次本原单位根（无需证明）；（2）求出f8(x)，并计算f8（3）设所有16次本原单位根在复平面内对应的点为A1，A2，A3，…，Am，复平面内一点P所对应的复数z满足

答案解析部分1．【答案】D【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：易知集合A=R，由x2−2x−3≤0，解得−1≤x≤3，则集合所以A∩B=B={x|−1≤x≤3}.故答案为：D．【分析】求对数函数值域，解一元二次不等式求得集合A,2．【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数【解析】【解答】解：由z(2−i)=i，可得z=i2−i=故答案为：B．【分析】根据复数乘除法运算化简复数z，再根据共轭复数的定义求解即可．3．【答案】D【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数f(x)为奇函数，所以f−2=−f(2)=−1，

则不等式f(x)+1<0的解集即为f(x)<−1的解集，即为f(x)<−1=f−2的解集，

又因为函数f(x)在R上单调递增，所以，不等式f(x)+1<0的解集为(−∞,−2).

4．【答案】A【知识点】余弦定理【解析】【解答】解：由余弦定理可得AB2=AC2故答案为：A.【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.5．【答案】D【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；函数零点存在定理【解析】【解答】解：易知函数f(x)=x3+x+a在[1即(1+1+a)(27+3+a)≤0，解得−30≤a≤−2，要成为命题p成立的一个必要不充分条件，则选项是集合{a|−30≤a≤−2}的真子集.故答案为：D.【分析】由题意，先确定函数的单调性，再利用零点存在性定理结合充分、必要条件的定义判定即可.6．【答案】C【知识点】两角和与差的余弦公式【解析】【解答】解：2=2=cos故答案为：C.【分析】由题意，根据两角和差的余弦公式化简即可.7．【答案】C【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题【解析】【解答】解：连接AC,AD1，B1连接AB1，交CD1于点因为AB=4，所以AC=B1C=AD1=CD1=故答案为：C．【分析】连接AC,AD1，B1D1,B8．【答案】C【知识点】平面向量的共线定理；棱柱的结构特征【解析】【解答】解：因为AP=λAC+(1−λ)AA1，所以由对称性可知，线段CA1上的点到D1所以|PB|+|P当P为线段CA1的中点，|PB故答案为：C．【分析】由AP=λAC+(1−λ)AA1，可得P,9．【答案】A,B,C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：A、若m//n，则α,β可能相交，故A错误；

B、若α∩β=m，n//C、如图所示：当m⊂α,n⊂β,m⊥n，显然D、由线面垂直的性质可知若m⊂α,m⊥β，则故答案为：ABC.【分析】根据空间中的直线、平面的位置关系，结合反例逐项判断即可.10．【答案】B,C,D【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【解答】解：A、函数f(x)=sin(2x+π6)B、f(2πC、当x∈[π4,D、f(5π故答案为：BCD.【分析】利用三角函数图象的平移变换，结合三角函数的图象与性质逐项判断即可.11．【答案】A,C,D【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体【解析】【解答】解：取BC的中点M，连接AM，PM，作PH⊥平面ABC，如图所示：易证H在AM上，且AH=2HM=23，则PH=从而三棱锥P—ABC的体积V=1设三棱锥P—ABC内切球的半径为r，则VP−ABC=13S设三棱锥P—ABC外接球的半径为R，球心为O，则R2=AH2+OH2=(PH−OH)2，即R2=12+OH显然DE长度的取值范围是[6故答案为：ACD.【分析】作出棱锥的高，利用体积公式即可判断A；利用内切球的半径公式计算即可判断B；利用勾股定理建立方程求解外接球半径，求出体积即可判断CD.12．【答案】6【知识点】分层抽样方法【解析】【解答】解：由分层抽样得定义可得：22+m+4=418，解得m=3，

则故答案为：6.【分析】根据分层抽样的定义计算即可.13．【答案】23+2【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：因为x>2y>0，

所以3yx−2y当且仅当(x−2y)2=3y2，即x=(2+3)y时等号成立，

即故答案为：23+2；【分析】利用基本不等式求最小值，再由等号成立的条件求xy14．【答案】5【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：设点A在平面BCDE上的投影为A1，如图所示：

当AE⊥DC时，因为AA1⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE又因为AA1∩AE=A，且AA1,AE⊂因为A1E⊂平面AA过点A作AF⊥DE，如图所示：

因为AA1⊥平面BCDE，DE⊂平面BCDE，所以又因为AA1∩A1F=A1且因为A1F⊂平面AA设AA1=ℎ在△ADE中，可得DE=5，AF=25在Rt△A1FE延长EA1∩CD=G在Rt△DEG中，sin∠A1EF=DGDE，所以四棱锥A−BCDE的体积为13故答案为：53【分析】设点A在平面BCDE上的投影为A1，证得CD⊥平面AA1E和DE⊥平面AA1F，得到A1F⊥DE15．【答案】（1）解：因为∠SAB=∠SAC=90°，所以SA⊥AB，SA⊥AC，所以SA⊥平面ABC，又因为∠ACB=90°，所以SΔABC又因为SB=5，AB=AC2故VS−ABC（2）解：过点C作CD⊥AB于点D，作DE⊥SB于点E，连接CE，如图所示：因为平面ABS⊥平面ABC，所以CD⊥平面ABS，又由三垂线定理知CE⊥SB，所以由DE⊥SB，CE⊥SB知∠CED为侧面SBC与侧面SAB所成的二面角的平面角.因为SC=3，BC=4，SB=5，所以CE=12因为CD=455所以cos∠CED=1−(【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）∠ACB=90°，AC=2,BC=4，可求S△ABC，∠SAB=∠SAC=90°，SA⊥平面ABC，勾股定理求出SA（2）过点C作CD⊥AB于点D，作DE⊥SB于点E，结合定义可证得∠CED为侧面SBC与侧面SAB所成的二面角的平面角，求出所需边长，求解即可.16．【答案】（1）解：因为函数f(x)=2x−a⋅所以f(−x)=f(x)，可得2−x即2x所以(2所以1+a=0，a=−1，故f(x)=2（2）解：由（1）知f(x)=2x+2−x，令t=因为不等式[f(x)]2−af(x)+1≥0恒成立，等价于所以a≤y2+1又因为y≥2，所以(y+1y)min=【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质【解析】【分析】（1）由函数的偶函数，得f(−x)=f(x)，列式求解参数即可；（2）由（1）知f(x)=2x+2−x，令t=2x，通过参变分离，将原不等式转化成a≤17．【答案】（1）解：因为a2=b所以23所以3sinA+cos因为A+π所以A+π6=（2）解：因为b=4所以b2因为B∈(0,所以2B+π所以sin(2B+故b2【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理结合辅助角公式求解即可；（2）利用余弦定理以及正弦定理，结合辅助角公式，二倍角公式化简求范围即可.18．【答案】（1）证明：由正三棱柱的定义可知△ABC是等边三角形，CC因为AB⊂平面ABC，所以CC因为△ABC是等边三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，因为CC1，CD⊂平面CC1D，且C（2）解：取A1B1的中点D1，连接易证CD∥C1D1，则设AA1=2，则AB=23，C1故cos∠BC1D1（3）解：在△CC1D因为CE⊂平面CC1D，且AB⊥平面C因为AB，C1D⊂平面ABC1，且AB∩C因为CE⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面ABC设AA1=2，则C1C=2因为SΔCC1则C1E=CC1故在C1D上存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）根据正三棱柱的结构特征，结合线面垂直的判定证明即可；（2）取A1B1的中点D（3）先作C1D⊥CE于19．【答案】（1）解：z8−1=0的解为：z=cos所以8次单位根为1，−1，i，−i，22+22i，2故8次本原单位根为22+22i，2（2）解：f8又f4(x)=(x−i)(x+i)=x2+1所以f8由此猜想f（3）解：设16次单位根分别为z0，z1，z2，…，z不难发现z1，z3，z5，z7，z9，z所以|P又f16|z8|−1≤|所以|z即|P【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式；复数运算的几何意义【解析】【分析】（1）由题意，先写出z8−1=0的所有复数单位根，再根据该条件写出（2）先证明对任意u∈N∗都有（3）利用f16

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）63.0(42.0%)主观题（占比）87.0(58.0%)题量分布客观题（占比）12(63.2%)主观题（占比）7(36.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.3(15.8%)15.0(10.0%)选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.3(15.8%)18.0(12.0%)解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5(26.3%)77.0(51.3%)选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8(42.1%)40.0(26.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(47.4%)2容易(47.4%)3困难(5.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1空间中直线与平面之间的位置关系6.0(4.0%)92平面与平面垂直的判定17.0(11.3%)183平面向量的共线定理5.0(3.3%)84函数零点存在定理5.0(3.3%)55异面直线及其所成的角17.0(11.3%)186对勾函数的图象与性质15.0(10.0%)167正弦定理15.0(10.0%)178复数代数形式的乘除运算22.0