2024-2025学年度北师版九上数学-总复习-期末复习课（一）（第一章　特殊平行四边形）【课件】

总复习期末复习课期末复习课（一）（第一章特殊平行四边形）数学九年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01知识梳理1.特殊平行四边形的网络图（特殊平行四边形的判定）.2.菱形的性质.（1）边：菱形的四条边

⁠.（2）对角线：菱形的对角线互相

，并且平分每一

组

⁠.（3）对称性：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴；②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.相等

垂直平分

对角

3.矩形的性质.（1）角：矩形的四个角都是

⁠.（2）对角线：矩形的对角线

，

且互相

⁠.（3）对称性：①矩形是轴对称图形，有两条对称轴；②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.直角

相等

平分

4.正方形的性质.（1）角：正方形的四个角都是

⁠.（2）边：正方形的四条边

⁠.（3）对角线：正方形的对角线

且互相

⁠.（4）对称性：①正方形是轴对称图形，有四条对称轴；②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：正方形具有菱形、矩形的一切性质.直角

相等

相等

垂直平分

5.面积问题.（1）菱形的面积等于对角线乘积的一半；（2）矩形的面积等于长×宽；（3）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线乘积的

一半.6.直角三角形斜边中线定理.直角三角形斜边上的中线等于斜边的

⁠.一半

数学九年级上册BS版02典例讲练

①②③④

综上所述，正确的结论有①②③④.【点拨】本题考查了线段垂直平分线的作图方法、线段中垂线的性质、菱形的判定及性质定理、勾股定理等，是中考的一个常考点.熟练掌握并灵活运用相关定理是解题的关键.

BA.4个B.3个C.2个

D.1个【解析】如图，设AC与MN的交点为点O.根据作图可得，

MN垂直平分AC.

∴AO＝CO.

∵四边形ABCD

是矩形，∴

AD∥BC.

∴∠EAO＝∠OCF.

又∵∠AOE＝∠

COF，

AO＝CO，∴△AOE≌△COF（ASA），∴

AE＝FC.

又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形.

∵

MN垂直平分AC，∴EA＝EC，∴四边形AECF是菱形.故①正确.②∵

MN

垂直平分

AC

，∴

FA

＝

FC

.

∴∠

ACB

＝∠

FAC

.∴∠

AFB

＝2∠

ACB

.

故②正确.

综上所述，①②④正确，共3个.故选B.类型二

矩形的性质与判定

在四边形ABCD中，已知AC,BD相交于点O，AD∥BC,∠

ADC＝∠ABC，OA＝OB.

（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；图1

（2）如图2，点P是边AD上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，垂足分别是E，F，若AD＝12，AB＝5，求PE＋PF的值.图2

【点拨】（1）判定矩形的关键要素：①平行四边形；②直角或对角线相等.（2）矩形问题中涉及边长的和的求值或证明问题时，一般通过全等三角形或等面积法解决.（3）关于中点的处理，主要看中点所在的“环境”，如等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点、双中点等，不同环境处理方法各不相同.

1.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

BC

＝6.若点

E

，

F

分别在

AB

，

CD

上，且

BE

＝2

AE

，

DF

＝2

FC

，点

G

，

H

是

AC

的三等

分点，则四边形

EHFG

的面积为

⁠.2

2.如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F.

延长DC到点E，使CE＝DF，连接OE，BE.

（1）求证：四边形ABEF是矩形；（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

∵CE＝DF，∴CE＋CF＝DF＋CF，即EF＝CD.

∴AB＝EF.

∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AF⊥CD，即∠AFE＝90°，∴▱ABEF是矩形.（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，求OE的长.

类型三

正方形的性质与判定

（2022·邵阳）如图，在菱形ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝

OA.

求证：四边形AECF是正方形.证明：∵

四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD且AC⊥BD.

又∵

BE＝DF，∴

OB－BE＝OD－DF，即

OE＝OF.

∵

OE＝OA，∴OA＝OC＝OE＝OF，且AC＝EF.

∴四边形AECF是矩形.又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形.【点拨】掌握菱形的性质和正方形的判定定理是解题的关键.

1.如图，已知点

E

，

F

分别是正方形

ABCD

的边

CD

，

AD

上的

点，且

CE

＝

DF

.

连接

AE

，

BF

，交于点

O

.

下列结论：①

AE

＝

BF

；②

AE

⊥

BF

；③

S△

AOB

＝

S四边形

DFOE

；④

AO

＝

OE

；⑤∠

AFB

＋∠

AEC

＝180°.其中正确的有

⁠

（填序号）.①②③⑤

2.如图，在菱形ABCD中，已知点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.

（1）求证：△BCE≌△DCF.

（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？

请说明理由.

【点拨】翻折变换中产生的“十字架模型”，常结合勾股定理等知识，利用参数构建方程解决问题.

1.如图，有一个边长为2的正方形

ABCD

，点

M

，

N

分别是

AD

，

BC

边的中点，将点

C

折叠到线段

MN

上，落在点

P

的位

置，折痕为

BQ

，则

MP

的长为

⁠.（第1题图）

2.如图，四边形

OABC

是矩形，点

A

的坐标为（8，0），点

C

的

坐标为（0，4），将矩形

OABC

沿

OB

折叠，点

C

落在点

D

处，

则点

D

的坐标为

⁠.（第2题图）

类型五

特殊平行四边形中的旋转问题

如图，将矩形

ABCD

绕点

C

旋转得到矩形

FECG

，点

E

在

AD

上，延长

ED

交

FG

于点

H

.

（1）求证：△

EDC

≌△

HFE

.

（2）连接

BE

，

CH

.

（2）①解：四边形BEHC是平行四边形.证明如下：如图，连接BE，CH.

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即EH∥BC.

∵△EDC≌△HFE，∴EC＝EH.

∵将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，∴EC＝BC.

∴EH＝BC.

又∵EH∥BC，∴四边形BEHC是平行四边形.②【解析】要使四边形

BEHC

是菱形，

∵将矩形

ABCD

绕点

C

旋转得到矩形

FECG

，

∴△

BCE

是等边三角形.∴∠

EBC

＝60°.∴∠

ABE

＝90°－∠

EBC

＝30°.

1.如图，将矩形

ABCD

绕点

A

按逆时针方向旋转α（0°＜α＜

90°）得到矩形

AB

'

C

'

D

'，此时点

B

'恰好在

DC

边上，连接

BB

'.

若∠

B

'

BC

＝15°，则α的大小为

⁠.（第1题图）30°

（第2题图）（6，4)

类型六

特殊平行四边形中的最值问题

如图，在矩形纸片

ABCD

中，已知

AB

＝8，

BC

＝6，点

E

是

AD

的中点，点

F

是

AB

上一动点.将△

AEF

沿直线

EF

折叠，点

A

落在点

A

'处.在

EF

上任取一点

G

，连接

GC

，

GA

'，

CA

'，则△

CGA

'周长的最小值为

⁠.

【点拨】