2024-2025学年度北师版八上数学-第一章-勾股定理-回顾与思考【课件】

第一章勾股定理回顾与思考数学八年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS

1.

勾股定理.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c

分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

⁠.2.

勾股定理中的面积关系.若将以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积分别记为Sa

，Sb

，以斜边为边长的正方形的面积记为Sc

，则Sa

，Sb

，

Sc

三者之间的关系是

⁠.

a2＋b2＝c2

Sa

＋Sb

＝Sc

3.

勾股定理的逆定理.如果三角形的三边长a，bc满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是

三角形，其中c为斜边长.注意：若c最长，则：当a2＋b2＝c2时，以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形；当a2＋b2＜c2时，以a，b，c为三边长的三角形是钝角三角形；当a2＋b2＞c2时，以a，b，c为三边长的三角形是锐角三角形.直角

4.

勾股数.满足a2＋b2＝c2的三个

，称为勾股数.注意：（1）勾股数应同时满足的三个条件：①都是正数；②都是整数；③a2＋b2＝c2.（2）常见的几组勾股数有：3，4，5；5，12，13；

7，24，25；

8，15，17.勾股数同时扩大若干整数倍后还是勾股数；勾股数同时缩小到原来的若干正整数分之一后不一定是勾股数，但仍满足a2＋b2＝c2，以它们作为边长的三角形

仍是直角三角形.正整数

5.

勾股定理的应用.（1）在运用勾股定理解决实际问题时，要注意仔细审题，找出直角三角形，若没有直角三角形，则要通过作辅助线来构造出直角三角形；（2）求立体图形（主要是圆柱和长方体）表面两点之间的最短路线问题，需要将立体图形上的路线问题转化为平面图形上的路线问题.数学八年级上册BS版02典例讲练

要点一

勾股定理的基本计算

（1）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C

的对边分别是a，b，c.①若a＝40，c＝41，求b；②若a∶b＝3∶4，c＝15，求b；③若c＝50，a＝30，CD⊥AB于点D，求线段CD的长.解：①由勾股定理，得b2＝

c2－a2＝412－402＝81，所以b＝9（负值舍去）.

【点拨】利用勾股定理求直角三角形的边长，一般都要经过“一分，二代，三化简”这三步，即一分：分清哪条边是斜边，哪些边是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2

（假设c是斜边长，a，b是两直角边长）；三化简.（2）在△ABC中，已知AB＝41，AC＝15，高AH＝9，则△

ABC的面积为

⁠.234或126

图1

图2

1.

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，

BC为边长向外作正方形，若正方形ABIH的面积为25，正方形

BDEC的面积为169，则正方形ACFG的面积为

⁠.144

（第1题图）2.

如图，已知四边形ABCD是长方形纸片，翻折∠B，∠D使

BC，AD恰好落在AC上，且点F，H分别是点B，D在AC上的对应点，CE，AG是折痕.若AB＝4

cm，BC＝3

cm，则线段

EF的长为

cm.（第2题图）1.5

要点二

勾股定理的逆定理的应用

如图，在△ABC中，已知点D是边BC的中点，DE⊥BC交

AB于点E，且BE2－EA2＝AC2.（1）试说明：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长.解：（1）如图，连接CE.

因为点D是BC的中点，DE⊥BC，所以CE＝BE.

因为BE2－EA2＝AC2，所以CE2－EA2＝AC2.所以EA2＋AC2＝CE2.所以△ACE是直角三角形，且∠A＝90°.

【点拨】勾股定理的逆定理可用来判定直角三角形，即若△

ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形.而勾股定理常用来求线段长.

已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足：｜c2－a2－b2｜＋

（a－b）

2＝0.请判断△ABC的形状.解：因为｜c2－a2－b2｜＋（a－b）

2＝0，所以c2－a2－b2＝0，且a－b＝0，即a2＋b2＝c2，且a＝b.所以△ABC是等腰直角三角形.要点三

勾股定理的实际应用

（1）为了加快社会经济发展，某市准备在铁路AB沿线修建一个火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行.如图，C城到铁路AB的距离AC＝20

km，D城到铁路AB的距离DB＝60

km，AB＝100

km.经市政府与铁路部门协商，最后确定在与C，D两城距离相等的点E处修建火车站.求AE，BE

的长.解：设AE＝x

km，则BE＝（100－x）km.在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，由勾股定理，得CE2＝AC2＋AE2＝202＋x2.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，由勾股定理，得DE2＝BE2＋BD2＝（100－x）2＋602.因为CE＝DE，所以CE2＝DE2.所以202＋x2＝（100－x）2＋602，解得x＝66.所以AE＝66

km，BE＝100－66＝34（km）.（2）如图，一架长12.5

m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端C的距离为3.5

m.①这架梯子的顶端A距离地面有多高？解：①根据题意，得AB＝12.5

m，BC＝3.5

m.在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝12.52－3.52＝144，所以AC＝12

m（负值舍去）.所以这架梯子的顶端A距离地面有12

m高.②若梯子的顶端沿墙垂直下滑2

m到点E处，则梯子的底部在水

平方向也滑动了2

m吗？②因为AE＝2

m，所以CE＝AC－AE＝12－2＝10（m）.由题意可知，ED＝AB＝12.5

m.在Rt△CDE中，∠C＝90°，由勾股定理，得CD2＝ED2－CE2＝12.52－102＝56.25，所以CD＝7.5

m（负值舍去）.所以BD＝CD－BC＝7.5－3.5＝4（m）.所以梯子的底部在水平方向滑动了4

m，而不是2

m.【点拨】本例是利用勾股定理解决实际问题的典型题目，基本解题思路是，首先根据题意和生活常识建立数学模型（由于墙与地面垂直，必然存在直角三角形），然后利用勾股定理和一些生活常识（如梯子的长度不变）解决问题.

1.

如图1，小莉正在荡秋千，其部分过程的示意图如图2所示.已知当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度DE＝0.5

m，将它往前推送1.5

m（水平距离BC＝1.5

m）时，踏板离地面的垂直高度BF＝1

m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长

是

m.2.5

图1

图22.

如图，某时刻海上点P处有一艘游艇，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距40

n

mile.游艇以每小时60

n

mile的速度沿北偏西60°方向航行0.5

h到达点B处，求点B与灯塔A的距离.解：因为灯塔A位于游艇P的北偏东30°方向，且相距40

n

mile，所以AP＝40

n

mile.因为游艇以每小时60

n

mile的速度沿北偏西60°方向航行0.5

h到达点B处，所以∠APB＝90°，BP＝60×0.5＝30（n

mile）.所以AB2＝

AP2＋

BP2＝402＋302＝2500.所以AB＝50

n

mile（负值舍去）.所以点B与灯塔A的距离为50

n

mile.要点四

勾股定理中的最值问题

（1）葛藤为获得更多的雨露和阳光，常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4

m.若把树干看成圆柱，其底面周长是0.5

m，葛藤盘旋1圈的示意图.如图所示，则这段葛藤的长是

m.

2.6

【解析】因为葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4

m，所以葛藤绕树干盘旋1圈升1.2

m.如图，AC2＝

AB2＋BC2＝0.52＋1.22＝1.69，所以AC＝1.3

m（负值舍去）.所以这段葛藤的长为2×1.3＝2.6（m）.故答案为2.6.【点拨】对于圆柱表面的最短路线问题，常将其侧面展开为长

方形，根据“两点之间，线段最短”，结合勾股定理求解.（2）一个放置雕塑的长方体底座如图所示，AB＝12

m，BC＝2

m，BB'＝3

m.一只蚂蚁从点A出发，以2

cm/s的速度沿长方体表面爬到点C'处至少需要多少分钟？（1）将正面与右面展开，如图1所示（单位：m）.在Rt△ACC'中，由勾股定理，得路线一：AC'2＝AC2＋CC'2＝142＋32＝205；解：2

cm/s＝0.02

m/s.图1图2（2）将左面与上面展开，如图2所示（单位：m）.在Rt△ADC'中，由勾股定理，得路线二：AC'2＝AD2＋C'D2＝22＋152＝229；（3）将正面与上面展开，如图3所示（单位：m）.在Rt△ABC'中，由勾股定理，得

图3【点拨】对于长方体表面的最短路线问题，基本方法是把表面展开，将立体图形路线问题转化为平面图形路线问题.需要注意的是，若没有明确路线通过的表面，则需要分类讨论来确定最短路线.

1.

如图，已知圆柱底面的周长为12

cm，圆柱的高为