江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何6.1空间向量及其运算6.1.2空间向量的数量积分层作业苏教版选择性必修第二册

6.1.2空间向量的数量积基础达标练1.(2024徐州月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)的值为()A.2 B.1C.-1 D.02.在正四面体ABCD中,E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为()A.30° B.60°C.120° D.150°3.在正四面体PABC中,棱长为2,且E是棱AB的中点,则·的值为()A.-1 B.1C. D.4.若平行六面体ABCD-A1B1C1D1的全部棱长都为1,且∠A1AD=∠A1AB=60°,∠DAB=45°,则BD1的长等于()A. B.-1C. D.-5.(多选题)如图所示,已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2· B.2·C.2· D.2·6.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1+e2在向量e1上的投影向量为.

7.如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.实力提升练8.假如空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么()A.·<·B.·=·C.·>·D.·与·的大小不能比较9.如图,在△ABC中,O为BC的中点,若AB=1,AC=3,与的夹角为60°,则||=()A. B. C.13 D.10.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()A. B.C.1 D.11.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是()A.(++)2=3B.·(-)=0C.与的夹角为60°D.正方体的体积为|··|12.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M是线段A1C1上的动点,则下列结论正确的有()A.异面直线AM,BD所成的角为B.异面直线CM,AB所成的角可为C.异面直线CM,BD所成的角为D.异面直线CM,B1B所成的角可为13.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则<a,b>=.

14.如图,已知在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC=.

15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点,试计算:(1)·;(2)·.拓展探究练16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是.

17.如图所示,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<,>.6.1.2空间向量的数量积1.D由题意可知a⊥b,a⊥c,因此a·(b+c)=a·b+a·c=0.故选D.2.C由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.故选C.3.A如图,PABC为正四面体,则∠APC=∠BPC=∠APB=60°.因为E是棱AB的中点,所以=(+),=-,所以·=(+)·(-)=·+·-·-=×2×2×cos60°-×22=1-2=-1.故选A.4.C如图,因为=-=-+,所以||2=|-+|2=||2+||2+||2-2·-2·+2·=1+1+1-2×1×1×cos45°-2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°=3-,所以||=.故选C.5.BC2·=2a2cos120°=-a2,2·=2·=2a2cos60°=a2,2·=·=a2,2·=·=-·=-a2.故选BC.6.e1∵(e1+e2)·e1=+e1·e2=1+1×1×=,∴向量e1+e2在向量e1上的投影向量为·=e1.7.解因为CA⊥AB,BD⊥AB,二面角的度数为60°,所以<,>=120°.因为=++,且·=0,·=0,所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=||2+||2+||2+2||||cos<,>=62+42+82+2×6×8×-=68,所以||=2,故CD的长为2.8.C因为·=(+)·(-)=(||2-||2)=0,·=(+)·=·+·=·(-)+·=||||cos120°-||||cos120°+||||·cos120°<0,所以·>·.故选C.9.B·=||||cos60°=1×3×=.因为=(+),所以=(+)2=(+2·+),即=×(1+3+9)=,所以||=.10.D∵=++,∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-.故||=.11.AB如图所示,(++)2=(++)2==3,故A正确;·(-)=·=·=0,故B正确;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C错误;正方体的体积为||||||,故D错误.12.ABC设正方体的棱长为1,且C1M=λC1A1(0≤λ≤1),则·=(+)·=·+(1-λ)··=0,∴A正确;∵·=(+)·=·+λ·=-λ,∴cos<,>==,∴异面直线CM,AB所成角的余弦值为,又=(0≤λ≤1)有解,∴B正确;·=(+)·=·+λ·=0,∴C正确;∵B1B∥C1C,∴CM与B1B所成的角等于CM与C1C所成的角,该角小于,∴D不正确.故选ABC.13.60°由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减得46a·b=23|b|2,所以a·b=|b|2,代入上面两个式子中的随意一个,得|a|=|b|,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=60°.14.7||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+32+2×4×3cos120°=49,所以||=7.15.解(1)如图,取AB的中点H,连接EH,DH,易知EH⊥平面ABCD.又DD1⊥平面ABCD,所以向量在平面ABCD上的投影向量为,所以·=·===16.(2)向量在平面ABB1A1上的投影向量为.因为BA1⊥AB1,所以·=·=0.16.[0,1]依题意,设=λ,其中λ∈[0,1],·=·(+)=·(+λ)=+λ·=1+λ×1××-=1-λ∈[0,1].因此·的取值范围是[0,1].17.(1)证明设=a,=b,=c,且正四面体的棱长为1,有|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c.则=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c),∴·=(b+c-5a)·(a+c-5b