2025版新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦正切第1课时两角和与差的正弦课时作业新人教B版必修第三册

第1课时两角和与差的正弦必备学问基础练进阶训练第一层1.eq\f(sin（α＋30°）－sin（α－30°）,cosα)的值为()A．1B．2C．3D．42．sin110°cos40°＋cos70°sin220°＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)3．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的最大值是()A．eq\f(\r(3),2)B．1C．eq\r(3)D．24．已知角α的终边经过点(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝________．5．(多选)关于函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，下列说法正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)在(－eq\f(π,6)，eq\f(π,6))上单调递增C．f(x)的最大值为2D．当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，则cosθ＝eq\f(\r(3),2)6．已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10)，sinα＝eq\f(4,5)，则β的值为________．关键实力综合练进阶训练其次层7．(逻辑推理命题)在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形态肯定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形8．在△ABC中，A＝15°，则eq\r(3)sinA－cos(B＋C)的值为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．29．已知α为锐角且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))的值为()A．eq\f(\r(2),10)B．eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D．－eq\f(7\r(2),10)10．函数y＝2sin(eq\f(π,3)－x)－cos(eq\f(π,6)＋x)(x∈R)的最小值为()A．－3B．－2C．－1D．－eq\r(5)11．已知f(x)＝sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(π,3))－eq\r(3)cos(eq\f(π,3)x＋eq\f(π,3))，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)的值为()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．1D．012．(多选)若f(x)＝sin(3x＋θ)－cos(3x＋θ)是奇函数，则θ的值可以是()A．eq\f(π,4)B．πC．eq\f(4π,3)D．eq\f(5π,4)13．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(4,5)，β是第三象限角，求sin(β＋eq\f(π,4))的值．14．已知函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x.(1)求函数y＝f(x)的周期；(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．核心素养升级练进阶训练第三层15.已知向量a＝(sinx，cosx－1)，b＝(eq\r(3)，－1)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象的对称中心；(2)已知α为锐角，β∈(0，π)，f(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(13,5)，sin(α＋β)＝－eq\f(12,13)，求sin(2α＋β)的值．第1课时两角和与差的正弦必备学问基础练1．答案：A解析：原式＝eq\f(sinαcos30°＋cosαsin30°－sinαcos30°＋cosαsin30°,cosα)＝eq\f(2cosαsin30°,cosα)＝2sin30°＝1.2．答案：A解析：因为sin110°＝sin(180°－70°)＝sin70°，sin220°＝sin(180°＋40°)＝－sin40°，所以sin110°cos40°＋cos70°sin220°＝sin70°cos40°－cos70°sin40°＝sin(70°－40°)＝sin30°＝eq\f(1,2).故选A.3．答案：C解析：f(x)＝sinx·coseq\f(π,6)－cosx·sineq\f(π,6)＋cosx·coseq\f(π,3)＋sinx·sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，∵－1≤sinx≤1，∴函数f(x)的最大值是eq\r(3).故选C.4．答案：eq\f(\r(3),2)解析：由题设，sinα＝eq\f(1,2)，cosα＝－eq\f(\r(3),2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)sinα－eq\f(1,2)cosα＝eq\f(\r(3),2).5．答案：BCD解析：函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2(sinx·eq\f(1,2)＋cosx·eq\f(\r(3),2))＝2(sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3))＝2sin(x＋eq\f(π,3))，明显，f(x)不是偶函数，A不正确；由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)在(－eq\f(5π,6)＋2kπ，eq\f(π,6)＋2kπ)，k∈Z，上单调递增，从而f(x)在(－eq\f(π,6)，eq\f(π,6))上单调递增，B正确；函数f(x)的最大值为2，C正确；当f(x)取得最大值时，x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ，x＝eq\f(π,6)＋2kπ＝θ，k∈Z，所以cosθ＝eq\f(\r(3),2)，D正确．故选BCD.6．答案：eq\f(3π,4)解析：∵0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).又0<α<eq\f(π,2)<β<π，∴0<β－α<π.又cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10)，∴sin(β－α)＝eq\f(7\r(2),10)，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)·sinα＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),10)×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),2).由eq\f(π,2)<β<π，得β＝eq\f(3π,4).关键实力综合练7．答案：C解析：∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ(k∈Z).又∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，∴A＝B，故选C.8．答案：C解析：eq\r(3)sinA－cos(B＋C)＝eq\r(3)sinA＋cosA＝2sin(A＋30°)＝2sin45°＝eq\r(2)，故选C项．9．答案：C解析：α为锐角，故eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，而coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))]＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,5)＝－eq\f(\r(2),10).故选C.10．答案：C解析：y＝2sin(eq\f(π,3)－x)－cos(eq\f(π,6)＋x)＝2sineq\f(π,3)cosx－2coseq\f(π,3)sinx－coseq\f(π,6)cosx＋sineq\f(π,6)sinx＝eq\r(3)cosx－sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx＝cos(x＋eq\f(π,6))，∵x∈R，∴函数的最小值为－1.11．答案：D解析：f(x)＝sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(π,3))－eq\r(3)cos(eq\f(π,3)x＋eq\f(π,3))＝2sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(π,3)－eq\f(π,3))＝2sineq\f(π,3)x，则函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.又因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝2sineq\f(π,3)＋2sineq\f(2π,3)＋2sineq\f(3π,3)＋2sineq\f(4π,3)＋2sineq\f(5π,3)＋2sineq\f(6π,3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)]×337＝0.12．答案：AD解析：∵f(x)＝sin(3x＋θ)－cos(3x＋θ)＝eq\r(2)sin(3x＋θ－eq\f(π,4))是奇函数，∴f(0)＝0，θ－eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，∴θ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，当k＝0时，θ＝eq\f(π,4)；当k＝1时，θ＝eq\f(5π,4)，故选AD.13．解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝eq\f(4,5)，∴sinβ＝－eq\f(4,5)，又β是第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(3,5)，∴sin(β＋eq\f(π,4))＝sinβcoseq\f(π,4)＋cosβsineq\f(π,4)＝(－eq\f(4,5))×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).14．解析：(1)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2(eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))故函数y＝f(x)的周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以f(x)单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z).核心素养升级练15．解析：由题意得f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinx－cosx＋1＝2sin(x－eq\f(π,6))＋1.(1)f(x)的最小正周期T＝2π，令x－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，又f(kπ＋eq\f(π,6))＝2sinkπ＋1＝1(k∈Z)，因此函数f(x)的图象的对称中心为(kπ＋eq\f(π,6)，1)，k∈Z.(2)由f(α＋eq\f(π,6))＝2sin(α＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))＋1＝2sinα＋1＝eq\f(13,5)，得si