广东省广州市2024-2025学年高三数学上学期第二次阶段考试试题

Page19广东省广州市2024-2025学年高三数学上学期其次次阶段考试试题第一部分选择题（共60分）一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由补集、交集的概念运算【详解】，则．故选：B2.如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用随意角的三角函数定义写出两点的坐标，再求向量数量积即可【详解】由图可知，所以，故选：A.3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据三角函数的基本关系式，求得的值，再由，结合两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由，可得，因为，，可得，，所以.故选：A.4.下列函数中，其图象与函数的图象关于y＝－x对称的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将函数中的变为，变为，整理可得答案.【详解】将函数中的变为，变为得整理得，即图象与函数的图象关于y＝－x对称的是故选：D.5.已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，依据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，由，当时，，故选：B.6.若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，依据导数几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求的范围即可.【详解】设切点为，的导函数为，可得切线的斜率，由切线经过点，可得，化简可得①，由题意可得方程①有两解，设，可得，当时，，所以在上递减，当时，，所以在上递增，可得在处取得最大值，如图所示，所以，解得.故选：A.7.已知函数的图象关于对称，且，则的值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为，其中，，由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，所以，即，所以，故选：C.8.设，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而推断出即可.【详解】法一：若，令在上单调递增，，即，比较与的大小，先比较与若令时单调递减，.法二：秒杀另一方面由时，，.故选：B二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.的最小值为6 D.若与的夹角为锐角，则【答案】BC【解析】【分析】由平面对量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可推断和选择.【详解】A：若，故可得，解得或，故A错误；B：当时，，此时，则，故B正确；C：，故，当时，取得最小值，故C正确；D：若与的夹角为锐角，则，解得；当与共线时，，解得，故，故D错误；综上所述，正确的选项是：.故选：BC.10.为了得到函数的图象，可将函数的图象（）A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C.向下平移两个单位长度 D.向上平移两个单位长度【答案】BD【解析】【分析】，可通过平移，也可通过伸缩得到.【详解】,可将函数的图象向上平移两个单位长度得到，也可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到.故选：BD11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若a>b，则B.c＝10，a＝12，∠A＝60°，则有唯一解C.若a，b，c成等比数列，的取值范围为D.若，则△ABC为锐角三角形【答案】ABC【解析】【分析】A选项利用三角形中大边对大角即可推断出.B，D选项利用正余弦定理可推断.C选项，由a，b，c成等比数列，用等比中项的性质，再结合三角形边的性质，两边之和大于第三边列不等式组即可.【详解】对于A：a>b可知A>B，由余弦函数单调性可知故A正确；对于B，在中，c＝10，a＝12，，得，所以△ABC有唯一解，故B正确；对于C，∵a，b，c成等比数列，设，q>0，则b＝aq，，∴，∴，∴，故C正确；对于D，若，则，故，由正弦定理得：，由余弦定理得，则，C为锐角，另外两个角不能确定为锐角还钝角，故D错误；故选：ABC12.已知数列满意，，记数列的前n项和为，对恒成立，则下列说法正确的有（）A.若，则数列为递减数列B.若，则数列为递增数列C.若a＝3，则的可能取值为D.若a＝3，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，取特别状况，可得答案；对于B，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；对于C、D，同B，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.【详解】对于A，令，解得，即数列的不动点为2，所以当a＝2时，，此时为常数列，A错误；对于B，作出函数与函数y＝x的图像如图：由图可知B正确；对于C，作出函数与函数y＝x的图像如图：由图可知：，∴，∴，即，又∵，∴，一方面，由得，∴，，∴∵，且当n→＋∞，，∴，∵，∴另一方面，由，，得，，又∵，，，且，∴，所以CD正确.故选：BCD.其次部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针针尖的坐标为P（x，y），若秒针针尖的初始坐标为当秒针由点P0的位置（此时t＝0）起先走时，点P的纵坐标y与时间t（单位：秒）的函数关系为______.【答案】，【解析】【分析】确定对应的角度，再依据点在单位圆上，写出函数的解析式.【详解】由题意，半径，函数的周期，所以时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角度为，以轴正半轴为始边，所在射线为终边，得对应的角度为，秒针是顺时针，则对应的角度为，所以时刻的纵坐标，.故答案为：，.14.等差数列前项和为，，则___________.【答案】【解析】【分析】由结合等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式可求得结果【详解】，即故答案为：5215.计算：_______.【答案】【解析】【分析】把化为，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，运用协助角公式，最终化简求值.【详解】原式【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、协助角公式.16.用数学的眼光看世界就能发觉许多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.【答案】①②.1【解析】【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.【详解】（1）由题意得，，则，，则.（2）由题意得，，，∴，令，则，令，则，明显当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.故答案为：，1.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）依据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】由，故由正弦定理知：，所以.因为，所以A为锐角，故；【小问2详解】由（1）及余弦定理知：，故，故.由，所以，所以的面积.18.已知等比数列的前n项和为（b为常数）．（1）求b的值和数列的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再依据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；【小问1详解】解：由题设，明显等比数列的公比不为1，若的首项、公比分别为、，则，∴且，所以，故的通项公式为．当时，；【小问2详解】解：令，，解得，所以数列在中的项的个数为，则，所以，∵，①∵②两式相减得∴．∴19.如图，三棱台ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.（1）求证：AB⊥CF；（2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)延长AD、BE、CF交于点P，由平面ABED⊥平面ACFD推导出CP⊥平面ABED，进而可得出CP⊥AB；(2)设DF＝a，可得出，，过点P作PM⊥BC于点M，计算出点到平面ABC的距离，即可求得直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【小问1详解】证明：延长AD、BE、CF交于点P，∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.【小问2详解】由AC＝2AB＝2DF，可知D为PA的中点，设AB＝DF＝a，则，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，过点P作PM⊥BC于点M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D为PA的中点，∴D到平面ABC的距离，∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.20.已知函数（，）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为．求：（1）函数的解析式；（2）若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．【答案】（1）选择条件①③得；（2）【解析】【分析】（1）由题知，进而结合已知条件选择①③能确定函数解析式，再求解即可；（2）结合函数平移变换得，进而依据题意得，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：，当选条件②，的一条对称轴是直线时，，即，明显不成立，条件①③能确定函数解析式，因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为所以，，解得，，所以，【小问2详解】解：依据题意得，因为，所以，因为在区间上的最小值为所以，，解得.所以，的最大值为.21.已知函数是偶函数.（I）证明：对随意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（II）若方程有且只有一个解，求实数的取值范围.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）先利用偶函数的定义结合对数的运算性质求出的值，然后利用定义法证明函数在上单调递增，即可证明出所证结论；（II）由，得出，令，将问题转化为关于的方程有且只有一个正根，然后分三种状况探讨：①；②，；③，方程有一个正根一个负根.分析这三种状况，可求出实数的取值范围.【详解】（I）由函数是偶函数可得：，，，即对一切恒成立，.由题意可知，只要证明函数在定义域上为单调函数即可.任取、且，则，，，，即，.函数在上为单调增函数.对随意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（II）若方程有且只有一解，也就是方程有且只有一个实根.令，问题转化为方程：有且只有一个正根.（1）若，则，不合题意；（2）若时，由或，当时，不合题意；当时，；（3）若时，，若方程一个正根与一个负根时，则.综上：实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题，涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题，解题时要留意将这些学问点进行等价转化处理，属于中等题.22.已知函数(为正有理数)．（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】（1）的增区间为，减区间为，（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由于在单调递减，所以，令，所以只要证即可，而，所以只要证明：当时，，而，所以令，然后利用导数求的最大值小于等于零即可.【小问1详解】函数的定义域为．（为正有理数)，当时，，，所以；当时，，，所以，所以在上单调递增