2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。1.下列情况适合用抽样调查的是(

)A.调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B.调查某批次汽车的抗撞击能力

C.调查某班学生的身高情况 D.学校招聘，对应聘人员进行面试2.已知事件A,B,C的概率均不为0，则PA=PB的充要条件是A.PA∪B=PA+PB B.PA∪C3.下列命题正确的是A.一条直线和一点确定一个平面 B.两条相交直线确定一个平面

C.四点确定一个平面 D.三条平行直线确定一个平面4.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70)

频数

2

3

4

5

4

2则样本数据落在区间[10,40)的频率为(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.655.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为p1，“向上的点数之和大于5”的概率记为p2，“向上的点数之和为偶数”的概率记为p3，则A.p1<p2<p3 B.6.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64(单位：cm)，则(

)A.铁棍的长度的极差为0.04cm B.铁棍的长度的众数为3.62cm

C.铁棍的长度的中位数为3.625cm D.铁棍的长度的第80百分位数为3.63cm7.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m//α，n//β，α//β.则m/​/n；②若α//γ，β//γ，则α/​/β；③若m⊥α，n⊥β，α/​/β，则m/​/n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β．其中正确命题的序号是(

)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④8.袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为(

)A.15 B.25 C.359.如图，在正四棱锥S−ABCD中，E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，当点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP//BD；③EP//平面SBD；④EP⊥平面SAC．其中恒成立的为(

)A.①③ B.③④ C.①② D.②③④二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.某中学高一年级有550名学生，高二年级有500名学生，高三年级有450名学生．用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了18人，则从高二年级应抽取的学生人数为

11.某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为

12.若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为

．13.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB14.从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是5的倍数的概率为

这个两位数是偶数的概率为

15.如图，在一个60°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，若AB=AC=1，BD=2，则CD的长为

三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.85(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值且估计甲离子残留百分比的中位数；(2)从A组小鼠和B组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．17.甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是35，乙答对每道题目的概率都是12.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第(Ⅰ)求甲第二次答题通过面试的概率；(Ⅱ)求乙最终通过面试的概率；(Ⅲ)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E，F分别是棱AD，PC的中点．

(Ⅰ)证明：EF/​/平面PAB；

(Ⅱ)若二面角P−AD−B为60°，

(i)证明：平面PBC⊥平面ABCD；

(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.C

6.ABC

7.C

8.B

9.A

10.20

11.两次都中靶

12.2

13.1514.925或0.36；132515.2

16.(1)

由频率分布直方图可得：0.05+b=1−0.85且0.15+a+0.2+0.15=0.85，

解得a=0.35,b=0.1，

甲离子残留百分比的中位数为3.5+4.5−3.5(2)A组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.15，

B组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，

所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为0.15×0.7=0.105．17.(Ⅰ)设甲第二次答题通过面试为事件A，则PA(Ⅱ)设乙最终通过面试为事件B，对立事件为乙最终没通过面试，∵PB∴PB(Ⅲ)设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，∵PC∴PC18.(Ⅰ)证明：连接AC，AC∩BD=H，

∵底面ABCD是平行四边形，

∴H为BD中点，

∵E是棱AD的中点．

∴在△ABD中，EH/​/AB，

又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAB，

∴EH/​/平面PAB．

同理可证，FH/​/平面PAB．

又∵EH∩FH=H，EH，FH⊂面EFH，

∴平面EFH/​/平面PAB，

∵EF⊂平面EFH，

∴EF/​/平面PAB；

(Ⅱ)证明：(i)如图，连接PE，BE．

∵BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，

∴BE=1，PE=2．

又∵E为AD的中点，

∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB即为二面角P−AD−B的平面角，

即∠PEB=60°，∴PB=3．

∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，

∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，

而AB∩BD=B，且AB，BD⊂平面ABCD，

∴PB⊥平面ABCD，

∵PB⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面ABCD；

(ii)解：由(i)知，PB⊥BD，PB⊥BA，

∵BA=BD=2，AD=2，

∴BD⊥BA，

∴BD，BA，BP两两垂直，

以B为坐标原点，分别以BD