2025版新教材高中数学同步练习15余弦定理正弦定理应用举例新人教A版必修第二册

同步练习15余弦定理、正弦定理应用举例必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．从地面上视察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为()A．α＋βB．α－βC．β－αD．α2．如图，在救灾现场，搜救人员从A处动身沿正北方向行进x米到达B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，假如C处恰好在A处的北偏东60°方向上，那么x＝()A．10eq\r(2)米B．10eq\r(3)米C．10米D．10eq\r(6)米3．如图，有一位于A处的观测站，某时刻发觉其北偏东45°，且与A相距20eq\r(3)海里的B处有一货船，正以40海里/小时的速度，向南偏西15°匀速直线行驶，30分钟后到达C处，则此时该船与观测站A的距离AC为()A．20eq\r(3)海里B．20eq\r(2)海里C．20海里D．15eq\r(2)海里4．如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它接着沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4eq\r(2)海里，则此船的航行速度是()A．16海里/小时B．15海里/小时C．9eq\r(3)海里/小时D．10eq\r(2)海里/小时5．一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示．随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB＝()A．eq\f(2,3)sin70°B．eq\f(2,3)sin75°C．eq\f(3,2)cos70°D．eq\f(\r(3),3)6．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若AC＝40eq\r(2)米，BC＝80eq\r(3)米，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，∠MCN＝120°，则塔尖MN之间的距离为()A．80米B．120米C．80eq\r(5)米D．80eq\r(7)米7．[2024·河南焦作高一期中]如图是位于河南省焦作市的“腾飞”铜马雕塑，建于1985年，寓意焦作人民奋勉昂扬的精神风貌．某同学为测量雕塑的高度CD，选取了与雕塑底部在同一条水平直线上的点A，B，并测得∠DAC＝30°，∠DBC＝75°，AB＝19米，则雕塑的高度CD为()参考数据：sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).A．eq\f(19（\r(6)＋\r(2)）,4)米B．eq\f(19（\r(6)＋\r(2)）,2)米C．eq\f(19（\r(3)＋1）,4)米D．eq\f(19（\r(3)＋1）,2)米8．(多选)如图所示，在坡度肯定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则下列说法正确的是()A．cosθ＝eq\r(3)－1B．cosθ＝eq\r(2)－1C．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100eq\r(2)米D．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100米9．(多选)[2024·河南洛阳高一期中]一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12eq\r(3)海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6eq\r(6)海里，该轮船从A处沿正北方向接着航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，下面结论正确的有()A．AD＝12eq\r(2)海里B．CD＝6eq\r(2)海里C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．灯塔C在D的南偏西60°方向上二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·江西赣州高一期中]已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图).若A船的航行速度为30nmile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________nmile.11．如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，测量者小张在岸边点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小张沿河岸向前走了200米到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________米．12．如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点干脆沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.三、解答题(共20分)13．(10分)如图，一辆汽车在水平的马路上向正西直线行驶，到A处时测得马路北侧远处一山顶D(D在水平面上的射影为点C)在西偏北30°的方向上，仰角为30°，行驶1km后到达B处，测得山顶在西偏北45°的方向上．求此山的高度(单位km，精确到0.01km).14．(10分)[2024·河南郑州高一期中]如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现安排沿直线AC开挖一条穿山隧道DE，经测量AD＝150m，BE＝33m，BC＝100m.(1)求PB的长；(2)求隧道DE的长．(结果精确到1m，附：eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236)关键实力提升练15.(5分)[2024·河北石家庄一中高一期中]2024年3月25日，石家庄市第一中学科研综合楼建筑工地中的基坑已基本竣工，“基坑”是在基础设计位置按基底标高和基础平面尺寸所开挖的土坑．如图，某同学为测量深9m基坑中塔吊的高度MN，在塔吊的正北方向为星华楼，其高AB约为17m，在地面上点C处(B，C，D三点位于地平线处)测得星华楼顶部A、塔吊顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得塔吊顶部M的仰角为15°，则塔吊的高度MN约为()A．34mB．43mC．52mD．74m16．(5分)[2024·河南安阳高一期末]某民航客机从机场起飞，以600eq\r(2)km/h的速度在同一水平高度向正东方向飞行，地勤人员在地面第一次视察到飞机在北偏西60°方向，1分钟后其次次视察到飞机在北偏东75°方向，仰角为30°，则飞机飞行的高度为________km.17．(10分)[2024·河北承德高一期中]如图是某旅游景区中的网红景点的路途图，景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲动身2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，索道AB长为1040m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求山路AC的长；(2)乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？同步练习15余弦定理、正弦定理应用举例必备学问基础练1．答案：C解析：如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.2．答案：D解析：依题意得C＝180°－A－B＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以eq\f(30,\f(\r(3),2))＝eq\f(x,\f(\r(2),2))，x＝10eq\r(6)(米).故选D.3．答案：C解析：由题意可知，AB＝20eq\r(3)，BC＝40×0.5＝20，∠ABC＝45°－15°＝30°，则在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC＝1200＋400－2×20eq\r(3)×20×cos30°＝400，所以AC＝20.故选C.4．答案：A解析：由图可知BS＝4eq\r(2)，∠ASB＝75°－30°＝45°，则eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(4\r(2),sin30°)，得AB＝8，所以该船的航行速度为AB÷eq\f(1,2)＝16(海里/小时).故选A.5．答案：A解析：由题意可知，∠ABC＝45°＋25°＝70°，AB＝20海里，由正弦定理可得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，代入数据得sin∠ACB＝eq\f(2,3)sin70°.故选A.6．答案：D解析：MC＝eq\f(40\r(2),cos45°)＝80，NC＝eq\f(80\r(3),cos30°)＝160，在三角形MCN中，由余弦定理得：MN＝eq\r(802＋1602－2×80×160×cos120°)＝eq\r(802＋1602＋80×160)＝80eq\r(7)米．故选D.7．答案：C解析：设CD＝h，在△DCB中，DB＝eq\f(h,sin75°)，在△DBA中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAC)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(h,sin75°·sin30°)＝eq\f(19,sin45°)，所以h＝eq\f(19sin75°·sin30°,sin45°)＝eq\f(19（\r(3)＋1）,4)，故选C.8．答案：AC解析：∵∠CBD＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝30°，在△ABC中，由正弦定理得BC＝eq\f(100sin15°,sin30°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(50（\r(6)－\r(2)）,sin∠BDC)＝eq\f(50,sin45°)，∴sin∠BDC＝eq\r(3)－1，即sin(θ＋90°)＝eq\r(3)－1，∴cosθ＝eq\r(3)－1，故A正确，B错误；在△ABC中，∠ABC＝135°，由正弦定理得：eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)⇒AC＝eq\f(100×sin135°,sin30°)＝eq\f(100×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝100eq\r(2)，故C正确，D错误．故选AC.9．答案：ABD解析：由题设，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，∠DAC＝30°，AB＝12eq\r(3)，AC＝6eq\r(6)，则B＝45°，所以eq\f(AD,sin∠B)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，则AD＝eq\f(ABsin∠B,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(3)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝12eq\r(2)海里，A正确；所以CD＝eq\r(AC2＋AD2－2AC·ADcos∠DAC)＝eq\r(504－432)＝6eq\r(2)海里，B正确；由AC2＋CD2＝AD2，则AC⊥CD，故∠CDA＝60°，灯塔C在D的南偏西60°方向上，C错误，D正确．故选ABD.10．答案：15eq\r(2)解析：由题意得，∠BCA＝30°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AC＝30×1＝30，由正弦定理eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，解得AB＝15eq\r(2).11．答案：100eq\r(2)解析：由题设，在△ACM中∠ACM＝45°，∴由正弦定理有：eq\f(AM,sin45°)＝eq\f(AC,sin120°)，又tan30°＝eq\f(CD,AC)，∴CD＝eq\f(AMsin120°tan30°,sin45°)＝eq\f(200×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),3),\f(\r(2),2))＝100eq\r(2)米．12．答案：北偏东40°10eq\r(3)解析：由题意得：∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－200×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝300，故AC＝10eq\r(3).13．解析：设此山高h(km)，则AC＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，在△ABC中，∠ABC＝135°，∠BCA＝45°－30°＝15°，依据正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(\r(3)h,sin135°)＝eq\f(1,sin15°)，解得h＝1＋eq\f(\r(3),3)≈1.58(km).所以山的高度为1.58(km).14．解析：(1)由题意，β＝60°，γ＝45°，所以∠BCP＝45°，∠BPC＝15°，BC＝100，sin15°＝sin(60°－45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，所以eq\f(BC,sin∠BPC)＝eq\f(PB,sin∠BCP)，即eq\f(100,sin15°)＝eq\f(PB,sin45°)，解得PB＝eq\f(50\r(2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝100(1＋eq\r(3))≈273m.(2)因为α＝30°，β＝60°，所以∠A＝30°，∠APB＝90°，又由(1)知PB＝100(1＋eq\r(3))，所以在Rt△APB中，PB＝ABsinA＝eq\f(1,2)AB，即AB＝2PB＝200(1＋eq\r(3))≈546，所以DE＝AB－AD－BE＝546－150－33＝363m．关键实力提升练15．答案：B解析：由题意，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝17，则AC＝34，在△ACM中，∠ACM＝105°，∠CAM＝45°，则∠AMC＝30°，因为eq\f(AC,sin∠AMC)＝eq\f(MC,sin∠CAM)，所以MC＝eq\f(34×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝34eq\r(2)，在Rt△MCD中，∠MCD＝45°，则MD＝MC·sin∠MCD＝34eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝34，所以MN＝MD＋DN＝43m．故选B.16．答案：eq\f(10\r(3),3)解析：如图，设点C为地勤人员的位置，点A，B分别是两次观测飞机的位置，E，F是飞机在地面上的射影，过点C作CD⊥EF，垂足为D，由题意知AB＝eq\f(600\r(2),60)＝10eq\r(2)，EF＝AB＝10eq\r(2)，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＝75°，∠FCB＝30°，∴∠ECF＝60°＋75°＝135°，∠CED＝90°－60°＝30°.由正弦定理eq\f(EF,sin∠ECF)＝eq\f(CF,sin∠