第一章+预备知识-第三章+指数运算与指数函数单元测试卷 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第=page11页，共=sectionpages11页北师大版（2019）必修第一册《第一章预备知识—第三章指数运算与指数函数》单元测试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数在上是减函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是(

)A. B.

C. D.2.已知函数，若，且，则(

)A.， B.，

C.， D.，3.命题“，”的否定为(

)A.， B.，

C.， D.，4.设，则下列说法一定正确的是(

)A. B. C. D.5.设且，则“函数在R上是减函数”，是“函数在R上是增函数”的条件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要6.已知函数，若，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共5小题，共25分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。7.已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是(

)A.若，，则 B.若，则

C.若，，则 D.若，8.下列命题中正确的结论的为(

)A.的结果为

B.若，则

C.若，那么等于8

D.设，，则9.下列命题，其中正确的命题是(

)A.函数的定义域为，则函数的定义域是

B.函数在上是减函数

C.若函数且，满足，则的单调递减区间是

D.函数在内单调递增，则a的取值范围是10.已知函数，则下列结论正确的有(

)A.存在实数a，b，使得函数为奇函数

B.若函数的图象经过原点，且无限逼近直线，则

C.若函数在区间上单调递减，则

D.时，若对，函数恒成立，则b的取值范围为11.已知函数是幂函数，对任意，，且，满足若a，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有(

)A.， B.，

C.， D.，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数且的图象恒过定点P，则点P的坐标为______.13.若实数x，y，a，b均大于0，且，则的最小值为______.14.已知函数，若在R上单调递减，则实数a的取值范围为______.四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题12分

已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.

求函数的解析式；

若正数a，b满足，求的最小值.16.本小题12分

已知函数是R上的偶函数，且当时，函数的解析式为

求当时，函数的解析式；

设函数在上的最小值为，求的表达式．17.本小题12分

已知，函数是定义在R上的偶函数，

求a，判断函数的单调性并用定义证明；

若对任意的，总是存在使得不等式成立，求b的范围．18.本小题12分

定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

证明在上是有界函数；

若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：函数在上是增函数，

又函数为偶函数，可得的图象关于直线对称，

可得函数在上为减函数，

所以

故选：

由函数在上为增函数，且函数为偶函数，得出的图象关于直线对称，函数在上的单调性，可得到结论．

本题考查函数的单调性和函数的奇偶性问题，解题时应注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，是中档题．2.【答案】D

【解析】解：由，得，则在R上单调递增，

，且，

，

故选：

利用导数可得在R上单调递增，结合，且，即可得到，，则答案可求．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的应用，是基础题．3.【答案】B

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”的否定：，

故选：

直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】B

【解析】【分析】

根据指数函数和幂函数的性质判断大小即可．

本题考查了指数函数和幂函数的性质，考查指数幂的大小比较，是一道基础题．【解答】

解：依题意有：，由指数函数在R上单调递减可得：，

由幂函数在上单调递增可得：，于是：，

同理可得：，对于和而言，无法比较大小，反例如下：

当，时，；当，时，；当，时，

故选：5.【答案】A

【解析】解：且，则“函数在R上是减函数”，所以，

“函数在R上是增函数”所以；

显然且，则“函数在R上是减函数”，

是“函数在R上是增函数”的充分不必要条件．

故选：

根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，考查指数不等式的解法，属于基础题．

由已知求得，进一步得到，代入，求解指数不等式得答案．【解答】

解：，，

，

得，即

实数a的取值范围是

故答案选：7.【答案】AD

【解析】解：对于A，，

，

又，

，故A正确，

对于B，当时，则，故B错误，

对于C，若，，取，，，，则，故C错误，

对于D，若，，当且仅当时等号成立，故D正确．

故选：

根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．

本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．8.【答案】BCD

【解析】解：对于A：，故A错误；

对于B：若，则，则，则，故B正确；

对于C：令，则，则，，所以，所以，故C正确；

对于D：设，，则，故D正确．

故选：

根据指数幂的运算性质判断AB，利用换元法求出函数的解析式，判断C，根据集合的关系判断

本题考查了指数幂的运算函数，函数的解析式的求法，集合与集合的关系，属于基础题．9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及到了复合函数单调性，函数定义域问题，属于中档题．

对A，由，可求出定义域；对B，根据幂函数的图象与性质即可判断；

对C，先求出，再求出的单调递增区间即可；对D，满足在内单调递增即可．【解答】

解：因为的定义域为，

要使函数有意义，则，

解得且，

即函数的定义域是，故A正确；

对于B，分别在，上是减函数，故B错误；

对C，，解得或舍，

所以，

因为的单调递增区间为

所以的单调递减区间是故C正确；

对D，的对称轴为，开口向下，

要使在内单调递增，

则，

解得，故D正确；

故选10.【答案】ABC

【解析】解：对于A，当时，，，此时为奇函数，故选项A正确；

对于B，为偶函数，在区间上为减函数，图象过点，且以x轴为渐近线，

若函数的图象经过原点，且渐近线为时，，，选项B正确；

对于C，因为偶函数，在区间上为减函数，

故若函数在区间上单调递减，则，选项C正确：

对于D，当时，，，

若恒成立，得，即，而，此时，，

当时，，得，若恒成立，得，

当时，，得，

若恒成立，得，即，而，因此得，选项D不正确，

故选：

对于A，举例判断即可；

对于B，结合指数函数的图象与性质即可判断；

对于C，由为偶函数，在区间上为减函数进行判断；

对于D，分和三种情况判断即可．

本题考查了指数函数的性质、偶函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．11.【答案】BC

【解析】解：函数是幂函数，，求得或

对任意，，且，满足，故在上是增函数，

，，

若a，，且的值为负值．

若A成立，则，不满足题意；

若B成立，则，满足题意；

若C成立，则，满足题意；

若D成立，则，不满足题意，

故选：

利用幂函数的性质推导出，从而求得，然后检验各个选项是否正确．

本题考查命题真假的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】

【解析】解：对于函数且，令，求得，，

可得它的图象恒过定点，

故答案为：

令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．

本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．13.【答案】9

【解析】解：若实数x，y，a，b均大于0，且，

则①，②，

由①②得，

故，解得，

故，

故均大于，

当且仅当，即时“=”成立，

故的最小值是9，

故答案为：

根据，求出，得到，再根据乘“1”法求出代数式的最小值即可．

本题考查了对数的运算性质，考查基本不等式问题以及乘“1”法的应用，是中档题．14.【答案】

【解析】解：根据题意，若函数在R上单调递减，

则有，解可得，即a的取值范围为

故答案为：

根据题意，由函数的单调性的定义可得关于a的不等式，解可得答案．

本题考查函数的单调性，涉及分段函数的性质，属于基础题．15.【答案】解：幂函数是偶函数，且在上单调递增．

，解得，，

，

，，

，

当且仅当，即，时，取“=”，

的最小值为

【解析】利用幂函数的定义和性质列出方程组，求出，，由此能求出

由，得，再利用均值不等式能求出的最小值．

本题考查函数的解析式、代数式的最小值的求法，考查幂函数的性质、均值不等式等基础知识，意在考查学生运算求解能力，属于中档题．16.【答案】解：当时，函数的解析式为，

当时，，所以；

由于函数为偶函数，故；

由于，，

①当，即时，在该区间上单调递减，

所以，

②当时，即，

所以，

③当时，；

故

【解析】直接利用函数的奇偶性的应用求出函数的关系式；

利用区间和对称轴的关系，进一步利用分类讨论思想的应用求出函数的表达式．

本题考查的知识要点：函数的奇偶性，分段函数的解析式的求法，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：由题可知，，；

，在上单调递增，在上单调递减，证明如下：

设，则

，，在上单调递增．

因为是R上偶函数，所以在上单调递减；

原问题等价于在上成立，

由知，在上单调递增，故在上单调递增，

，

根据双勾函数的图像与性质可知，在上单调递减，在上单调递增，

①若，在上单调递增，则，

，解得，；

②若，则，

满足题意，；

③若，则，

，解得，

综上所述，

【解析】偶函数满足，据此求出a，利用定义法证明其单调性即可；

对任意的，总是存在使得不等式成立，等价于在上成立．

本题主要考查函数的单调性，属于基础题．18.【答案】解：证明：，则在上是严格增函数