222023-2024学年四川省宜宾市高一下学期期末学业质量监测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页222023-2024学年四川省宜宾市高一下学期期末学业质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1−i1+i，则z的

虚部是(

)A.−i B.−1 C.0 D.12.下列各组向量中，可以作为基底的是(

)A.e1=(0,0),e2=(1,−2) B.e13.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是(

)

A.这14天日促销量的众数是214 B.这14天日促销量的中位数是196.5

C.这14天日促销量的极差为195 D.这14天日促销量的第80百分位数是2434.已知向量a=(1,−1)，b=1，若a⊥a−2b，则aA.π4 B.π3 C.3π45.如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100(单位：m2)，则原圆柱的侧面积是(

)(单位：m2)A.100π B.200π C.100 D.2006.在▵ABC中，BC=2AB，∠ABC=60∘，∠ABC的角平分线交AC于点D，BD=2，则▵ABC的面积为(

)A.34 B.32 C.7.钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为(

)

A.21m B.26m C.30m D.45m8.已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起，得到三棱锥A−BCD，E,F分别是棱AB,BC的中点，AB=BD=2，Q为棱CD上的一点，且DE//平面AFQ，则DQQC的值为(

)A.13 B.12 C.1 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线a，b和平面α，β，下列说法正确的是(

)A.若a⊥b，a⊥α，则b//α

B.若a/​/b，a⊥α，则b⊥α

C.若α⊥β，a⊆α，则a⊥β

D.若a//α，a⊆β，α∩β=b10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是5”，事件B=“第一次掷出的点数是奇数”，事件C=“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是(

)A.A与B互斥 B.PA=19 C.PB=11.已知a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是(

)A.若A=45∘，a=2，b=3，则▵ABC有两解

B.若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形

C.若▵ABC为锐角三角形，则sinA>cosB

12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2A.当点P为DD1的中点时，直线CP与BC1所成角的余弦值为1010

B.当点P在棱C1D1上时，AP+PB1的最小值为42

C.当点P在正方形CDD1C1内时，若B1P与平面CDD1C1所成的角为45°，则点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知在复平面内，向量AB对应的

复数是2+i，AC对应的复数是3−2i，则向量BC对应的复数为

．14.已知事件A与事件B相互独立，且PA=0.5，PB=0.2，则PA∪B15.著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如60=2×2×3×5.已知2310=a1×a2×⋯×an，且a1,a16.在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，AB=4，AD=BC=2，BABA⋅BCBC=12，点E，F分别在线段BC和CD四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知a=2，b=1，a与b的夹角为(1)求a−2(2)当实数k为何值时，ka+b与18.(本小题12分)2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”.某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(单位：吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有92%的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量(单位：吨)，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；(2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．19.(本小题12分)如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E为侧棱SC的中点．(1)求证：SA//平面EDB；(2)求点C到平面EDB的距离．20.(本小题12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos(1)求A；(2)若a=7.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b条件①：中线AD长为192；条件②：△ABC的面积为注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，BC=22，A1

(1)求证：A1D⊥平面(2)若1≤a≤2，求直线AC与平面BCC122.(本小题12分)依据《宜宾市城市总体规划(2018∼2035)》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”.若将宜宾临港经济开发区某地段(如图所示)中的四边形区域ACEF建成生态园林公园，AC,CE,EF,AF为主要道路(不考虑宽度).已知∠ACE=90∘，∠CEF=120(1)求道路AC的长度；(2)若在道路AC的另一侧规划一块四边形ABDC的商业用地，使∠ABC=60∘，且▵BCD为等边三角形，求四边形ABDC面积的最大值．答案解析1.B

【解析】因为复数z=1−i所以复数z的虚部为−1．故选：B．2.D

【解析】对于选项A：因为e1=0所以e1,e对于选项B：因为e1=−e所以e1,e对于选项C：因为e2=2e所以e1,e对于选项D：显然e1假设e1//e可得−λ=52λ=7所以e1,e2不共线，所以故选：D．3.D

【解析】根据题意，提取出蓝莓每日促销量.从小到大排列得到数据：80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275．则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确；则这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个平均值，即179+2142=196.5，故则这14天蓝莓每日促销量的极差是275−80=195，故C正确；则这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数，因为14×0.8=11.2，则取第12个，即260.故D错误．故选：D．4.A

【解析】根据题意，a=(1,−1)，则a因为a⊥a−2即a2−2a设a与b的夹角为θ，则cosθ=a⋅所以a与b的夹角为π4故选：A5.A

【解析】设圆柱的底面半径为r，高为ℎ，依题意可得2rℎ=100，所以圆柱的侧面积S侧故选：A6.D

【解析】设AB=t,BC=2t，S▵ABC所以2所以S故选：D．7.C

【解析】在Rt▵ABC中，∠ACB=30∘，在▵AMC中，∠MAC=15∘+30∘由正弦定理得CMsin45所以在等腰直角三角形MNC中，有MN=30故选：C8.B

【解析】如图，连接CE，交AF于点M，连接QM，因为DE//平面AFQ，DE⊂平面CDE，平面CDE∩平面AFQ=QM，所以DE//QM，又因为E，F分别为AB，BC的中点，所以点M为▵ABC的重心，所以|EM||MC|在▵CDE中，DE//QM，根据三角形一边的平行线性质定理，有|DQ||QC|故选：B．9.BD

【解析】对于A，如图a⊥b，a⊥α，但b⊂α，故对于B，若a/​/b，a⊥α，则a,b都可为面α的法向量，则b⊥α显然成立，故对于C，如图α⊥β，a⊆α，但a⊂β，故C错误；对于D，若a//α，a⊆β，α∩β=b，直接根据线面平行的性质：线面平行，则线与过交线的面与另外一个面的交线平行，得到a/​/b，故D正确．故选：BD．10.BCD

【解析】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，样本空间为Ω=(i,j)|i,j∈{1,2,3,4,5,6}，n(Ω)=36事件A=“两次掷出的点数之和是5”=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，n(A)=4事件B=“第一次掷出的点数是奇数”=(i,j)|i∈{1,3,5,},j∈{1,2,3,4,5,6}，n(B)=18事件C=“两次掷出的点数相同”=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，n(C)=6对于A，因为A∩B=(1,4),(3,2)，所以事件A与事件B即事件A与事件B不互斥，故A错误；对于B，P(A)=n(A)n(Ω)=对于C，P(B)=n(B)n(Ω)=对于D，因为B∩C=(1,1),(3,3),(5,5)，所以P(B∩C)=又因为P(C)=n(C)n(Ω)所以P(B∩C)=P(B)⋅P(C)，所以事件B与事件C相互独立，故D正确．故选：BCD．11.ACD

【解析】选项A，▵ABC中，若A=45∘，a=则由正弦定理asinA=又b>a，所以B=60∘或B=120∘，此时选项B，▵ABC中，若acosB=所以sinAcosA=又2A,2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，▵ABC为等腰三角形或直角三角形，故选项C，若▵ABC为锐角三角形，则A+B>π2，即因为y=cosx在0,π上为减函数，所以cosB<选项D，▵ABC中，2AO=AB+AC，则O是BC则有AO=BO=CO，又有∠BAC=π2，∠ABO=π3，则向量CA在向量CB上的投影向量为CAcosπ6故选：ACD．12.ACD

【解析】对于A，Q为AD中点，连接PQ,CQ,AD正方体ABCD−A1B1C则四边形ABC1DP为DD1中点，Q为AD中点，所以PQ//AD直线CP与BC1所成角为CP=CQ=22cos∠CPQ=所以直线CP与BC1所成角的余弦值为10对于B，当点P在棱C1D1上时，将平面AB则AP+PB1的最小值为展开图中的B1A2对于C，如图连接C1因为当点P在正方形CDD1C1内，所以∠B1PC1若B1P与平面CDD1C所以C1P=B1C1=2，即点P所以点P的轨迹长度为14×2π×2=π，故D选项，如图所示，P,Q,M,N,R,S分别为所在棱的中点，该正方体被过AA1，CC1，C1D1平面α在正方体上的截面为正六边形PQMNRS，某球能被整体放入Ω1或Ω是以B1为顶点，底面为正六边形PQMNRS正六边形PQMNRS的边长为2，面积为6×正六棱锥B1−PQMNRS中，侧棱长为5，每个侧面面积为3设内切球半径为R，由体积法可得13×3所以该球的表面积为S=4πR2=故选：ACD．13.1−3i

【解析】在复平面内，向量AB对应的复数是2+i，AC对应的复数是3−2i，由BC=AC−AB，则向量故答案为：1−3i．14.0.6或35【解析】因为事件A与事件B相互独立，P(A)=0.2，P(B)=0.5，所以P(AB)=0.2×0.5=0.1，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.2+0.5−0.1=0.6．故答案为：0.6．15.25或0.4【解析】根据题意，2310=2×3×5×7×11，可得a1若从a1,a2,3,2,5,两个数之和小于10：2,3,2,5,所以这两个数之和小于10的概率为410故答案为：216.12

【解析】过C,D作AB的垂线，垂足分别为M,N，BABA⋅BC以A为原点，AB为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，AD=BC=2，∠ABC=∠BAD=60则有B4,0，BM=1=AN，所以D1,设Fm,3，m∈令BE=λBC=λ−1,3，得有AE⋅AF=m所以AE⋅AF的最大值为故答案为：12．17.解：(1)根据题意，a⋅所以a−2(2)根据题意，(ka即ka又由(1)知a⋅所以4k+2k+1+2=0解得k=−1【解析】(1)根据向量的数量积公式求出a⋅b，再由向量模公式(2)由(ka+b)⊥(a+2b)，则其数量积为18.解：(1)由4解得m=0.0625．∵(0.0125+0.0250+0.0625+0.10000)×4=0.80<0.92，∵(0.0125+0.0250+0.0625+0.10000+0.0375)×4=0.95>0.92∴x=16+4×0.92−0.800.95−0.80=19.2((2)根据题意得，月平均用水量在第一组居民有0.05×200=10户，月平均用水量在第二组居民有0.1×200=20户，分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户，样本点有a,b,b,C,b,D,记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为：a,b,A,B,根据古典概型可得，PM【解析】(1)先根据频率分布直方图概率和为1求出m，再根据百分位数求解即可；(2)列举法应用古典概型求解．19.解：(1)连接AC交BD于O，连接OE，则O为AC的中点，∵E为侧棱SC的中点，∴OE//SA，∵SA⊄平面EDB，OE⊂平面EDB；∴SA//平面EDB；(2)∵E为侧棱SC的中点，∴

E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，E到平面ABCD的距离ℎ=1∴V∵SD⊥底面ABCD，BC,CD⊂面ABCD，∴SD⊥BC,SD⊥CD，又∵SD=4，BC=CD=2，∴SC=2∵BC⊥CD,SD∩CD=D,SD,CD⊂平面SCD，∴BC⊥平面SCD，又SC⊂平面SCD，∴BC⊥CE,∴BE=3，∴cos∠BDE=8+5−9∴S设点C到平面EDB的距离为d，由VE−BCD=VC−BDE，得即点C到平面EDB的距离为43【解析】(1)连接AC交BD于O，连接OE，证明OE//SA，再根据线面平行的判定定理即可得证；(2)利用等体积法求解即可．20.解：(1)▵ABC中，已知acos由正弦定理得sinA又sinB=则有3由C∈0,π，sinC≠0，得则有sinA−由0<A<π，有−π6<A−π6(2)若选择条件①：由A=π3,a=由AD=12AB+由b2+c2−bc=7c2+b若选择条件