2023-2024学年广东省广州市白云区高一下学期期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市白云区高一下学期期末数学试题一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分）1.在▵ABC中，BE=3EC，则AE=A.13AB+23AC B.22.下列的表述中，正确的是(

)A.过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直

B.过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行

C.过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直

D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3.若两个非零向量a,b的夹角为θ，且满足|a|=2|bA.−23 B.−13 C.4.有一组从小到大排列的样本数据x1,x2,…,xn，由这组数据得到新样本数据y1A.数据y2,y3,…,yn−1的标准差不小于数据y1,y2,…,yn的标准差

B.数据y2,y3,…,yn−1的中位数与数据y5.为了得到y=sin2x+2π3的图象，只需把y=A.先向右平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变

B.先向右平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变

C.先向左平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变

D.6.已知▵ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,|AB|=A.32BC B.34BC 7.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.2α+β=π2 B.2α−β=π2 C.8.通常以24小时内降水在平地上积水厚度(单位：mm)来判断降雨程度，其中小雨(<10mm)，中雨(10mm−25mm)，大雨(25mm−50mm)，暴雨(50mm−100mm).小明用一个近似圆台的水桶(如图，计量单位1cm=10mm)连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是(

)

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨9.已知向量a=(2,m),b=(−1,3)，则下列说法中正确的是A.若|a+b|=10，则m=4

B.若|a+b|=|a−b|，则m=10.已知复数z1,z2A.z1+z2≤z1+z2 B.若z1z2=11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知动点P满足BP=λBCA.若λ=1，则三棱锥B−AB1P的体积是定值

B.若μ=1，则三棱锥B−AB1P的体积是定值

C.若λ=μ=12，则三棱锥B−AB1P的体积是三棱柱ABC−A二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数z满足z(1+i)=2+i，则|z|=

．13.某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数(小时)方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为

小时，方差为

．14.己知点G,O在▵ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=0,|OA|=|OB|=|三、解答题（本大题共5小题，共60分）15.（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E(1)求证：直线DP//平面AB(2)求点A到平面BB116.（12分）一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额(单位：百万元)进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率12,14100.114,16x0.1516,18200.218,2030y20,22150.1522,2450.0524,2650.05合计1001.00(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数(同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表)；(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17.（12分）已知甲船在A海岛正北方向153海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；(2)在A海岛西偏南60∘方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．18.（12分）在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正弦值为64(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求直线AM与直线PB所成角余弦值；(3)求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值．19.（12分）如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．(1)若AD=2，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；(2)在▵ABC中，记∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a，b，c，且满足(c+b)b=①求证：∠BAC=2∠ABC；②求c+4bbcos∠ABC答案解析1.C

【解析】AE=故选：C2.B

【解析】对于A，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直，而过该垂线的面有无数个，根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A错误；对于B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B正确；对于C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直，所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C错误；对于D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，而过所作直线的平面有无数个，所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D错误．故选：B．3.A

【解析】因为a+3b⊥所以a2+3a所以cosθ=故选：A．4.B

【解析】对于A，因为y1所以根据标准差的意义可知数据y2,y故A错误；对于B，根据中位数定义可知，数据y2,y所以两组数据中位数相等，故B正确；对于C，若数据x1,x则由方差性质得数据y1,y2,…,对于D，由题意数据x1,x所以数据y1,y2,…,故选：B．5.C

【解析】根据平移变换知识y=sinx先向左平移2π3再将所得曲线横坐标缩短为原来12，纵坐标保持不变得y=故选：C．6.B

【解析】因为2AO=AB+AC所以BC为外接圆的直径，∠BAC=π2且OA=OB=OC=R(R为外接圆半径又|AB|=所以∠ABC=π6，则BA在BC上的投影向量为故选：B．7.D

【解析】解：由tanα+tanβ=1cos于是sinαcosβ+由α∈(0,π2)，β∈(0,则α+β=π2−β或α+β+π2−β=π，即所以2β+α=π故选：D8.B

【解析】由题桶的下底面面积为S1=π又桶中水水面与底面距离为16设水面半径为r，如图为桶的轴截面图形，则BL=16−10=6cm，则MD=30−5=25cm，故由▵BMD∼▵BLA得BM=BL×MD故水面半径为r=CD=Q所以桶中水水面面积为S所以连续24小时的桶中水的体积为V水所以24小时内降水在平地上积水厚度为1655000π3所以当天的降雨等级是中雨．故选：B．9.BC

【解析】A选项，a+b=(1,m+3)，故12B选项，|a+b|=|a−bC选项，由题意得2×3−−1m=0，解得m=−6，D选项，若向量a,b的夹角为钝角，则a⋅故−2+3m<0且2×3+m≠0，解得m<23且m≠−6，故选：BC10.AD

【解析】对于A，设复数z1、z2对应的点分别为Z1则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得z1+z对于B，当z1=0，则z1z2=z12对于C，设复数z1=1、z2=i，则z1−z对于D，若z2≠0，设z1故z1则z=又z1z2=a+bi故选：AD．11.ACD

【解析】对于A，若λ=1，则BP=所以μBB1所以点P在CC因为CC1//BB1，所以点P到平面AB而S△AB所以VB−AB1

对于B，若μ=1，则BP=λ所以λBC=BP所以点P在B1C1上，所以点P因为S△AB所以VB−AB1对于C，若λ=μ=12，则点P为故VB−AB1对于D，若λ+μ=1，则B1,P,C三点共线，即点P在取BC的中点D，连接AD,DP,AP，则AD⊥BC，因为BB1⊥平面ABC，AD⊂所以BB又BC∩BB1=B,BC,B所以AD⊥平面BB所以∠APD即为直线AP与平面BB设正三棱柱ABC−A1B1C而tan∠APD=要使sin∠APD最大，则tan则PD最小，当PD⊥B1C时，PD此时PA=所以sin∠APD即直线AP与平面BB1C1C故选：ACD．12.102或【解析】由题意z=2+i故|z|=故答案为：1013.25.6；1.3

【解析】该班学生这个月的课后阅读时长平均数为25×20+26×3050方差为20×[1+(25−25.6)故答案

：25.6；1.314.3【解析】取AB的中点D，则2GD因为GA+GB+所以GD//GC，又G为公共端点，所以所以点G在AB边的中线上，且CG=2同理点G在AC,BC边的中线上，即点G为▵ABC的重心，故AG=因为|OA所以点O为▵ABC的外心，即为O为▵ABC中垂线的交点，故AOcos则AG⋅所以AB2而AG=13即AB2所以AB⋅AC=0所以BC=故答案为：3．15.(1)由正方体性质可知，B1A1//CD且又因为点E，P分别为CD，A1所以B1P=1所以B1E//DP，又B1E⊂平面AB所以直线DP//平面AB(2)设点A到平面BB1E由题BE=AE=故S▵ABE又由正方体性质B1B⊥平面ABCD，BE⊂平面所以B1B⊥BE，所以所以VA−又VA−B1BE=VB1−ABE

【解析】(1)证明四边形B1EDP是平行四边形，进而得B1E//DP即可得证直线(2)由VA−16.(1)x=100×0.15,y=30÷100=0.3，频率分布直方图如图所示，

(2)x=13×0.1+15×0.15+17×0.2+19×0.3+21×0.15+23×0.05+25×0.05=18.2故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2．(3)第40百分位数为16+2×0.4−0.1−0.150.2=17.5【解析】(1)根据频率与频数的关系，即可求解x,y，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图．(2)根据平均数计算公式即可求解．(3)根据百分位数公式即可求解．17.(1)由题意得，AB=153海里，BC=3×7=21海里，在▵ABC中，由余弦定理得AC所以，AC=171((2)甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：如图所示，延长BC，过点A向正东方向作AD交BC的延长线于点D，连接DE，过点A作AF⊥DE交DE于点F，在▵ABD中，AD=ABtan∠ABC=15在▵ADE中，AE=6(海里)，∠DAE=180DE所以DE=351(所以AF=S因此甲船能沿DE方向航行前往救援．

【解析】(1)在▵ABC中使用余弦定理即可求得答案．(2)先根据题目所给的条件作图，在▵ABD中，由AD=ABtan∠ABC求得AD长度，在▵ADE中，先根据余弦定理求得DE长度，再利用等面积法求得18.(1)证明：因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，因为侧面PAD为正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD，因为PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD；(2)取AD的中点O，BC的中点E，连接OP,OE，因为▵PAD为正三角形，所以OP⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD，因为OE,OD⊂平面ABCD，所以OP⊥OE,OP⊥OD，因为四边形ABCD为矩形，AD的中点O，BC的中点E，所以OE⊥OD，所以OE,OD,OP两两垂直，所以以O为原点，OE,OD,OP所在的直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系，设AB=a,BC=b，因为OP⊥平面ABCD，所以∠PBO为PB与平面ABCD所成角，所以sin∠PBO=POPB令a=2，则A(0,−1,0),B(2,−1,0),P(0,0,所以AM=(0,所以cosAM所以直线AM与直线PB所成角的余弦值为6

(3)因为A(0,−1,0),B(2,−1,0),P(0,0,所以AM=(0,32设平面ABM的法向量为m=(m⋅AB=2x1设平面PBC的法向量为n=(n⋅PB=2x2所以cosm设平面ABM与平面PBC所成二面角为θ，所以sin所以平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值2【解析】(1)由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，再由等边三角形三线合一的性质可得AM⊥PD，然后由线在垂直的判定定理可证得结论；(2)取AD的中点O，BC的中点E，连接OP,OE，可证得OE,OD,OP两两垂直，所以以O为原点，OE,OD,OP所在的直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；(3)求出平面ABM与平面PBC的法向量，利用空间向量求解即可．19.(1)设BD=t,∠BAD=α,α∈0,π在▵ABD中AD=2,A