2023-2024学年重庆市七校联盟高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市七校联盟高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i−2的共轭复数是(

)A.2+i B.−2−i C.−2+i D.2−i2.已知两个互斥事件A，B满足P(A+B)=0.5，P(A)=0.2，则P(B)=(

)A.0.4 B.0.3 C.0.6 D.0.13.正方体ABCD−A1B1C1D1A.12 B.32 C.±4.三棱锥P−ABC中，PA与面ABC所成角的余弦值为223,PA=3，AB=2BC=2，AC=3A.32 B.33 C.5.△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，c=acosB+ccosA，则△ABC的形状是(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为0.3，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2，则甲成功破译密码的概率为(

)A.0.5 B.0.6 C.0.06 D.27.已知向量a=(3,4)，非零向量b满足对∀λ∈R都有|a−λb|≥|aA.52 B.10 C.5 D.8.边长为2的正三角形ABC的内切圆上有一点P，已知AP=xAB+yAC，则2x+yA.[3−3,3+3] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.抛一枚质地均匀的硬币两次，事件A1：“第1次硬币正面朝上”，事件A2：“第2次硬币正面朝上”，事件A3：“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是A.P(A1)=12 B.P(A10.关于x的方程x2+x+1=0在复数范围内的根是z1，z2A.z13=1 B.z12=11.如果一个多面体由两个及其两个以上的正多边形组成，我们称这样的多面体是半正多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图1是一个由正方形和正三角形构成的半正多面体笔筒，其中面ABCD//面EFGH，且两个正方形的中心的连线与这两个正方形所在平面垂直，HF⊥AD，EG⊥AB，且所有的棱长都为2，则下列说法正确的是(

)A.该多面体有10个面

B.平面ABCD与平面EFGH的距离是234

C.该几何体外接球的表面积是(8+22)π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一组数：6，8，2，4，10，这组数的第四十百分位数是______．13.已知圆锥的母线长为23，底面圆的周长为214.已知x1，x2，…，x5的平均数和方差分别是2，1，若x6=8，则x1，x2，…，x6的平均数是______，2x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了40位考生的成绩进行统计分析，得到如图2所示的频率分布直方图．

(1)估计这40名学生的数学成绩的平均数与中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，不能整除的保留1位小数)

(2)为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在[50,70)分数段的同学中按组([50,60)，[60,70)各算一组)从样本中分层抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50,60)的概率．16.(本小题15分)

如图所示的直三棱柱ABC−A1B1C1的每条棱长均为2，E，F分别是棱AB1，BC1的中点，O，G分别是棱AB，AC上的点，平面EGO//平面BCC1．

(1)17.(本小题15分)

△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且acosC+3asinC=b+c．

(1)求A；

(2)若a=2，求BC18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，BO=OC，AT=4TO，AE=2EC．

(1)用AB，AC表示BT；

(2)求证：B、T、E三点共线；

(3)若AB=1，AC=219.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，△PAB是正三角形，AB=2，AD=2，面PAD⊥面ABCD，AC=1．

(1)求证：CA⊥平面PAD；

(2)当∠PAD=135°时，

(i)若G是面PBD的重心，求直线BG与平面ABCD所成角的正弦值；

(ii)棱AD上是否存在一点Q，使得二面角A−PQ−C的余弦值为6

参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.C

8.D

9.AC

10.ABD

11.ABC

12.5

13.4π314.3

70315.解：(1)平均数为x−=10×(55×0.01+65×0.02+75×0.035+85×0.03+95×0.005)=75，

第一组频率0.01×10=0.1，

第二组频率0.02×10=0.2，

第三组频率0.035×10=0.35，

因为0.1+0.2+0.35>0.5，而0.1+0.2<0.5，

所以中位数在[70,80)之间，设中位数为x，

则0.1+0.2+0.35(x−70)=0.5，

解得x≈70.6．

(2)从成绩在[50,70)分数段的同学中按组([50,60)，[60,70)各算一组)从样本中分层抽取了6个人，

则[50,60)中的人数为0.01×10×40=4人，

[60,70)中的人数为0.02×10×40=8人，共12人，

则需从[50,60)中的人数抽取6×0.1×4012=2人，

则需从[60,70)中的人数抽取6×0.2×4012=4人，

16.解：(1)证明：∵平面EGO//平面BCC1，

又平面EGO∩平面ABB1=EO，平面BCC1∩平面ABB1=B1B，

∴EO//B1B，又E是棱AB1的中点，∴O是AB的中点，

同理可证OG/​/BC，∴G是AC的中点；

(2)∵E17.解：(1)因为acosC+3asinC=b+c，

由正弦定理可得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

在△ABC中，可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAinC，

所以3sinAsinC=cosAinC+sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得3sinA−cosA=1，

即sin(A−π6)=12，

因为A∈(0,π)，可得A−π6=π6，

可得A=π3；

(2)a=2，设BC边上高为ℎ，

则S△ABC=12bcsinA=18.解：(1)依题意有O是BC中点，所以AO=12(AB+AC)，

又AT=4TO，所以AT=45AO=45×12(AB+AC)=25(AB+AC)，

BT=AT−AB=25(AB+AC)−AB=−35AB+25AC．

(2)证明：由(1)有BT=−35AB+25AC，又AE=2EC，所以AC=32AE，

所以BT=−35AB19.(1)证明：因为AB=2AD=2，AC=1，且四边形ABCD是平行四边形，

所以CD=2，AC2+AD2=CD2，所以AC⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AC⊂平面ABCD，

由平面与平面垂直的性质得AC⊥平面PAD．

(2)解：(i)如图①所示，反向延长DA至D点，过P点作PM⊥AD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PM⊂平面PAD，

所以PM⊥平面ABCD.又因为MO⊂平面ABCD，所以PM⊥MO．

设平行四边形ABCD对角线交点为O，连接MO，MC，连接BG，反向延长BG交PD于E，

因为G点为△PBD的重心，即E为PD的中点，

过G点作GN⊥平面ABCD交平面ABCD于N，

又因为MO∈平面ABCD，所以GN⊥MO，

且P，G，O三点在同一条直线，所以PM////GN，且N点在MO上，

连接BN，则∠GBN为直线BG与平面ABCD的夹角．

因为G点为△PBD的重心，O点为BD的中点，

所以OGOP=13，且△OGN∽△OPM，

所以GNPM=OGOP=13，

又因为△PAB为等边三角形，∠PAD=135°，

所以PA=AB=2，∠PAM=45°，

所以PM=1，即GN=13，

在△PAD中，由余弦定理得PD2=PA2+AD2−2PA⋅ADcos∠PAD=2+1−22×(−22)=5，

则PD=5．

因为四边形ABCD是平行四边形，AD=AC=BC=1，AB=CD=2，AC⊥AD，

所以∠BAD=135°，MC=2，

即PC=PM2+MC2=1+2=3，

在△BAD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD=2+1−22×(−22)=5，

则BD=5，

在△DBP中，由余弦定