2023-2024学年安徽省合肥一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省合肥一中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x2−x+1=0，则(

)A.命题p、命题q都是真命题 B.命题p的否定、命题q都是真命题

C.命题p、命题q的否定都是真命题 D.命题p的否定、命题q的否定都是真命题2.给定两个随机变量x和y的5组数据如表所示，利用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.5x+ax12345y24478A.a=0.5,x=3时的残差为−1 B.a=0.5,x=3时的残差为1

C.a=0.4,x=3时的残差为3.若质点A运动的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系是S(t)=−2t(t≥1)，那么该质点在t=3s时的瞬时速度和从t=1s到t=3s这两秒内的平均速度分别为A.−23,29 B.234.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.对于实数a，b，c，d，下列说法正确的是(

)A.若a>b，则1a−b>1a B.若a<b，c<d，则ac>bd

C.若a>b>c>0，则ba−c>6.在二项式(2x−1x)n的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项(A.135 B.16 C.147.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，已知P(ξ=1)=2140，则本次测试的不合格率为(

)A.10% B.20% C.30% D.40%8.已知a,b,c,d∈[13,1]，则a2A.[2,52] B.[2,103]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.若ξ∼N(0,1)，且P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ⩽0)=12−p

B.设ξ∼B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，则n=90

C.已知随机变量X的方差为D(X)，则D(2X−3)=2D(X)−3

D.若X∼B(10,0.8)10.已知m，n∈N∗且n≥m>1，下列等式正确的有(

)A.Anm=mAn−1m−1 B.A11.设函数f(x)=−x2−2ax−2a,x<0A.若函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是(−∞,0]

B.若函数f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是(2,+∞)

C.设函数f(x)的3个零点分别是x1，x2，x3(x1<x2<x3)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.全集U=R，A=[4,8]，B=(0,6)，则A∩(∁UB)=13.已知a>0，函数f(x)=ax3−a22x+2有两个不同极值点x114.从一列数a1，a2，a3，⋯，a3m+2(m≥3,m∈Z)中抽取ai，aj(1<i<j<3m+2)两项，剩余的项分成(a1,a2,⋯,ai−1)，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)解关于x的不等式：x2−(a+1)x+a≥0．

(2)关于x的不等式x2−ax+3≥0在x∈[1,2]16.(本小题15分)

为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如图等高堆积条形图：

从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如列联表：男生女生合计喜欢351550不喜欢252550合计6040100(1)根据样本数据，依据α=0.01的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因．

(2)将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据α=0.01的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因

参考公式：χ2=n(ad−bc)α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82817.(本小题15分)

对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，定义s(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2，若存在P(x0,f(x0))，使s(x0)是s(x)的最小值，则称点P是函数f(x)到点M的“最近点”．

(1)对于f(x)=1x(x>0)和点M(0,0)，求点P，使得点P是f(x)到点M的“最近点”．

(2)对于f(x)=lnx，18.(本小题17分)

某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从A，B，C三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.(例如：5人中2人选A，2人选B，1人选C，则选择C的人获奖；5人中3人选A，1人选B，1人选C，则选择B和C的人均获奖；如A，B，C中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖)

(1)若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；

(2)设每组5人中获奖人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

(3)商家提供方案2：将A，B，C三个字母改为A和B两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？19.(本小题17分)

函数f(x)=exx．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)已知函数g(x)=xf(x)，当函数y=g(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上的截距的取值范围；

(3)设φ(x)=f(x)−2sinx，若x=a是函数φ(x)在(−π,0)参考答案1.D

2.A

3.D

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.BD

11.BC

12.[6,8]

13.4

14.1215.解析：(1)因为x2−(a+1)x+a=0解得x1=a，x2=1．

当a>1时，不等式解集为(−∞,1]∪[a,+∞)；

当a=1时，不等式解集为R；

当a<1时，不等式解集为(−∞,a]∪[1,+∞)．

(2)关于x的不等式x2−ax+3≥0在x∈[1,2]上有解，

则a≤x2+3x=x+3x在x∈[1,2]上有解，

所以a≤(x+3x)16.解：(1)零假设H0：是否喜欢篮球和学生性别没有关联，

χ2=100(35×25−25×15)260×40×50×50≈4.167<6.635=x0.01，

根据α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联；

与所有学生的等高堆积条形图得到的结论不一致，

根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的，

而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论．

(2)将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，

χ2=17.解：(1)由题中定义可得s(x)=x2+1x2≥2x2⋅1x2=2，x>0，

当且仅当x=1时等号成立，可知P(1,1)是f(x)到点M的“最近点”；

(2)存在一个点P(1,0)，它是f(x)到点M的“最近点”，且直线MP与f(x)在点P处的切线垂直．

理由如下：

由题意可得s(x)=x2+(lnx−1)2，(x>0)，

则s′(x)=2x+2(lnx−1)⋅1x=2x2−2+2lnxx，

记ℎ(x)=x2−1+lnx(x>0)，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，

∵ℎ(1)=0，∴当x∈(0,1)时，s′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，s′(x)>0，

可得s(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，

∴s(x)≥s(1)，即点P(1,0)是f(x)到点M的“最近点”．

切点为P(1,0)，则f(x)在点P18.解：(1)每5位消费者组成一组，每人从A，B，C三个字母中随机抽取一个，

抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励，

例如：5人中2人选A，2人选B，1人选C，则选择C的人获奖；

5人中3人选A，1人选B，1人选C，则选择B和C的人均获奖；

如A，B，C中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖，

设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，

则甲和乙在同一组，甲获奖的前提下，乙获奖的概率为：

P(B|A)=n(AB)n(A)=A33C41A33+C42A33A22=X01P939060则X的数学期望为E(X)=0×93243+1×90243+2×60243=7081；

(3)由题，选择方案1获取奖金总额的数学期望为7081×300=700027，

设选择方案2获奖人数为Y，Y的可能取值为0，1，2，

则P(Y=0)=A2225=232,P(Y=1)=19.解：(1)函数f(x)=exx的定义域为{x|x≠0}，

f′(x)=xex−exx2=ex(x−1)x2，

当x<0或0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′