《数字信号处理》课件1第5章

第5章IIR数字滤波器设计5.1数字滤波器的基本概念

5.2模拟滤波器的设计

5.3利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

习题

5.1数字滤波器的基本概念

5.1.1滤波的概念

在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪声，从接收到的信号中消除或减弱噪声是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。图5.1.1是滤波过程的示意图，如图所示，滤波器可以将所需要的信号和干扰分离。例如，需要滤除声音信号中的噪声，就要设计一个合适的滤波器，它只能通过所需要的信号。但实际上，只有很少的情况中能够完全滤除干扰；大多数情况下，只能折中处理，滤除绝大多数(并非全部)干扰，同时保留尽可能多(并非全部)的信号成分。图5.1.1滤波过程数字滤波器和模拟滤波器(AnalogFilter，AF)有同样的滤波概念，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。模拟滤波器是用电阻、电容、电感及有源器件等构成的，而数字滤波器是通过对输入信号进行数值运算的方法来实现滤波的。正因为有该不同点，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。对于数字滤波器要求系统的输入、输出信号均为数字信号。如果要处理的是模拟信号，可通过在输入端和输出端分别加上模/数转换器和数/模转换器的方法，就可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。数字滤波是通过离散时间系统来实现的，本书所讨论的线性时不变系统可以用单位脉冲响应h(n)、线性常系数差分方程和系统函数H(z)三种方式来描述，即(5.1.3)(5.1.2)(5.1.1)其中，x(n)为输入信号，y(n)为滤波器的输出信号，是对x(n)滤波后的结果。上面的卷积和求解差分方程的计算就是对x(n)的滤波，滤波特性由h(n)或ak和bk决定。后面会看到，所谓数字滤波器设计，就是根据滤波的要求，寻找滤波器单位脉冲响应h(n)，或滤波器系统函数H(z)(由ak和bk确定)的有效方法。

滤波器可用于波形成形、调制解调、信号提取、信号分离和信道均衡等。所以，学习滤波器的设计与实现是必不可少的。5.1.2滤波器的分类

滤波器的种类很多，但总的来说可以分成两大类，即经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器即选频滤波器，是假定输入信号中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带(如图5.1.1所示)，这样，当输入信号通过一个线性系统(即滤波器)后可将欲去除的成分有效地去除。如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。现代滤波器的理论建立在随机信号处理的理论基础上，将信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征(如自相关函数、功率谱等)导出最佳的估值算法，从干扰中提取有用信号。现代滤波器理论源于维纳在20世纪40年代及其以后的工作，因此维纳滤波器便是这一类滤波器的典型代表。此外还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器等。本书只讨论经典滤波器。

经典滤波器从功能上可分为四种，即低通(LowPass，LP)、高通(HighPass，HP)、带通(Band，Pass，BP)、带阻(BandStop，BS)滤波器。当然，每一种又有模拟滤波器(AF)和数字滤波器(DF)两种形式。图5.1.2给出了AF及DF的四种滤波器的理想幅频响应。由于理想滤波器的单位脉冲响应均是非因果且是无限长的，因此是不可能实现的。在实际工作中，要求设计的滤波器必须是物理可实现且稳定的。我们只能按某些准则设计滤波器，使之尽可能逼近理想滤波器，这些理想滤波器可作为

逼近的标准用。另外需要注意的是，AF幅频特性的频率取值范围为0～∞，而DF幅频特性是以2π为周期的，在0～2π的频率范围内，ω=0是零频率，而ω=π是最高频率。图5.1.2理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性数字滤波器从实现的网络结构上考虑，将滤波器分成无限长脉冲响应(IIR)数字滤波器和有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器。

IIR滤波器的差分方程为

从式(5.1.4)可以看出，滤波器n时刻的输出y(n)不仅与n时刻的输入x(n)以及n时刻以前的输入信号x(n－1)、x(n－2)、…、x(n－M)等有关，还与n时刻以前的输出信号y(n－1)、y(n－2)、…、y(n－N)等有关。其单位脉冲响应h(n)是无限长序列，而其结构上存在反馈支路，属于递归型结构。(5.1.4)

FIR滤波器的差分方程为

从式(5.1.5)可以看出，滤波器n时刻的输出y(n)只与n时刻的输入x(n)以及n时刻以前的输入信号x(n－1)、x(n－2)、…、x(n－M)等有关。其单位脉冲响应h(n)是有限长序列，其结构上不存在反馈支路，属于非递归型结构。(5.1.5)这两类滤波器无论是在性能上还是在设计方法上都有很大的区别。FIR滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计，而IIR滤波器目前最通用的方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计。因此在后面的章节介绍滤波器设计方法和网络结构时均按照IIR和FIR两种滤波器分别进行介绍。5.1.3滤波器的技术指标

设数字滤波器的频率响应H(ejω)为

H(ejω)=|H(ejω)|ejφ(ω)

(5.1.6)

式中，|H(ejω)|称为幅频特性，φ(ω)称为相频特性。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。下面分别介绍数字滤波器的幅频特性和相频特性指标。

1.幅频特性指标

图5.1.2所示的各种理想滤波器物理上是不可实现的，其根本原因是频率响应从通带到阻带之间有突变。为了物理上可实现，实际设计的滤波器在通带与阻带之间应有一定宽度的过渡带，以便允许幅频特性平滑地下降。同时，通带和阻带内不可能严格为1或0，应允许有一定的偏差。容许偏差的极限称为容限。以低通滤波器为例，实际数字滤波器的幅频特性及技术指标如图5.1.3所示。图5.1.3逼近理想低通滤波器的误差容限图5.1.3中，频段［0，ωp］称为通带，ωp称为通带截止频率，δp称为通带容限，在通带内幅频特性要求为

1－δp<|H(ejω)|≤1+δp

|ω|≤ωp

频段［ωs，π］称为阻带，ωs称为阻带截止频率，δs称为阻带的容限，在阻带内幅频特性要求为

|H(ejω)|≤δs

ωs≤|ω|≤π(5.1.8)(5.1.7)为了压缩幅频特性曲线的刻度范围，直观地看出通带和阻带频响曲线，在工程中习惯用幅频函数的衰减dB(分贝)值来描述滤波器的设计指标。通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为(5.1.9)(5.1.10)式中均假定|H(ej0)|归一化为1。当 时，αp=3dB，此时的通带截止频率称为3dB通带截止频率，常用ωc表示。ωp、ωc和ωs统称为边界频率，它们在滤波器设计中是很重要的。图5.1.4画出了同一滤波器的幅频函数曲线和衰减dB曲线。图5.1.4(a)显示不出阻带响应曲线(近似与零值坐标轴重合)，而图5.1.4(b)清楚地显示出阻带－40dB以下的响应曲线，这样便于观察和描述滤波器频率响应特性。所以，在后面的滤波器设计中，用幅频响应函数的衰减dB值描述设计指标。图5.1.4幅频特性和幅度衰减dB曲线的对比频段［ωp，ωs］称为过渡带，在这个过渡带内幅频特性平滑地从通带下降到阻带。从理论上说，过渡带越窄越好。但是后面会看到，当通带和阻带指标不变时，过渡带越窄，要求的滤波器阶数越高，付出的代价和成本也越高。所以滤波器技术指标要根据工程需要确定，而不是一味地追求高指标。

2.相频特性指标

数字滤波器的频率响应H(ejω)为

H(ejω)=|H(ejω)|ejφ(ω)=Re［H(ejω)］+jIm［H(ejω)］

(5.1.11)则其对应的相频特性为

一个理想滤波器除了具有所期望的幅频特性外，还应具有线性相位，H(ejω)线性相位是指φ(ω)是ω的线性函数，即 φ(ω)=－αω+β

(5.1.13)

其中α和β为常数，β=0时称为第一类线性相位，β≠0时称为第二类线性相位。当输入信号x(n)经过这样的滤波器时，得到的输出信号y(n)的频谱为(5.1.14)(5.1.12)式(5.1.14)说明，输出信号的相位谱是φY(ω)=φX(ω)－αω。对式(5.1.14)求傅里叶逆变换可得输出信号

其中(5.1.15)(5.1.16)y0(n)与滤波器的相位无关。可以看出，滤波器相位－αω所引起的时延n－α与频率无关，这意味着输入信号的任何频率成分都有一样的时延。这说明，如果滤波器具有线性相位特性，则对输入信号的时序不会有影响，即对输入信号的位移是处处相等的。

例5.1.1设有一个复合正弦信号x(n)=cos(0.1πn)+cos(0.2πn)分别通过两个低通滤波器，滤波器的频率响应如下：

则两个滤波器的输出信号y1(n)和y2(n)分别为输入信号x(n)和输出信号y1(n)和y2(n)的时域波形如图5.1.5所示。可以看到，尽管两个滤波器的幅频特性完全一致，但是通过线性相位数字低通滤波器H1(ejω)的输出信号y1(n)很好地保持了原始信号的波形，仅仅是延时了5个采样点。而通过非线性相位数字低通滤波器H2(ejω)的输出信号y2(n)则由于相位的失真而导致波形与输入信号不一致。由此例可以看出，相频响应对信号滤波以后的影响及线性相伴的重要性。

通常IIR滤波器设计时只考虑幅频特性，适用于对相位要求不敏感的场合，如语音通信等。而FIR滤波器设计时实现线性相位较容易，一般同时考虑幅频和相频特性，应用对输出波形有要求，如波形传输、图像信号处理等应用中。图5.1.5系统相频特性对系统输出的影响 5.2模拟滤波器的设计

模拟滤波器设计本不属于数字信号处理的内容，但考虑到经典模拟滤波器理论是设计IIR滤波器的基础，因此有必要学习模拟滤波器的设计。本节简要介绍模拟滤波器的基本概念和经典设计公式，略去繁杂的公式推导。前面已介绍了选频滤波器分为低通、高通、带通和带阻滤波器，而各种滤波器设计都是基于低通滤波器设计。因此，本节重点介绍低通模拟滤波器的设计公式和设计方法，然后简要介绍从低通到高通、带通和带阻滤波器的频率转换方法。5.2.1模拟滤波器的幅度平方函数

给定模拟低通滤波器的技术指标αp、Ωp、αs和Ωs，其中αp为通带内允许的最大衰减，αs为阻带内允许的最小衰减，αp和αs的单位为dB，Ωp为通带上限角频率，Ωs为阻带下限角频率。现希望设计一个模拟低通滤波器Ha(s)为

使其对数幅频响应10lg|Ha(jΩ)|2在Ωp和Ωs处分别达到αp和αs的要求。(5.2.1)

αp和αs都是Ω的函数，它们的大小取决于Ha(jΩ)的形状，为此，我们定义一个衰减函数α(Ω)

即

|Ha(jΩ)|2=10－α(Ω)/10

(5.2.3)

显然

αp=α(Ωp)=－10lg|Ha(jΩp)|2

αs=α(Ωs)=－10lg|Ha(jΩs)|2

这样，式(5.2.3)把低通模拟滤波器的四个技术指标和滤波器的平方幅度函数|Ha(jΩ)|2联系了起来。(5.2.2)由于我们所设计的滤波器的冲激响应一般都为实函数，因而Ha(jΩ)满足

H*a(jΩ)=Ha(－jΩ)

(5.2.4)

所以

|Ha(jΩ)|2=Ha(jΩ)H*a(jΩ)=Ha(jΩ)Ha(－jΩ)

(5.2.5)

又因为，可实现的模拟滤波器一定是因果的，由傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系，令jΩ=s，得到其幅度平方函数的拉普拉斯变换为

Ha(jΩ)Ha(－jΩ)|jΩ=s=Ha(s)Ha(－s)

(5.2.6)

式(5.2.6)中，Ha(s)和Ha(－s)的零-极点是象限对称分布的，如图5.2.1所示。图5.2.1零、极点分布这样，如果我们能由αp、Ωp、αs和Ωs求出|Ha(jΩ)|2，然后取出它的左半平面零点zj和极点pk，就可以用这些零极点组成一个稳定的模拟滤波器，即

从这个意义上说，模拟滤波器的传递函数Ha(s)可由幅度平方函数|Ha(jΩ)|2直接设计出来。因此，平方幅度函数|Ha(jΩ)|2在模拟滤波器的设计中起到很重要的作用。(5.2.7)5.2.2模拟滤波器经典类型

设计模拟滤波器时，不但要求频率响应指标满足信号处理的要求，而且还要求滤波器便于硬件实现。经过多年研究开发，已经找到了多种逼近理想滤波特性的滤波器函数，其滤波特性各有特色，而且这些模拟滤波器的系统函数满足硬件综合实现条件。在此介绍五种经典的模拟低通滤波器的特征。

1.巴特沃斯(Butterworth)滤波器

N阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方响应的表达式为(5.2.8)其中，N为滤波器阶数，Ωc是3dB截止频率。对几种不同的阶数N，给出归一化(Ωc=1)巴特沃斯低通滤波器的幅频响应曲线如图5.2.2所示。图5.2.2巴特沃斯滤波器的幅频响应

从图中可以看出：

(1)当Ω=0时，|Ha(j0)|2=1，即滤波器在Ω=0处无幅度衰减。

(2)当Ω=Ωc时，|Ha(jΩc)|2=0.5，|Ha(jΩc)|=0.707。即不管N取何值，所有的曲线都通过－3dB点，或者说衰减3dB，这就是3dB不变性。

(3)在Ω<Ωc的通带内，|Ha(jΩ)|2有最大平坦的幅度特性，即N阶巴特沃斯低通滤波器在Ω=0处，|Ha(jΩ)|2Ω=0的前2N－1阶导数为零，因此巴特沃斯滤波器可称为最平幅度特性滤波器。随着Ω由0变到Ωc，|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，减小得越慢，通带内特性越平坦。

(4)在Ω>Ωc，即过渡带及阻带中，|Ha(jΩ)|2也随Ω增加而单调减小，但由于Ω/Ωc>1，故比通带内的速度要快得多，N越大，衰减速度越快，过渡带越窄。

2.切比雪夫Ⅰ型(ChebyshevⅠ)滤波器

N阶切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方响应的表达式为

其中，N为滤波器阶数，Ωp为通带截止频率，ε为通带波纹幅度参数，CN(Ω)是N阶切比雪夫多项式，后面两者表达式如下：(5.2.9)

对几种不同的阶数N，取相同的通带波纹幅度参数ε，对通带截止频率Ωp进行归一化，切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频响应曲线如图5.2.3所示。图中，通带最大衰减αp=1dB，ε=0.5088。(5.2.11)(5.2.10)图5.2.3切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频响应由图中可见：

(1)N为偶数时，|Ha(jΩ)|2在Ω=0处值为 ，是通带内最小值；N为奇数时，|Ha(jΩ)|2在Ω=0处值为1，是通带内最大值。

(2)在Ω<Ωp的通带内，幅频响应特性曲线为等波纹，即|Ha(jΩ)|2等幅地在通带最大值和通带最小值之间摆动；随着N的增加，通带波纹增加。

(3)在Ω>Ωp时，即过渡带及阻带中，|Ha(jΩ)|2随Ω增加而单调减小；阶数N值越快，衰减速度越快，过渡带越窄。

3.切比雪夫Ⅱ型(ChebyshevⅡ)滤波器

N阶切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的幅度平方响应的表达式为

其中，N为滤波器阶数，Ωp为通带截止频率，Ωs为阻带截止频率，ε为通带波纹幅度参数，CN(Ω)是N阶切比雪夫多项式。(5.2.12)对几种不同的阶数N，取相同的ε和αs，对阻带截止频率Ωs进行归一化，切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的幅频响应曲线如图5.2.4所示。

图中，阻带最小衰减αs=20dB，通带最大衰减αp=1dB，ε=0.5088。由图中可见：

(1)当Ω=0时，|Ha(j0)|2=1，即滤波器在Ω=0处无幅度衰减。

(2)在Ω<Ωs，即通带和过渡带内，随着Ω增大，|Ha(jΩ)|2单调减小；N越大，过渡带内衰减速度越快，过渡带越窄。图5.2.4切比雪夫Ⅱ型滤波器的幅频响应

(3)在Ω>Ωs的阻带内，幅频响应特性曲线为等波纹，N为偶数时，|Ha(jΩ)|2在Ω>Ωs处值为0，是阻带内最小值；N为奇数时，|Ha(jΩ)|2在Ω=Ωs处值为δs，是阻带内最大值。

4.椭圆(Elliptic)滤波器

N阶椭圆低通滤波器的幅度平方响应的表达式为

其中，N为滤波器阶数，Ωp为通带截止频率，ε为通带波纹幅度参数，UN(·)是N阶雅可比椭圆函数。雅可比椭圆函数是经典场论中的内容，实际设计中该函数需要查表计算，椭圆滤波器由此而来。(5.2.13)又因为在1931年考尔(Cauer)首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔(Cauer)滤波器。

椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图5.2.5所示。由图5.2.5(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹固定时，阶数越高过渡带就越窄；由图5.2.5(b)可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹越小则过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带截止频率Ωp、阻带截止频率Ωs、通带最大衰减αp和阻带最大衰减αs共同决定。相比前几种滤波器，椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性价比最高的滤波器，所以应用非常广泛。图5.2.5椭圆滤波器的幅频响应

5.贝塞尔(Bessel)滤波器

前面四种模拟低通滤波器的设计是以幅频响应指标为基准的，而对相位响应未作任何考虑。在许多应用场合，希望所设计的模拟低通滤波器具有线性相位特性，并能逼近幅度指标。实现这一目标的一种方法是，在满足幅度指标的滤波器后面用一个全通模拟滤波器来校正相位特性，使级联后的总系统在通带内逼近线性相位特性。但这种方法增加了模拟滤波器硬件的复杂度，对于设计A/D变换器中的抗混叠模拟滤波器和D/A变换器中的平滑模拟滤波器，这是不希望的。贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。贝塞尔低通滤波器的系统函数为

Ha(s)为全极点型，并在Ω=0的点提供对线性相位特性好的逼近。即在直流频率(Ω=0点)附近有最平坦的群延时特性。将系统函数的分母多项式BN(s)称为贝塞尔多项式。

图5.2.6(a)和(b)示出了典型的贝塞尔低通滤波器的幅频响应特性曲线和相频特性曲线。应当注意，阶数相同时，贝塞尔滤波器的选择性比上述四种滤波器差。(5.2.14)图5.2.6贝塞尔滤波器的幅频和相频特性

6.五种类型模拟滤波器的比较

前面讨论了五种类型的模拟低通滤波器的设计方法，前四种(巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器)是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种(贝塞尔滤波器)是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。为了正确地选择滤波器类型以满足给定的幅频响应指标，必须比较四种幅度逼近滤波器的特性。为此，下面比较相同阶数的归一化巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器的频率响应特性。图5.2.7中滤波器指标为N=6，归一化截止频率为1、最大通带衰减为1dB、最小阻带衰减为40dB。图5.2.7四种模拟滤波器的幅频特性对比调用MATLAB滤波器设计函数，很容易验证：当阶数相同时，对相同的通带最大衰减αp和阻带最大衰减αs，巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫Ⅰ型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫Ⅱ型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃斯滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。

巴特沃斯和切比雪夫滤波器在大约四分之三的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其它四种滤波器宽得多。另一方面，在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃斯滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。

由上述比较可见，五种滤波器各具特点。工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数(阶数影响处理速度和实现的复杂性)和相位特性的具体要求。例如，在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就应当选择椭圆滤波器。5.2.3模拟低通滤波器的设计

模拟滤波器的一般设计过程如下：

(1)根据信号处理要求确定设计指标；

(2)选择滤波器类型；

(3)计算滤波器阶数；

(4)通过查表或计算确定滤波器系统函数Ha(s)。计算滤波器阶数和求系统函数的公式和方法与所选择的滤波器类型有关。下面主要介绍巴特沃斯滤波器的设计方法。其实，对每种滤波器，都有相应的计算机辅助设计程序或设计函数，因此，最主要的是掌握滤波器设计的基本原理与方法，至于那些复杂的计算公式及其计算过程，在实际设计中都是由计算机完成的。这里以巴特沃斯模拟低通滤波器设计为例进行介绍。

由前述已知，巴特沃斯模拟低通滤波器的特性完全由阶数N和3dB截止频率Ωc确定，所以设计巴特沃斯模拟低通滤波器的过程可分两步：第一步，根据设计指标求阶数N和3dB截止频率Ωc；第二步，求系统函数Ha(s)。下面分别进行推导和介绍。

1.求阶数N和3dB截止频率Ωc

给定模拟低通滤波器的技术指标通带内允许的最大衰减αp、通带截止角频率Ωp、阻带内允许的最小衰减αs和阻带截止角频率Ωs。根据式(5.2.1)和式(5.2.2)，并考虑巴特沃斯滤波器的单调下降特性(若边界频率点满足指标，则其它频率点必然满足要求。)以及Ha(j0)=1，可以得到(5.2.16)(5.2.15)当Ω=Ωp时，幅度平方响应函数为

将上式代入(5.2.15)得

上式两边取指数后可得(5.2.18)(5.2.19)(5.2.17)同理，可得

式(5.2.19)除以式(5.2.20)消去Ωc，得到只有一个未知量N的方程：(5.2.20)(5.2.21)则

N的值为整数，通常N取大于或等于式(5.2.22)的整数。除了用式(5.2.22)计算N外，当阶数较低时，可以用曲线求得N后，由式(5.2.19)和式(5.2.20)均可求得Ωc：(5.2.22)

用式(5.2.23)和式(5.2.24)所求的Ωc均满足指标要求，只是用式(5.2.23)求Ωc时，通带指标刚好满足要求，阻带指标有富裕量；用式(5.2.24)求Ωc时，阻带指标刚好满足要求，通带指标有富裕量。实际设计时根据工程需求灵活选择。(5.2.23)(5.2.24)

2.求系统函数Ha(s)

将巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数写成s的函数：

由上式可知，幅度平方函数有2N个极点，极点为(5.2.25)(5.2.26)式中，k=0，1，…，2N－1个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上(该圆称巴特沃斯圆)，间隔是 。例如N=3，极点间隔为 ，极点分布如图5.2.8所示。为形成稳定的滤波器，取s左半平面的N个极点(k=0，1，…，N－1)构成Ha(s)；而右半平面的N个极点(k=N，N+1，…，2N－1)构成Ha(－s)。

因此，巴特沃斯低通滤波器系统函数Ha(s)可写为(5.2.27)图5.2.8三阶巴特沃斯滤波器极点分布上面介绍的是通过直接计算极点来求系统函数的方法。在实际工程设计时，滤波器设计手册会以表格形式列出各阶巴特沃斯归一化(Ωc=1)低通滤波器的各种参数(见表5.2.1)。由表5.2.1中参数可以写出N阶巴特沃斯归一化低通原型系统函数：(5.2.28)或

G(p)中的分母可选择极点、分母多项式和分母因式三种形式。然后去归一化，得到3dB截止频率为Ωc的低通滤波器系统函数：(5.2.30)(5.2.29)表5.2.1归一化N阶巴特沃思多项式系数

例5.2.1已知通带截止频率为fp=500Hz，通带最大衰减为αp=1dB，阻带截止频率为fs=1000Hz，阻带最小衰减为αs=20dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器，写出系统函数Ha(s)。

解

(1)求阶数N和3dB截止频率Ωc。

所以取N＝5。按式(5.2.24)计算3dB截止频率Ωc为

(2)求系统函数。

由式(5.2.26)，有

得5个极点分别为最后其中，b=9.842×1017，分母多项式系数如下表：

也可查表5.2.1得到

所以所设计滤波器的幅频响应曲线如图5.2.9所示。由此例可见，阶数较高时，计算量很大，而且数据范围也很大。所以，实际工作中，根据技术指标，一般利用计算机辅助来设计模拟低通滤波器。图5.2.9巴特沃斯模拟低通滤波器的幅频响应(例5.2.1)5.2.4高通、带通及带阻滤波器的设计

在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供低通原型到其它各种滤波器的频率变换公式。所以，不论设计哪种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为相应的归一化低通原型滤波器指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，再通过频带转换，将低通的系统函数转换成所需类型的滤波器系统函数。模拟高通、带通、带阻滤波器设计流程如图5.2.10所示。设计过程中涉及的频带变换公式和指标转换公式较复杂，其推导更为复杂。本节首先介绍高通、带通及带阻滤波器的幅度特性参数，然后给出频带变换公式，最后举例说明设计高通、带通和带阻滤波器的方法。对那些繁杂的设计公式推导不作叙述，有兴趣的读者请参阅相关书籍。图5.2.10模拟高通、带通、带阻滤波器设计流程

1.模拟滤波器的幅度特性参数

高通滤波器的幅度特性如图5.2.11(a)所示。图中Ωph和Ωsh分别表示高通滤波器的通带截止频率和阻带截止频率；通带最大衰减和阻带最小衰减仍用αp和αs表示。

带通滤波器的幅度特性如图5.2.11(b)所示。图中Ωpl和Ωpu分别表示带通滤波器的通带下限频率和通带上限频率；Ωsl和Ωsu分别表示带通滤波器的阻带下限频率和阻带上限频率；通带最大衰减和阻带最小衰减仍用αp和αs表示。另外定义Ω0=ΩpuΩpl，称Ω0为通带中心频率；B=Ωpu－Ωpl，称B为通带带宽，一般用B作为归一化参考频率。带阻滤波器的幅度特性如图5.2.11(c)所示。图中Ωpl和Ωpu分别表示带阻滤波器的通带下限频率和通带上限频率；Ωsl和Ωsu分别表示带阻滤波器的阻带下限频率和阻带上限频率；通带最大衰减和阻带最小衰减仍用αp和αs表示。另外定义Ω20=ΩpuΩpl，称Ω0为通带中心频率；B=Ωpu－Ωpl，称B为通带带宽，一般用B作为归一化参考频率。图5.2.11各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图

2.模拟滤波器的频带转换方法

为了叙述方便，用G(p)表示模拟低通滤波器的系统函数，λp、λs和λc分别表示归一化模拟低通滤波器的通带截止频率、阻带截止频率和通带3dB截止频率，高通、带通及带阻滤波器对应的频带变换关系如表5.2.2所示。表5.2.2模拟滤波器的频带变换关系下面举例说明高通、带通及带阻模拟滤波器的方法。

例5.2.2设计模拟高通滤波器，fp=4kHz，fs=1kHz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为αp=0.1dB，阻带最小衰减αs=40dB。

解

(1)高通技术指标：

fp=4kHz，αp=0.1dB

fs=1kHz，αs=40dB

归一化频率为

(2)归一化低通技术指标：

(3)设计低通HLP(q)。采用巴特沃斯滤波器时，有取N＝5按式(5.2.24)计算3dB截止频率λc为

查表得归一化系统函数为

去归一化得

(4)求模拟高通HHP(s)：

其中，分母多项式系数如下表：

HLP(q)和HHP(s)的幅频响应曲线如图5.2.12所示。图5.2.12例5.2.2所得低通、高通滤波器幅频响应

例5.2.3设计模拟带通滤波器，通带截止频率为4kHz和7kHz，阻带截止频率为2kHz和9kHz，通带最大衰减为1dB，阻带最小衰减为20dB。

解

(1)模拟带通滤波器的指标为

fpl=4kHz，fpu=7kHz，αp=1dB

fsl=2kHz，fsu=9kHz，αs=20dB

此时通带中心频率为

f20=fplfpu=4000×7000=28×106

通带带宽为

B=fpu－fpl=7000－4000=3kHz

(2)归一化低通技术指标，根据表5.2.1可得

λs与－λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的值，即λs=1.963，这样在λs=1.963处的衰减能达到20dB，在λ=4处的衰减更能满足要求。

(3)设计低通HLP(q)。采用巴特沃斯滤波器时

按式(5.2.24)计算3dB截止频率λc为，取N＝5查表得归一化系统函数为

去归一化得

(4)求模拟带通HBP(s)：

其中，分子系数b5=6.9703×1021，分母多项式系数如下表：

由运算结果可知，带通滤波器是2N阶的。HLP(q)和HBP(s)的幅频响应曲线如图5.2.13所示。模拟带阻滤波器的设计过程与带通滤波器相近，在此就不再举例说明了。图5.2.13例5.2.3所得低通、高通滤波器幅频响应5.3利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计IIR数字低通滤波器是经常用的方法。其设计过程如下：

(1)将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标；

(2)设计相应原模拟滤波器，得到模拟低通滤波器的系统函数Ha(s)；

(3)将Ha(s)转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。

这样设计的关键是建立S平面与Z平面的映射关系，将S平面上的Ha(s)转换成Z平面上的H(z)。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，转换关系必须满足以下两个要求：

(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。也就是说，S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内。

(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，即S平面的虚轴必须映射到Z平面的单位圆上。如图5.3.1所示。

S平面与Z平面的映射方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。本节重点介绍这两种设计方法，并分析设计效果。图5.3.1

S平面到Z平面的映射关系5.3.1脉冲响应不变法

1.转换原理

脉冲响应不变法实际上是模拟滤波器离散化(将模拟滤波器转换成数字滤波器)的一种方法。这种转换方法的基本思想是波形逼近，使离散化后的数字滤波器的单位冲激响应h(n)最逼近模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)。根据这种设计思想，利用拉普拉斯变换和Z变换，可推导出用脉冲响应不变法从Ha(s)转换成H(z)的公式。推导思路如图5.3.2所示。图5.3.2脉冲响应不变法推导思路为了简化推导，设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点si(i=1，2，…，N)，且分母多项式的阶次高于分子多项

式的阶次，则Ha(s)可以用如下部分分式表示：

(1)对Ha(s)进行拉普拉斯逆变换，可得到单位冲激响应ha(t)：(5.3.2)(5.3.1)

(2)对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到数字滤波器的单位冲激响应h(n)：

(3)对h(n)进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：

(4)对比式(5.3.3)和式(5.3.4)可知，Ha(s)的极点si映射到Z平面，其极点变成，系数Ai不变化。对Ha(s)有多阶极点以及分子阶次高于分母阶次的复杂情况，其设计公式推导较为复杂，有兴趣的读者可参考相关资料。(5.3.4)(5.3.3)

2.S平面到Z平面的映射关系

由以上分析得出了S平面到Z平面的极点映射关系：

这里我们以采样信号作为桥梁，推导S平面到Z平面的映射关系。

设ha(t)的采样信号为，根据理想采样过程，可表示为(5.3.5)对进行拉普拉斯变换，得到(5.3.6)由于 ，可见采样信号的拉普拉斯变换与相应的序列的Z变换H(z)之间的映射关系可用下式表示：

z=esT

(5.3.7)

为了进一步分析这种映射关系，将s表示为

s=σ+jΩ

(5.3.8)

而将z表示为

z=rejω

(5.3.9)

代入式(5.3.7)，得到

rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

(5.3.10)

因此

r=eσT

ω=ΩT(5.3.11)总结S平面到Z平面的映射关系如下：

(1)z的模r仅对应于s的实部σ，由此可得：

σ=0，r=1，S平面的虚轴映射为Z平面的单位圆上；

σ<0，r<1，S平面左半平面映射为Z平面的单位圆内；

σ>0，r>1，S平面右半平面映射为Z平面的单位圆外。

这说明如果Ha(s)因果稳定，转换后得到的H(z)仍是因果稳定的。

(2)z的幅角ω仅对应于s的虚部Ω，即数字频率与模拟频率之间是线性关系，这是脉冲响应不变法的优点之一。

(3)由于z=esT是一个周期函数，可写成

由式(5.3.12)可知，当σ不变，模拟频率Ω从变化到时，数字频率ω则从－π变化到π。这表明，将S平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为的水平带，每条水平带都将重叠映射到整个Z平面。此时 所在的S平面与H(z)所在的Z平面的映射关系如图5.3.3所示。(5.3.12)，M为任意整数

图5.3.3脉冲响应不变法时S平面与Z平面的映射关系

3.混叠现象

我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足式(2.4.5)，重写如下：

将ω=ΩT代入上式，得(5.3.13)(5.3.14)上两式说明，数字滤波器频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓函数。所以，如果模拟滤波器具有带限特性，而且T满足采样定理，则数字滤波器频率响应完全模仿了模拟滤波器频率响应。这是脉冲响应不变法的最大优点。但是，有限阶数的模拟滤波器并不是带限的，实际上总是存在频谱混叠失真，如图5.3.4所示。现以一个具体的例子来说明混叠失真的影响。图5.3.4脉冲响应不变法的频率混叠失真

例5.3.1二阶巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数Ha(s)为

用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)，并对采样周期T取不同值，观察频谱混叠失真现象。

解采用待定系数法将Ha(s)部分分式展开：Ha(s)的极点为

比较分子分母系数，得到关于待定系统A1和A2的方程组：代入s1和s2的值求解，得到

按照式 ，得到通分并化简整理得

其中，

T分别取0.2s、0.1s、0.05s时，模拟滤波器和数字滤波器的幅频特性曲线如图5.3.5所示。采样周期T越小，频谱混叠失真越小。图5.3.5例5.3.1的幅度特性由图5.3.4可见，频谱混叠失真会使数字滤波器在ω=π附近的频率响应偏离模拟滤波器频响特性曲线，混叠严重时使数字滤波器不满足阻带衰减指标。所以，脉冲响应不变法不适合设计高通和带阻滤波器。

为了减少频谱混叠失真，通常采取以下措施：

(1)选用具有锐截止特性的模拟滤波器。

(2)提高采样频率(1／T)。

(3)采用双线性变换法(此法可彻底消除频谱混叠失真)。

4.设计步骤

因为数字频率与模拟频率之间是线性关系，因此用脉冲响应不变法设计数字滤波器是很简单的，其步骤如下：

(1)利用ω=ΩT，将ωp、ωs转换成Ωp、Ωs，而αp、αs不作变化。

(2)设计模拟低通滤波器Ha(s)。

(3)利用式(5.3.1)和(5.3.4)，将Ha(s)转换为H(z)。

例5.3.2用脉冲响应不变法设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2π时，容许幅度误差在1dB以内，在频率0.4π到π之间的阻带衰减大于15dB，指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。

解

(1)将数字低通的技术指标转换为模拟低通的技术指标。

(2)设计模拟低通滤波器Ha(s)，取T=1s。

取N=4。查表得归一化系统函数为其中，

A1=0.3536+j0.3536，A2=0.3536－j0.3536

A3=－0.8536+j0.8536，A4=－0.8536－j0.8536

p1=－0.3827+j0.9239，p2=－0.3827－j0.9239

p3=－0.9239+j0.3827，p4=－0.9239－j0.3827

按式(5.2.24)计算3dB截止频率Ωc为去归一化得

其中，

si=Ωcpi，Bi=ΩcAi

(3)将Ha(s)转换成H(z)：如果取T=1ms，可得到同样的设计结果。图5.3.6同时给出了T=1s和T=1ms时，G(jΩ)和H(ejω)的幅频曲线。从图中可以看出，数字滤波器基本满足技术指标要求，但是，由于频谱混叠失真，使数字滤波器在ω=π附近衰减明显小于模拟滤波器在f=fs/2(图(a)f=0.5Hz处，图(c)f=500Hz处)附近的衰减。图5.3.6例5.3.2的幅度特性对比例5.3.1和例5.3.2，总结采样间隔T对滤波器设计的影响：

(1)如果直接由模拟低通滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器H(z)，则T的取值对转换结果有影响，即T不同，则H(z)不同，频率响应当然也不同。对于脉冲响应不变法，T值越大，会使频谱混叠失真越严重。

(2)如果给定数字滤波器指标，先模拟滤波器，再转换成数字滤波器。此时在数字指标转换为模拟指标和S平面到Z平面的两次转换时都用到了T，这两次变换是互逆过程，所以T的影响可相互抵消。若没有特别说明，在设计时一般取T=1，以图方便。脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即ω=ΩT，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。另外一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。

当模拟低通的最高截止频率超过了折叠频率π/T时，会在数字化后产生频谱混叠，再通过标准映射关系z=esT，结果在ω=π附近形成频谱混叠现象。使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。频谱混叠现象是脉冲响应不变法最大的缺点，因此这种方法只适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。5.3.2双线性变换法

1.转换原理

脉冲响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但会产生频率混叠现象，这是由从S平面到Z平面的多值映射所造成的。为了克服这一缺点，对脉冲响应不变法进行改进，采用非线性频率压缩的方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上，如图5.3.7所示。图5.3.7双线性变换法的映射关系为了实现S平面上整个虚轴jΩ完全压缩到S1平面上虚轴jΩ1的±π/T之间的转换，利用正切变换实现频率压缩：

式中，K为任意正实常数，通常取 。当Ω1从 经过0变化到时，Ω则由－∞经过0变化到＋∞，映射了整个虚轴。将这个关系解析延拓到整个S平面和S1平面，则得到(5.3.15)(5.3.16)再将S1平面通过

转换到Z平面上，得到

同样对z求解，得

式(5.3.17)和式(5.3.18)为双线性变换法的变换公式，由于是s域与z域单值可逆映射变换，所以不会产生频谱混叠失真。(5.3.18)(5.3.17)

2.S平面到Z平面的映射关系

双线性变换法的映射情况如图5.3.7所示。从S平面映射到S1平面，再从S1平面映射到Z平面，下面分析S平面到Z平面的映射关系。对于s=σ+jΩ，根据式(5.3.18)可得(5.3.19)因此

由式(5.3.20)可得以下结论：

σ=0，|z|=1，S平面的虚轴映射为Z平面的单位圆上；

σ<0，|z|<1，S平面左半平面映射为Z平面的单位圆内；

σ>0，|z|>1，S平面右半平面映射为Z平面的单位圆外。(5.3.20)这样如果Ha(s)因果稳定，转换后得到的H(z)也是因果稳定的。同时，由于S平面到Z平面是一种单值映射关系，因此消除了频率混叠现象，这是双线性变换法相比脉冲响应不变法而言最大的优点。

下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。令s=jΩ，z=ejω，并代入式(5.3.17)中，有

即(5.3.21)(5.3.22)上式说明，模拟频率Ω和数字频率ω成非线性正切关系，如图5.3.8所示。很明显，S平面的整个负虚轴从Ω=－∞到Ω=0映射到Z平面的单位圆周从ω=－π(即z=－1)到ω=0(即z=1)的下半部分；而S平面的整个正虚轴从Ω=0到Ω=+∞映射到Z平面的单位圆周从ω=0(即z=1)到ω=+π(即z=－1)的上半部分；频率轴是单值变换关系，且Ω→∞时，ω→π，即奈奎斯特折叠频率。故不会有高于折叠频率的分量，这就避免了频率混叠现象。但这种映射的非线性程度是很高的，在ω=0附近还比较接近线性关系；当ω增加时，Ω增加得愈来愈快，在Ω与ω之间出现了严重的非线性关系。图5.3.8双线性变换法的频率映射关系

3.频率畸变

双线性变换法的模拟频率Ω和数字频率ω成非线性正切关系，正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象，但也导致了频率轴的失真，称为频率畸变。畸变的效果如图5.3.9所示。如果模拟滤波器的频响具有片断常数特性(即某一段频率的幅频特性近似等于某一常数)，则转换到Z平面数字滤波器仍具有片断常数特性，但在特性转折点发生了频率畸变。因此，为了设计满足特定幅度响应的数字滤波器，首先要利用式(5.3.22)。将各频带的边缘频率预先加以畸变，从而找到它们的等效模拟频率，再利用预畸后的边缘频率设计模拟原型滤波器Ha(s)，然后对Ha(s)进行双线性变换，得

到所需的数字滤波器H(z)。图5.3.9双线性变换法的频率非线性畸变注意，只有当滤波器幅频响应具有片断常数特性时，经双线性变换后，才能得到与模拟滤波器具有相同片断常数幅频特性的数字滤波器，但在变换后，对于不是片断常数的相位特性仍有非线性失真。因此，双线性变换法适用于设计具有片断常数特性的数字滤波器。在实际中，一般设计滤波器通带和阻带均要求是片断常数，因此双线性变换法得到了广泛的应用。

4.滤波器设计步骤

对照脉冲响应不变法的设计过程，双线性变换法的设计步骤如下：

(1)利用 ，对ωp、ωs进行预畸，得到对应的Ωp、Ωs，而αp、αs不作变化。

(2)设计模拟低通滤波器Ha(s)。

(3)利用式(5.3.18)，将Ha(s)转换为H(z)。

例5.3.3试用双线性变换法设计一个低通数字滤波器，给定技术指标是fp=100Hz，fs=200Hz，αp=1dB，αs=15dB，抽样频率Fs=1000Hz。

解首先根据已知条件，得到数字频率指标：

这即是例5.3.2给出的技术指标。

(1)将数字低通的技术指标转换为模拟低通的技术指标：

为简化计算取T=2s，有

(2)设计模拟低通滤波器Ha(s)：取N=3，查表得

按式(5.2.24)计算3dB截止频率Ωc为

去归一化，得到实际的系统函数Ha(s)为

(3)将Ha(s)转换成H(z)：

图5.3.10给出了用双线性变换法设计出的数字滤波器的幅频曲线。从图(a)可以看出，ω=π附近曲线迅速地下降到零，无频谱混叠失真，这正是双线性变换法对模拟频率进行非线性压缩的结果。从图(b)可以看出，数字滤波器完全符合技术要求。图5.3.10例5.3.3的幅频特性5.3.3高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计

前面我们已经学习了模拟低通滤波器的设计方法，基于s域频率变换的模拟高通、带通、带阻滤波器的设计方法，基于脉冲响应不变法和双线性变换法的数字低通滤波器设计方法。在此基础上我们很容易得到高通、带通及带阻数字滤波器的设计方法。其设计的过程如图5.3.11所示。图5.3.11

IIR数字滤波器设计流程具体设计步骤如下：

(1)确定数字滤波器的技术指标。

(2)选择合适的设计方法，将数字滤波器的技术指标转换成相应的模拟滤波器的技术指标。

脉冲响应不变法的转换公式为

双线性变换法的转换公式为

(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。

(4)设计模拟低通滤波器。

(5)将模拟低通滤波器通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。

(6)采用脉冲响应不变法或双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。注意：如果设计的是数字低通或者数字带通滤波器，既可采用脉冲响应不变法，也可采用双线性变换法，将模拟低通或者模拟带通滤波器转换成数字低通或者数字带通滤波器。而对数字高通或者数字带阻滤波器则只能采用双线性