北京市丰台区名校2025届数学九上期末综合测试试题含解析

北京市丰台区名校2025届数学九上期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图．将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图．将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图．连结AE、AF、BE、BF，如图．经过以上操作，小芳得到了以下结论：；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（）A．60° B．65° C．70° D．80°3．下列说法正确的是（）A．25人中至少有3人的出生月份相同B．任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上C．天气预报说明天降雨的概率为10%，则明天一定是晴天D．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是4．关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（）A．经过点(﹣1，﹣4)B．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形C．无论x取何值时，y随x的增大而增大D．点(，﹣8)在该函数的图象上5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则是A． B． C． D．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB=30°，CD=6，则阴影部分面积为（）A．π B．3π C．6π D．12π7．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝08．的值等于（）A． B． C．1 D．9．如图，四边形内接于，若，则（）A． B． C． D．10．抛物线y=x2+bx+c过(-2，0)，(2，0)两点，那么抛物线对称轴为（）A．x=1 B．y轴 C．x=-1 D．x=-2二、填空题(每小题3分,共24分)11．把二次函数变形为的形式为_________．12．如图，的顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，AB中点P恰好落在y轴上，则的面积为_____．13．如图,是⊙O上的点,若,则___________度．14．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2＝____．15．在矩形中，点是边上的一个动点，连接,过点作与点,交射线于点,连接,则的最小值是_____________16．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是_____km．17．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝________．18．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__．三、解答题(共66分)19．（10分）（1）计算:（2）化简：20．（6分）将一副直角三角板按右图叠放．(1)证明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB与△DOC的面积之比．21．（6分）已知抛物线yx2mx2m4（m>0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，A，B，三点都在圆P上．①若已知B（-3，0），抛物线上存在一点M使△ABM的面积为15，求点M的坐标；②试判断：不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由．22．（8分）如图1,在矩形ABCD中AB=4,BC=8,点E、F是BC、AD上的点，且BE=DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形.(2)如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长.(3)如图2,在(2)的条件下，取AB、CD的中点G、H,连接DG、BH,DG分别交AE、CF于点M、Q,BH分别交AE、CF于点N、P,求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积。23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．24．（8分）某校要求九年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解九年级学生参加球类活动的整体情况，现以九年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：九年级2班参加球类活动人数统计表项目篮球足球乒乓球排球羽毛球人数a6486根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）该校九年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约人；（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有2位男同学（A，B）和2位女同学（C，D），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．25．（10分）已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离．26．（10分）用适当的方法解下列方程：(1)4x2－1＝0；(2)3x2＋x－5＝0；

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；设圆的半径为r，求出EN=，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．【详解】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，∴∠BMD=90°，∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴∠BNF=90°，∴∠BMD=∠BNF=90°，∴CD∥EF，故①正确；根据垂径定理，BM垂直平分EF，又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴BN=MN，∴BM、EF互相垂直平分，∴四边形MEBF是菱形，故②正确；∵ME=MB=2MN，∴∠MEN=30°，∴∠EMN=90°-30°=60°，又∵AM=ME（都是半径），∴∠AEM=∠EAM，∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，同理可求∠AFE=60°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r，则EN=，∴EF=2EN=，∴S四边形AEBF：S扇形BEMF=故④正确，综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．2、D【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.3、A【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，故概率是，原说法错误，故这个选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．4、D【分析】反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．【详解】∵当时，∴点（，﹣8）在该函数的图象上正确，故A、B、C错误，不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质及代入求点坐标是解题的关键．5、A【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∴sinA=，故选A.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6、D【解析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：连接BC，∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，又∵CO=BO，∴△COB是等边三角形，∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，∵CD=6，∴EC=3，∴sin60°×CO=3，解得：CO=6，故阴影部分的面积为：=12π．故选：D．【点睛】此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．7、C【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．8、A【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.【详解】.故选：A.【点睛】此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.9、C【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠C＝180°×＝105°．【详解】∵∠A＋∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，∴∠C＝180°×＝105°．故选：C．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补．10、B【分析】由二次函数图像与x轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（2，0），

∴这条抛物线的对称轴是：x=，即对称轴为y轴；故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式x=求解．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】利用配方法变形即可.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的的解析式，熟练掌握配方法是解题的关键.12、1【分析】过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，得到∠AED=∠BDP=90°，根据全等三角形的性质得到S△BDP=S△AED，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△OBD=3，S△AOE=4，于是得到结论．【详解】解：过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，

∴∠AED=∠BDP=90°，

∵点P是AB的中点，

∴BP=AP，

∵∠BPD=∠APE，

∴△BPD≌△APE（AAS），

∴S△BDP=S△AED，∵顶点A在双曲线，顶点B在双曲线上，∴S△OBD=3，S△AOE=4，

∴△OAB的面积=S△OBD+S△AOE=1，

故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．13、130°.【分析】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理先求出∠ADB的度数，再利用圆内接四边形对角互补进行求解即可.【详解】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=100°，∴∠ADB=∠AOB=50°，∴∠ACB=180°﹣∠ADB=130°．故答案为130°．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键．14、【分析】直接利用根与系数的关系求解．【详解】解：根据题意得x1+x2═故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．15、【分析】根据题意可点G在以AB为直径的圆上,设圆心为H,当HGC在一条直线上时，CG的值最值，利用勾股定理求出CH的长，CG就能求出了.【详解】解：点的运动轨迹为以为直径的为圆心的圆弧。连结GH,CH,CG≥CH-GH,即CG=CH-GH时，也就是当三点共线时，值最小值.最小值CG=CH-GH∵矩形ABCD,∴∠ABC=90°∴CH=故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形三边的关系.CGH三点共线时CG最短是解决问题的关键.把动点转化成了定点，问题就迎刃而解了..16、2.1【解析】试题分析：设这条道路的实际长度为x，则：，解得x=210000cm=2.1km，∴这条道路的实际长度为2.1km．故答案为2.1．考点：比例线段．17、-3【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.【详解】解：∵A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，∴A,B两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，∴抛物线的对称轴是直线x=-3.【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.18、6【分析】由平行得比例，求出的长即可．【详解】解：，，，，解得：，故答案为：6.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）1；（2）【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；（2）根据分式的运算法则计算即可.【详解】解：（1）原式=2+=1；（2）.【点睛】本题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.20、(1)见解析；(2)1：1【分析】（1）推出∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，就可得△AOB∽△COD；（2）设BC=a，则AB=a，BD=2a，由勾股定理知：CD=a，得AB：CD=1：，根据相似三角形性质可得面积比.【详解】解：(1)∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD(2)设BC=a，则AB=a，BD=2a由勾股定理知：CD=a∴AB：CD=1：∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：1．【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解相似三角形的判定和性质是关键.21、（1）见解析；（2）①M或或或；②是，圆P经过y轴上的定点（0,1）．【分析】（1）令y=0，证明，即可解答；（2）①将B（-3，0）代入yx2mx2m4，求出抛物线解析式，求出点A的坐标，从而得到AB=5，根据△ABM的面积为15，列出方程解答即可；②求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论．【详解】解：（1）当y=0时，x2mx2m4=0∴，∵m>0，∴，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）①将B（-3，0）代入yx2mx2m4得：，解得m=1，∴yx2x6，令y=0得：x2x6=0，解得：，∴A（2,0），AB=5，设M（n，n2n6）则，即解得：，∴M或或或．②是，圆P经过y轴上的定点（0,1），理由如下：令y=0，∴x2mx2m4=0，即，∴或，∴A（2,0），，∴OA=2，OB=m+2，令x=0，则y=-2(m+2)，∴OC=2(m+2)，如图，∵点A，B，C在圆P上，∴∠OCB=∠OAF，在Rt△BOC中，，在Rt△AOF中，，∴OF=1，∴点F（0,1）∴圆P经过y轴上的定点（0,1）．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，求出点A，B，C的坐标，根据圆的性质得出∠OCB=∠OAF是解本题的关键．22、（1）见解析；（2）菱形AECF的边长为5；（3）距离为，面积为【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，又BE=DF，所以AF∥EC，AF=EC，从而可得四边形AECF为平行四边形；（2）设菱形AECF的边长为x，依据菱形的性质可得AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中运用勾股定理可求解；（3）先由中位线的性质得出CH=2，OH=1.5，再证明△PQH∽△PCB，根据相似三角形的性质得出h的w的值，再求出四边形MNPQ的面积即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE=DF，∴AD∥BC，AD=BC，∴AF∥EC，AF=EC，∴四边形AECF为平行四边形.（2）解：设菱形AECF的边长为x，∵四边形AECF为菱形，AB=4，BC=8，∴AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2即x2=42+（8－x）2，解得x=5，∴菱形AECF的边长为5.（3）连接GH交FC于点O，设点P到BC的距离为h，∵G、H分别为AB、CD的中点，∴OH是△CDF的中位线，CH=2，∴△POH∽△PCB，∵DF=8－5=3，∴QH=1.5，∴，解得h=，由P到BC的距离可得N到BC的距离为，四边形NECP的面积为，菱形面积为5×4=20；∴四边形MNPQ面积为=菱形AECF的面积-四边形NECP的面积×2=20-×2=【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握对应关系是解此题的关键．23、（1）证明见试题解析；（2）1；（3）．【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD＝x，CD，BD，BO用x表示出来，所以可得BD长.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.试题解析：（1）证明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠ACB＝∠DOB＝90°,又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．（2）∵AD平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,∴DO＝DC,在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,∵△DOB∽△ACB,∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,设BD＝x，则DO＝DC＝x，BO＝x,∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝,1，即：BD＝1．（3）∵点B与点B′关于直线DO对称，∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角,∴当△AB′D是等腰三角形时，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O＋BO＝10，∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，∴当△AB′D为等腰三角形时，BD＝.点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.③角平分线+平行线→等腰三角形：如图（3），已知平分，，则；如图（4），已知平分，