7.3离散型随机变量的数字特征-人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

第七章随机变量及其分布第七章随机变量及其分布知识点1-----知识点1-----离散型随机变量的均值7.3离散型随机变量的数字特征1．离散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为XP则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.2．两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么3．离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为，一般地，下面的结论成立:随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.注意注意:E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的，可取不同的值,而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.知识点知识点2-----离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如下表所示：XP考虑X所有可能取值与的偏差的平方,，…,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为2.几个常见的结论（1）（2）如果随机变量X服从两点分布，那么随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中;方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.方法突破方法突破求离散型随机变量的均值与方差的步骤:(1)明确离散型随机变量的取值，以及取每个值的试验结果;(2)求出离散型随机变量取各个值的概率;(3)列出分布列;(4)利用公式求出离散型随机变量的均值E(X)与方差D(x).经典例题经典例题例题1.袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ（

）A.

2627

B.

2827

C.

8【答案】A【解析】由题意可得ξ的取值为0，1，2，P(ξ=0)=(1-1P(ξ所以数学期望Eξ=0故答案为：A首先得到随机变量ξ的取值，再分别写出概率，再根据期望公式计算Eξ例题2.已知随机变量Xi满足P(Xi=1)=pi，P(XA.

E(X1)<E(X2)，D(X1)<D(X2)

B.

【答案】C【解析】依题意可知：X01P1pX01P1p由于12<p1<p2<1，不妨设p故答案为：C.例题3.已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<12A.

E(ξ1<)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B.

E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

C.

E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D.

E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)【答案】A【解析】∵E(ξ1)=p1,∵D(ξ∴D(ξ1)-D(ξ2)=(故答案为：A．例题4.某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求t的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为12，13，14，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望值E【答案】（1）解：由(0.005+t+0.020+0.025+0.030+0.005)×10=1得平均得分=45×95×（2）解：由已知得：ξ=0，1，2，3，P(ξP(ξP(ξP(ξ则分布列为：ξ0123期望E(【解析】(1)结合已知条件由频率分布柱状图中的数据结合平均数公式计算出答案即可。

(2)根据题意首先求出ξ的取值再由概率的公式计算出对应的每一个ξ的概率值，由此即可得出分布列再把数值代入到期望公式计算出结果即可。例题5.随着生活质量的提升，家庭轿车保有量逐年递增.方便之余却加剧了交通拥堵和环保问题.绿色出行引领时尚，共享单车进驻城市黄泽市有统计数据显示.2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年齡分为“年轻人”(20岁~391岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的经常使用共享单车的称为“单车族”.使用次数为5次或不足5次的称为“非单车族”.已知在“单车族”中有56是“年轻人（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为400的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并判断是否有95%使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计单车族非单车族合计（2）若将（1）中的频率视为概率，从该市市民中随机任取3人，设其中既是“单车族”又是“非年轻人”的人数为随机变量X,求X的分布列与期望参考数据:独立性检验界值表P(0.150.100.050.0250.01k02.0722.7063.8415.02460635其中，n=a+b+【答案】（1）解：补全的列联表如下:年轻人非年轻人合计单车族20040240非单车族12040160合计32080400∴K（K2即有95%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关（2）解：由（1）的列联表可知，既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的频率为40400即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻人”的概率为0.1,随机变量X可取0,1,2,3P(P(P(P(则X~∴XX0123P0.7290.2430.0270.001∴X的数学期望E【解析】（1）补全的列联表，求出K2≈4.167>3.841，从而有95%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关;

（2）既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的频率为10%，从而X～B（3，0.1），由此能出X的分布列和数学期望E例题6.已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数．（1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求X=3的概率；（2）求X的分布列与数学期望．【答案】（1）解：Ai=“第i次验血结果呈阳性”，i∈{1,2,3,4,5,6}，表示若A1发生，则需从2只患病小白鼠中选择1故符合条件的排列顺序共有C21A若A1与X=3同时发生，则其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有A22所以概率为P(（2）解：随机变量X的可能取值为2,3,4,5，可得P(XP(XP(X故P(故X的分布列是X2345P115215415815数学期望E(【解析】（1）由题意可得第一只阳性且x=3对应的可能事件为两只患病小鼠在第一次和第三次测，其余4只任意排，求出对应的结果数，再求出总的结果数，根据条件概率公式即可求解；

（2）求出X的可能取值，再求出对应的概率，由此即可求解．随堂练习随堂练习练习1.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的数学期望是（

A.

20183

B.

21483

C.

22481

D.

239练习2.已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则Eξ=（

）A.

145

B.

135

C.

73

D.

8练习3.甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i（i=1,2,3）个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E1（i），E2（i），则以下结论错误的是（

）

A.

E1（1）＞E2（1）

B.

E1（2）=E2（2）

C.

E1（1）+E2（1）=4

D.

E1（3）＜E2（1）练习4.某电子产品加工厂购买配件M并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件M，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为34，23，丙部门检修合格的概率为12（1）求该工厂购买的任一配件M可以进入市场销售的概率．（2）已知配件M的购买价格为80元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为8元/个，丙部门的检修成本为16元个，若配件M加工成型进入市场销售，售价可达200元/个；若配件M报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件M的成型产品，试估计该工厂加工5000个配件M的利润．（利润=售价-购买价格-加工成本）练习5.太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：日照情况日均气温不低于15℃日均气温低于15℃日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时日照不足耗电5千瓦时耗电10千瓦时日照严重不足耗电15千瓦时耗电20千瓦时根据调查，当地每天日照充足的概率为25，日照不足的概率为25，日照严重不足的概率为15.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，（1）求图中a的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）练习6.有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中､每只球的放置相互独立.（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录至少有一只球的盒子.以X表示这些盒子编号的最大值，求EX.参考答案参考答案练习1【答案】C【解析】用Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k则P(Ak)=X的所有可能取值为2,3,4,5，且P(XP(XP(XP故X的分布列为X2345P52108E(故答案为：C.练习2【答案】A【解析】ξ的可能取值为2,3,4.ξ=2表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故Pξ=3表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故Pξ=4表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故P所以Eξ=2×9练习3【答案】D【解析】解：根据题意用X表示交换后甲盒子中的红球个数，Y表示交换盒子后乙盒子中的红球个数；

当i=1时，就有P(X=2)=P(Y=2)=C31·C31C41·C41=916,P(X=4)=P(Y=0)=C11·C11C41·C41=116

练习4【答案】（1）解：记任一配件M加工成型可进入市场销售为事件A，甲、乙两道工序分别处理成功为事件B，C，丙部门检修合格为事件D．则P(A)=（2）解：设该工厂加工5000个配件M的利润为Y元，加工一个配件M的利润为X元，则Y=5000X由题可知X的所有可能取值为104，88，-96，-112，则P(XP(XP(XP(XX的分布列为X10488-96-112P12524112524∴E(X∴E(∴估计该工厂加工5000个配件M的利润为19.5万元【解析】（1）根据题意利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；

（2）结合已知条件设加工5000个配件M的利润为Y，加工一个配件M的利润为X，则Y=5000X，求X的所有可能取值及对应的概率，即可得出答案．练习5【答案】（1）解：依题意得a=一年中日均气温不低于15℃的频率为0.03×（2）解：这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为34，一年中日均气温低于