6.3 对数函数（十三大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练

第第页6.3对数函数课程标准学习目标（1）理解对数函数的概念及图象、性质，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养.（2）结合对数函数的图象理解反函数的概念，掌握对数型函数的有关性质，发展直观想象素养、数学抽象素养及数学运算素养.（1）理解对数函数的概念.（2）初步掌握对数函数的图象和性质.（3）能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.知识点01对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点诠释：（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．故选：A．知识点02对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点诠释：关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．【即学即练2】（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域上是增函数 D．的值域为【答案】AB【解析】对于选项,函数的定义域为，解得，即的定义域为，所以正确；对于选项,，即为奇函数，所以正确；对于选项,，在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，所以不正确；对于选项,因为的定义域为，所以，即，所以不正确；故选：.知识点03底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】B【解析】因为，（3）是，（4）是，又与关于轴对称，（1）是．故选：B．知识点04反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．知识点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．【即学即练4】33．（2023·高一校考课时练习）若函数的图象与且的图象关于直线对称，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，即，解得：；与图象关于对称，.故选：A.

题型一：对数函数定义的判断例1．（2023·黑龙江双鸭山·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B．C．（，） D．【答案】B【解析】对于A，真数为，而不是，故A不是对数函数；对于B，底数为常数，且，真数为，且函数系数为1，故B是对数函数；对于C，真数为常数，而不是，故C不是对数函数；对于D，真数为，而不是，故D不是对数函数．故选：B．例2．（2023·高一校考课时练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以．例3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C变式1．（2023·全国·高一随堂练习）若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以故选：B【方法技巧与总结】判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．题型二：利用对数函数的定义求参数例4．（2023·全国·高一专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且【答案】C【解析】∵函数是对数函数，∴，且，解得或，∴，故选：C．例5．（2023·高一课时练习）若函数的图象过点，则（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【解析】由已知得，所以，解得：，故选：A．例6．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】根据函数过的点即可求出，进而求出的值.令，由图可知：，，即，解得：，故，故选：C.变式2．（2023·北京东城·高一校考期中）函数为对数函数，则．【答案】4【解析】由题意知，，故答案为：4.变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是对数函数，则．【答案】1【解析】因为函数是对数函数，则，解得．故答案为：1.变式4．（2023·全国·高一专题练习）函数是对数函数，则实数a＝.【答案】1【解析】由题意得，解得或1，又且，所以故答案为：1【方法技巧与总结】的系数为1题型三：求对数函数的表达式例7．（2023·高一课时练习）已知对数函数过点，则的解析式为.【答案】【解析】设，结合已知有，∴，又且，∴，则，故答案为：.例8．（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为.【答案】【解析】设对数函数的解析式为(且)，由已知可得，即，解得，即函数解析式为，故答案为：例9．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习），当；，则【答案】（答案不唯一）【解析】对于且定义域为，则，x、y为正数，满足，，显然满足条件.故答案为：（答案不唯一）变式5．（2023·甘肃白银·高一统考开学考试）写出一个满足且不是常数函数的函数：．【答案】（答案不唯一）【解析】若，则，故符合题意的函数可以为.故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数同时满足（1）；（2），其中，则符合条件的一个函数解析式＝．【答案】（答案不唯一）【解析】由（2）知：在上递减，由（1），结合对数的运算性质知：，则，综上，且，故满足要求.故答案为：（答案不唯一）变式7．（2023·全国·高一随堂练习）已知为对数函数，，则．【答案】1【解析】设（，且），则，∴，即，∴，∴．故答案为：1.变式8．（2023·全国·高一专题练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为.【答案】【解析】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以.故答案为：【方法技巧与总结】待定系数法题型四：对数型函数过定点问题例10．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）函数（且）的图象恒过点．【答案】【解析】由函数，令，即，可得，所以函数恒过定点.故答案为：.例11．（2023·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为．【答案】【解析】令得，又，所以函数过定点即的坐标为故答案为：例12．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象必过定点．【答案】【解析】函数，则：令，解得，当时．故函数的图象必过定点为．故答案为：．变式9．（2023·全国·高一专题练习）函数（，且）的图象恒过点．【答案】【解析】令，解得，此时，故（，且）的图象恒过点.故答案为：变式10．（2023·高一课时练习）函数的图象过定点．【答案】【解析】∵令，则，，∴该函数过定点．故答案为：变式11．（2023·高一课时练习）函数（且）恒过定点.【答案】【解析】令得，此时，所以函数恒过定点.故答案为：.【方法技巧与总结】令真数为1求解.题型五：对数函数的图象问题例13．（2023·全国·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；对于C，时，为上增函数，图象错误；对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B例14．（2023·全国·高一假期作业）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知，当时，，当时，，故，故选：D例15．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】的定义域为且，因为，所以为奇函数，排除A，D，当时，，B错误，故选：C.变式12．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由已知得函数的定义域为，∵

，∴为奇函数，令，则，其中

，故，排除,令，，其中，故，排除,故选：.变式13．（2023·全国·高一专题练习）若，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，在上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移个单位，得到，故函数的图象不经过第一象限，故选：．变式14．（2023·全国·高一专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图像，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C变式15．（2023·全国·高一假期作业）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D【方法技巧与总结】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．题型六：对数函数的定义域例16．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是.【答案】【解析】由题意可得，解得，即函数的定义域是.故答案为：例17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】已知函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，又，且，解得，且，所以定义域为.故答案为：.例18．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得在R上恒成立，所以，解得.故答案为：.变式16．（2023·海南海口·高一海口一中校考期中）函数的定义域为．（用区间表示）【答案】【解析】由对数函数定义域及函数解析式可知，利用指数函数单调性可解得，综上可得；即定义域为.故答案为：变式17．（2023·云南曲靖·高一校考阶段练习）求函数的定义域.【答案】【解析】要使函数有意义，则，即，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：变式18．（2023·高一课时练习）函数的定义域为.【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.变式19．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】由函数的定义域为，得，恒成立．当时，，成立；当时，需满足于是．综上所述，m的取值范围是．故答案为：.【方法技巧与总结】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．题型七：对数函数的值域与最值例19．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是．【答案】【解析】∵，∴，即，即，则函数的值域为.故答案为：例20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数最小值为0，设，所以只要满足恒成立，函数对称轴为，且，①，即时，满足题意；②，即时，需满足，即，得，此时实数的取值范围是.综上，实数的取值范围是故答案为：.例21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为，求实数的取值范围.【解析】（1），因为函数的定义域为，所以，恒成立.当时，，解得，不满足题意，当时，a>0Δ=9−4a<0，解得.综上：.（2）设，值域为，因为函数的值域为，所以.当时，，，，符合题意.当时，，所以.综上：.变式20．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为．【答案】/【解析】因为，令，则，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.变式21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】法一：因为存在，使得成立，所以与的值域有交集，因为，当时，，则，即的值域为，当时，为使有意义，则能成立，即能成立，即，因为，所以，此时，故的值域为，当与的值域没有交集时，有或，则或，即或.所以当与的值域有交集时，.法二：因为在上是单调递增函数，所以若存在，使得成立，则有，故，因为，则，所以，故，同时，在上能成立，即能成立，即，因为，所以，综上：.故答案为：.变式22．（2023·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．【答案】【解析】当时，的值域为；记，的值域为，的值域为，；当，即时，在上单调递增，，解得：，；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，解得：或，或；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.变式23．（2023·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】当时，函数不存在最大值，故，当时，在区间上单调递增，所以此时；当时，在区间上单调递减，所以此时，若函数存在最大值，则，解得，又，所以的取值范围为故答案为：变式24．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，设，则函数的值域为．【答案】【解析】由得：，即的定义域为，，令，则，令，则，，，即的值域为.故答案为：.变式25．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的值域是.【答案】【解析】,单调递增，，则的值域是。故答案为：变式26．（2023·全国·高一专题练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是.【答案】【解析】由于函数且的值域是，故当时，满足.若在它的定义域上单调递增，当时，由，.若在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是.综上可得，.故答案为：变式27．（2023·云南昆明·高一昆明一中统考期末）函数的最大值为.【答案】/【解析】，故当时，.故答案为:.变式28．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上的最大值是2，则a等于【答案】2【解析】当时，函数在上单调递增，则，解得，当时，函数在上单调递减，则，无解，综上，a等于.故答案为：2.【方法技巧与总结】数形结合题型八：对数函数的单调性及其应用例22．（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题设，令，而为增函数，∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，，可得，∴的取值范围是.故答案为：例23．（2023·上海·高一专题练习）若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为函数是上的严格减函数，所以，即，解得.故答案为：.例24．（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间是．【答案】【解析】任取且，则，因为，所以，，即，所以在上单调递增，的单调递增区间是，故答案为：.变式29．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，解得，设，即求函数在中的减区间，即．故选：C．变式30．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数在上为减函数，且函数在上为增函数，则在上为减函数，且，则有，解得，所以实数的取值范围为．故选：A．变式31．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由条件可得得.设，易知其图象的对称轴为.∵函数为减函数，∴要求函数的单调递增区间，即求函数在上的单调递减区间，由二次函数性质可得：函数在上的单调递减区间为，故选：D.变式32．（2023·全国·高一专题练习）设函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数，得，即函数的定义域为，令，由函数的对称轴为：，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以当函数在上单调递增时，所以根据复合函数的单调性可知：，解得，故选：D.变式33．（2023·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，单调递增且，所以当时，也单调递增，则解得，所以.故选：B.【方法技巧与总结】研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．题型九：比较指数幂的大小例25．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意显然均大于0，所以，又因为在上单调递增，所以有，所以，所以，同理可得，又因为在上单调递增，所以有，所以，所以，综上所述：.故选：A.例26．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意可得，，利用对数函数单调性可知，即；又，可得；而，即；综上可得.故选：C例27．（2023·全国·高一专题练习）三个实数的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，，故，故选：B变式34．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以．故选：D变式35．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由在上单调递减可知，，即；由对数函数在上单调递增可知，，即；又可知，即；所以可得.故选：A变式36．（2023·高一课时练习）设，，，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.变式37．（2023·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）若，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】指数函数在R上为减函数，则，即，对数函数在上为增函数，则，对数函数在上为增函数，则．因此.故选：B．【方法技巧与总结】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．题型十：解对数型不等式例28．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为．【答案】【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数，则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.故答案为：.例29．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为【答案】【解析】函数的定义域为，且，故为偶函数，当时，又与在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递减，不等式，等价于，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：例30．（2023·高一课时练习）使成立的实数x的集合是.【答案】【解析】由，可得,所以，即，所以故答案为：变式38．（2023·高一课时练习）若（a＞0，且a≠1），则a的取值范围是．【答案】【解析】由知，故函数在上是增函数．所以由知，故a的取值范围是.故答案为：变式39．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是.【答案】【解析】易知，由可得；又函数在为单调递减，所以可得，解得.故答案为：变式40．（2023·高一课时练习）若函数（其中a为常数，且）满足，则的解集是.【答案】【解析】∵，∴是减函数，即，则由可得，解之得.故答案为：.变式41．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则关于的不等式的解集为．【答案】【解析】易知，且，原不等式可化为，即，两边同时平方得，即，所以．又，且，故，所以，从而，解得．故答案为：变式42．（2023·全国·高一假期作业）已知（且），则实数的取值范围为.【答案】【解析】①当时，，得；②当时，，得.综上所述，的取值范围为，故答案为：变式43．（2023·高一课时练习）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为．【答案】【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上为增函数，所以在上单调递减，又，则，所以时，时，时，所以不等式等价于或，即或，即或，解得或，即不等式的解集为.故答案为：【方法技巧与总结】利用对数函数的单调性求解题型十一：判断对数函数的奇偶性例31．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，.(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.【解析】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，，当时，，其值域为，不满足条件，当时，令，则函数的对称轴为，当时，，即的值域为，所以，解得，当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件，综上所述，，所以满足条件的整数的值为；（2）因为函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得或，由函数不是常数函数，所以，经检验，符合题意，所以，即，由，，，得，，，只要即可，当时，，所以函数，则，，令，因为，所以，函数，当时，，则时，恒成立，符合题意；当时，函数的对称轴为，当时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，不等式组无解；当，即时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，解得，综上所述，的取值范围为.例32．（2023·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）设为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标．【解析】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的任意都成立，所以，即，整理得，求解并验证得或（舍）.（2）由得，整理得，解得，则交点纵坐标y=-2，即与两个函数图像的交点坐标为..例33．（2023·云南迪庆·高一统考期末）已知函数(1)若，求函数的定义域；(2)若函数是奇函数，求的值【解析】（1）由题意可知，若，则，则有，解得或，即函数的定义域为.（2）若函数是奇函数，则有，即，化简可得，解得，则，当时，，不满足要求；当时，，也满足要求；所以.变式44．（2023·高一校考课时练习）已知函数，(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(2)记函数，问：是否存在实数使得函数为偶函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）可知在区间上的单调递减．证明如下：任取，则，，，在区间上的单调递减；（2），定义域为，假设存在这样的使得函数为偶函数，则恒成立，即，化简得，当时可使函数为偶函数．变式45．（2023·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）已知是偶函数，(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）的定义域是，因为是偶函数，所以恒成立，所以，即，所以恒成立，所以；（2），，因为是增函数，是减函数，所以是增函数，所以不等式等价于，所以在上恒成立，设，，因为是增函数，是增函数，所以是增函数，所以当时，，所以.变式46．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程有解，求实数m的取值范围．【解析】（1）由已知可得，.因为为R上的偶函数，所以，即，即恒成立，所以，解得，经检验，满足题意，故.（2）由（1）知，.令，则，当且仅当时等号成立，所以，即，所以.因为方程有解，即有解，所以，即.变式47．（2023·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求的值；(2)设，若，求的取值范围.【解析】（1）因为为奇函数，所以，即，即，所以，解得，，当，时，，令，解得或，定义域不符合要求，故不成立；当，时，，无意义，不成立；当，时，，定义域为，不符合要求；所以，，，满足要求；则.（2）因为，，，即，即，因为，在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，，即，令，则，所以，，，即，，所以，由题意得，当，即时，取得最大值，最大值为2，所以.【方法技巧与总结】断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。题型十二：反函数例34．（2023·天津和平·高二耀华中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因为直线与直线关于直线对称，显然，所以函数与函数互为反函数，又因为的反函数为，所以，即，故选：A例35．（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）函数与函数互为反函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，解得，因为函数与函数互为反函数，所以，故选：A．例36．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）若函数的反函数，则（

）A．1 B．e C． D．【答案】D【解析】令，解得，即.故选：D变式48．（2023·浙江台州·高一台州一中校考期中）设方程的根为，方程的根为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，作图如下：由方程的根为，则函数与的交点为；由方程的根为，则函数与的交点为.由函数与的图象关于对称，且与垂直，则与关于直线对称，即，，由题意可得：，，则，，所以.故选：A.变式49．（2023·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（

）A．定义在上的严格增函数 B．定义在上的严格减函数C．定义在上的严格增函数 D．定义在上的严格减函数【答案】B【解析】因为是定义在上的严格减函数，若，，则当时，，因为函数在定义域上的单调性与其反函数在定义域上的单调性相同，故函数是定义在上的严格减函数.故选：B.变式50．（2023·河北衡水·高一校考开学考试）已知函数，函数与的图像关于直线对称，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于与关于对称，所以是的反函数，即，，原不等式即为，令，则，得或（舍），；故选：B.变式51．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求的反函数；(2)若函数，当时，，求a的取值范围．【解析】（1）令，所以，所以，解得，所以的反函数，．（2）因为，所以．设，所以，所以．设，则在区间上单调递减，值域为，当时，，即，所以，解得；当时，，即，所以，解得（舍）．综上a的取值范围为．【方法技巧与总结】反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．题型十三：对数函数性质的综合应用例37．（多选题）（2023·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．在区间上单调递减C．的值域为 D．图象关于点中心对称【答案】BC【解析】对于A，由，得，所以函数的定义域为，所以A错误；对于B，，令，可得该函数在单调递减，又由于函数在定义域内单调递增，所以复合函数在单调递减，所以B正确；对于C，，令，该函数在单调递减，所以，所以，所以函数的值域为，所以C正确；对于D，因为函数的定义域为，所以图象不可能关于点中心对称，所以D错误；故选：BC.例38．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（

）A．若值域为，则 B．若定义域为，则C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则【答案】AC【解析】选项A：值域为，说明函数能取到所有大于0的数，当时，不满足；当时，，解得：，选项正确；选项B：当定义域为时，函数恒成立，当时，恒成立；当时，，解得：，综上，，选项错误；选项C：若最大值为0，即的最小值为，故有，解得：，选项正确；选项D：若最小值为1，即的最大值为，则有，无解，选项错误；故选：AC.例39．（2023·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)求不等式的解集．【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，所以，又因为，解得，所以，，故当，时，是奇函数，故（2）设，则，因为，所以，，，所以，即，所以在上为增函数．（3）由于是上的函数，所以，解得，由为奇函数以及得，又在上为增函数．所以，故，解得，故，因此解集为变式52．（2023·湖北武汉·高二校联考阶段练习）已知函数的图像关于轴对称．(1)求的值；(2)若函数，，求的最大值．【解析】（1）因为，则其定义域为，又的图像关于轴对称，所以恒成立，即恒成立，所以，由于的任意性，所以，故．（2）由（1）知：，，，所以，令，因为，所以，则问题转化为求的最大值，又因为函数的图象开口向上，对称轴，所以分两种讨论，当，即时，，当，即时，，综上所求．变式53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.(1)求实数的值；(2)将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，请写出函数的表达式；(3)解不等式.【解析】（1）因为函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上，所以，所以，又，所以；（2）由（1）知，将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，得，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，则；（3）即，因为函数在上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为.变式54．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知函数是奇函数.(1)求的值;(2)判断在区间上的单调性，并证明;(3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）∵是奇函数，∴在其定义域内恒成立，即，故，∴恒成立，∴或1，当时，，不满足真数大于0，舍去，当时，令，此时或，所以.（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数，理由如下：由（1）得令，则内函数在上为减函数，而当时，外函数在上是增函数，当时，外函数在上是减函数，由复合函数内外函数“同增异减”的性质得：∴当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.（3）对于上的每一个的值，不等式恒成立，则在上恒成立，令，由（2）知，时，在上是增函数，又单调递减，故在上是单调递增函数，故，所以，即的取值范围是【方法技巧与总结】如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有．考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在上单调递增，而，因此，而，所以.故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以函数的定义域是.故选：B.3．（2023秋·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调，ABC选项，在R上单调递减，在R上单调递增，在上单调递增，ABC错误；D选项，在上单调递减，在上单调递增，不妨设，与函数，，两者的值域相同，为同值函数，D正确.故选：D4．（2023·全国·高一专题练习）函数（且）恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于（且），则函数（且）恒过定点．故选：D．5．（2023·全国·高一专题练习）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（

）A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时【答案】B【解析】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.由，得，则.因为，则，所以开车前至少要休息4.2小时.故选：B.6．（2023·全国·高一随堂练习）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】依题意可将指数函数化为，由可知；由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC，由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D，故选：A7．（2022春·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）关于函数，下列描述不正确的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则【答案】D【解析】因为，将关于y轴对称，可得，将位于x轴下方的部分对折至x轴上方，可得，将向右平移2个单位，可得，据此可得的图象，结合图象可知：函数在区间上单调递增，函数的图象关于直线对称，函数的图象与x轴有且仅有两个交点，故A、B、C正确；例如：，可得满足选项D条件，但，故D错误；故选：D.8．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，可知的定义域为，可得，解得，关于不等式，即，整理得，且在定义域内单调递增，则，结合，解得，所以不等式的解集为.故选：D.二、多选题9．（2023秋·高一单元测试）已知函数，则下列说法正确的是（）A．B．函数的图象与x轴有两个交点C．函数的最小值为D．函数的图象关于直线对称【答案】ABC【解析】函数的定义域为，则，对于A，，A正确；对于B，由，得，即或，解得或，因此函数的图象与x轴有两个交点，B正确；对于C，显然，当且仅当，即时，函数取得最小值，C正确；对于D，由于，而数0不在函数的定义域内，因此函数的图象关于直线不对称，D错误.故选：ABC10．（2023·全国·高一专题练习）下列结论正确的有（

）A．函数且是奇函数；B．函数且的图像恒过定点；C．的定义域为R，则；D．的值域为R，则.【答案】ABD【解析】函数且的定义域为R，，则是奇函数，故A正确；令，即，则，则函数且的图像恒过定点，故B正确；若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，解得，故C错误；若的值域为R，则在R上有解，所以，解得，故D正确.故选：ABD.11．（2023·全国·高一专题练习）若，则的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】依题意且，，所以，由于，所以，解得，所以BCD选项符合，A选项不符合.故选：BCD12．（2023秋·浙江台州·高一统考期末）已知函数则下列选项正确的是（

）A．函