5.3 函数的单调性（十大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练

第第页 5.3函数的单调性课程标准学习目标（1）结合实例，经历从具体的直观描述到符号表达的抽象过程.体会用符号形式表达单调性定义的必要性.（2）在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.（3）通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.（2）理解函数单调性的作用和实际意义.（3）在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用.（4）借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.知识点01函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3、证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．【即学即练1】（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）英国著名物理学家牛顿曾研究过函数的图象，其形恰如希腊神话中海神波塞冬的武器——三叉戟，因此的图象又称为牛顿三叉戟曲线．(1)证明：在上为减函数；(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）取，且，则．因为，所以，所以，又，所以，所以，即，故在上为减函数．（2）取，且，当时，，所以，即，所以在上为减函数．当时，，所以，即，所以在上为增函数．所以在上有最小值为．要使时，不等式恒成立，则，解之得，故实数m的取值范围为．知识点02基本初等函数的单调性1、正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2、一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3、反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4、二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．【即学即练2】（多选题）（2023·高一单元测试）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】A：由反比例函数的图象可知在区间和上单调递减，故A错误；B：由一次函数的图象可知在区间上单调递减，故B正确；C:开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，在单调递减，故C正确；D：设，令，，即，由函数单调性得概念可知在上单调递增，故D正确故选：BCD.知识点03函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【即学即练3】（2023·全国·高一随堂练习）求函数在下列各区间上的最值：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为；（2）由（1）可知，在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为；（3）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，又和时，，故最大值为5；（4）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，又时，，时，，故最大值为17；题型一：单调性的概念例1．（多选题）（2023·高一课时练习）下列说法中正确的个数是（

）A．已知区间，若对任意的，当时，，则在上是增函数B．函数在上是增函数C．函数在定义域上是增函数D．函数的单调区间是和【答案】AD【解析】A：根据函数的单调性定义知：对任意，当时，则在上是增函数，正确；B：在上单调递增，但R上不单调，错误；C：在和为单调递增，但不能说在定义域内递增，故错误；D：的单调区间为和，正确；故选：AD例2．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）（多选）如果函数在上是增函数，那么对于任意的、，下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则D．【答案】ABD【解析】对于ABD选项，因为在上是增函数，对任意的、，不妨设，则，则，，，ABD均对；对于C选项，若，则，则，C错.故选：ABD.例3．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列命题中为真命题的是（

）A．定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上单调递增B．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减C．，且，当时，在上单调递减D．，且，当时，在上单调递增【答案】CD【解析】对于A，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”，所以A是假命题；对于B，，当时，是单调递减函数，当时，是单调递减函数，而在不具备单调性，故B是假命题；对于C，，∵等价于，而此式又等价于或，即或，∴在上单调递减，故C是真命题；对于D，，且，由得，或，即或，∴在上单调递增，故D是真命题.故选：CD.变式1．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为对任意，当时，都有，所以函数增函数，因为，，在上是增函数，

在上是减函数，故选：ACD题型二：函数的单调性的证明例4．（2023·全国·高一专题练习）设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数；【解析】证明：任取，因为在上是单调减函数例5．（2023·广东东莞·高一校联考阶段练习）讨论函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义证明.【解析】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，以下根据函数单调性的定义证明：①设，则，，即，在内是减函数.②设由①知，即，在内是增函数.例6．（2023·全国·高一专题练习）证明：函数在区间上是增函数.【解析】任取，且，则，因为，且，所以，所以，即，所以在上是增函数.变式2．（2023·全国·高一专题练习）讨论函数，在上的单调性【解析】∵函数=∴任取，且，则=-=，∴当，即时，，即，是减函数；当，即时，，即，是增函数.变式3．（2023·全国·高一专题练习）用定义证明：函数在上是增函数．【解析】对任意，，则，因为，所以，又，所以，故函数在上是增函数．题型三：求函数的单调区间例7．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为.【答案】，【解析】当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为；当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为.综上，的单调递增区间为，.故答案为：，例8．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间是.【答案】和【解析】当或时，，对称轴为，当时，，对称轴为，作出的图象如图所示，由图可知单调递减区间为，故答案为：和例9．（2023·高一校考课时练习）函数的单调区间是．【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】，画出函数图象如下：可得单调递增区间为，单调递减区间为.故答案为：单调递增区间为，单调递减区间为.变式4．（2023·高一课时练习）定义域为的函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则：（1）函数的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）函数的单调递增区间是；单调递减区间是．【答案】【解析】因为的定义域为，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，且的图象与的图象关于轴对称，所以的单调递增区间是；单调递减区间是；又的图象是由的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到的，所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是.故答案为：，，，.变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的单调递增区间为.【答案】【解析】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：变式6．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是.【答案】【解析】因为函数可化为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，故答案为：.题型四：利用函数单调性求参数的取值范围例10．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的对称轴为，要想函数在区间上是减函数，则，解得，故选：D例11．（2023·浙江宁波·高一校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，设，则为减函数，且在区间上大于零恒成立.所以.故选：A例12．（2023·浙江嘉兴·高一平湖市当湖高级中学校考阶段练习）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：对任意的实数，都有成立，是上的减函数，，解得，实数的取值范围是.故选：B.变式7．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的对称轴为：，要使函数在区间上单调递增，则，解得.故选：B.变式8．（2023·江苏南京·高一校考期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】开口向上，对称轴为，要想在区间上为单调减函数，则.故选：D变式9．（2023·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是上的增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：C.变式10．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，由题意可得需满足在区间上单调递减，且，而的图象开口向下，对称轴为，故且，即，故选：C变式11．（2023·高一单元测试）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】二次函数的对称轴为，欲使得时是单调的，则对称轴必须在区间之外，即或者；故选：A.题型五：利用函数单调性的性质解不等式例13．（2023·山东德州·高一校考阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为上的增函数，所以由，得：，即，即，解得：，所以实数的取值范围为，故选：C.例14．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减，又，所以,解不等式得,则正实数的取值范围为.故选：B.例15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，得，则，在R上单调递增，.故选：B.变式12．（2023·全国·高一专题练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以由，因为是定义在上的增函数，所以有，故选：A变式13．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，所以，解得.故选：D变式14．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，又函数的定义域为，且在定义域内是增函数，所以有，解得.故选：C变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，是其图象上两点，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，，则，故，所以，即解集为.故选：C题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系例16．（2023·全国·高一专题练习）定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函数图象关于对称，且对任意，当时都有，∴在上单调递减，在单调递增，，∵，∴，∴．故选：B．例17．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）已知，点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】二次函数的对称轴为，开口向下，在上单调递增，由于，则，又，所以.故选：A.例18．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】,的对称轴为的图像开口向上，在上单调递减，,故选:B.变式16．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上是递减函数，且，则有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】是减函数，，；故选：D.变式17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（）A． B．C． D．不确定【答案】B【解析】因为，又是区间内的减函数，所以.故选：B．变式18．（2023·全国·高一专题练习）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，当时；当时；所以函数在实数上单调递增，又，所以.故选：A变式19．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的图象关于对称，所以，又因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以.故选：B.题型七：求函数的最值例19．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知函数，．(1)求函数的定义域和值域；(2)已知为非零实数，记函数的最大值为，求．【解析】（1）定义域：，当时，，∴，∴；（2），令，则，设，，1°若，此时二次函数对称轴，开口向上，则.2°若，此时对称轴：，①当即时，开口向下，则；②当即，对称轴，开口向下，则，③即时，开口向下，；综上：.例20．（2023·全国·高一专题练习）已知(1)函数的值域；(2)用定义证明在区间上是增函数；(3)求函数在区间上的最大值与最小值．【解析】（1）由题意，函数，因为，所以，所以的值域为．（2）任取，，且，则，，，，，即，故函数在区间上是增函数．（3）由知函数在区间上是增函数，，．例21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数过点．(1)求的解析式；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明．(3)求函数在上的最大值和最小值.【解析】（1）由函数过点，有，解得，所以的解析式为：．（2）在区间上单调递增.证明：，且，有．由，得．则，即．所以在区间上单调递增．（3）由在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为.变式20．（2023·福建福州·高一闽侯县第一中学校考阶段练习）已知函数，．(1)判断并用定义证明在上的单调性；(2)若在上的最大值为m，且（，），求的最小值．【解析】（1）函数在上单调递减证明：设，是区间上的任意两个实数，且，则因为，且，所以，，所以，即，所以函数在上单调递减．（2）由（1）知在上的，所以，所以（，），所以，因为，，所以，，所以，当且仅当，且（，），即，时等号成立，所以的最小值为3．变式21．（2023·高一课时练习）求函数在上的最大值与最小值．【解析】设，则，又因为，所以，当时，，则，所以，故在上是减函数．当时，，则，所以，所以在上是增函，故的最小值为,又因为，所以的最大值为5.变式22．（2023·高一课时练习）对定义域分别是的函数，规定：函数(1)若函数；，写出函数的解析式；(2)求（1）中函数的最大值．【解析】（1）因为，又；，所以，当时，，当时，，故（2）当时，，对称轴，所以，当时，，所以，∴当时，取最大值且最大值是.题型八：抽象函数单调性的证明例22．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.【解析】设，则，从而，即，又，即，故f（x）在R上是增函数.例23．（2023·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知函数满足，当时，，且.(1)求，的值，并判断的单调性并证明；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）令，得，得令，得，得设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以因为，所以，所以，因此即在上为增函数（2）因为，，即又，所以又因为在上为增函数，所以在上恒成立得在上恒成立即在上恒成立因为，当时，取最小值，所以，即时满足题意.例24．（2023·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．(1)求；(2)用定义证明的单调性；【解析】（1）令，则由题意可得，（2）任取且，即，由题意可得，而当且仅当时，，所以，即，所以函数在单调递减.变式23．（2023·全国·高一专题练习）已知的定义域为，对任意都有，当时，(1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:.【解析】（1）根据,令，得，解得，再令，则有，解得.（2）设，则，所以，即，因为所以，所以，即都有，所以在上单调递减.（3）由题可知，所以，所以由得，即，即，又因为，所以，由（2）知在上单调递减，所以，即即，解得.所以，解集为.变式24．（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的函数，满足下列条件：①；②；③任意，有．(1)求的值；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)解不等式．【解析】（1）任意，有，当，有，当，有，，（2）结论：在区间上是减函数．证明：任取，设，则，任意，有，当，有，．，在区间上是减函数．（3），设，由（2）可知函数在区间上是减函数，又，可知：当时，；当时，．不等式的解集为．变式25．（2023·河南漯河·高一校考期末）已知函数满足：①定义域为：②对于任意正数、，；③当时，．(1)求的值；(2)判断的单调性，并说明理由；(3)若，解不等式．【解析】（1）令，则.（2）函数在上为减函数，理由如下：任取、，且，则，∴，即，∴在上为减函数.（3）令，，则，即，∴，则不等式可化为：，由（2）知，原不等式等价于，解得：，∴不等式的解集为：.题型九：二次函数在闭区间上的最值问题例25．（2023·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．(1)分别求函数和的解析式；(2)设，，求的最小值．【解析】（1）定义在上的函数满足①，可得②，由①②可得；设二次函数，因为的最小值为，且，所以，解得，可得；（2），当时，在上单调递增，所以，当时，在上单调递减，所以，当时，所以，所以．例26．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，，的最大值为16；(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间的最大值.【解析】（1）由已知函数是二次函数，且，∴函数图象的对称轴为，又的最大值为16，设，又，∴．∴；（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，若，则在上是减函数，最大值；若，即，则在上是增函数，；若，即，则；综上所述，当时，；当时，；当时，．例27．（2023·全国·高一专题练习）求关于的二次函数在上的最小值．【解析】二次函数的开口向上，对称轴为，当时，二次函数在上单调递增，所以.当时，.当时，二次函数在上单调递减，所以.综上所述，.变式26．（2023·宁夏银川·高一校考期中）已知二次函数满足，．(1)求的解析式；(2)当，求的值域．【解析】（1）设二次函数，由，可得，，则，解之得，则二次函数的解析式为．（2）由（1）得，，，则在单调递减，在单调递增，又，，，则当时的值域为．变式27．（2023·全国·高一专题练习）（1）求二次函数在上的最小值；（2）求函数在闭区间上的最小值．【解析】（1）∵函数图象的对称轴是，∴当时，在上是增函数，∴.当时，在上是减函数，∴.当时，.设在的最小值为.∴（2）.设在上的最小值为.当时，在上是增函数，∴；当，即时，；当即时，在上是减函数，∴.综上，.变式28．（2023·高一课时练习）已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点.(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最大值和最小值．【解析】（1）因为一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，设，因为函数的图象过点，则有，解得.所以，函数的解析式为.（2）因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取最大值，当时，；当时，，则.故函数在上的最大值为，最小值为.变式29．（2023·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且(1)求的解析式;(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围;(3)若，试求的最小值.【解析】（1）由已知，可得对称轴为，则函数的顶点坐标为，设，由，得，故；（2）因为函数的对称轴为1，在区间上不单调，所以对称轴在区间内，即，解得；（3）当时，函数在上单调递增，.当时，即时，，当时，即时，函数在上单调递减，，综上所述：.变式30．（2023·江西景德镇·高一统考期中）已知二次函数的对称轴为x＝1，且经过点与．(1)求的解析式；(2)已知t＞0，函数在区间上的最小值为－1，求实数t的取值范围．【解析】（1）∵二次函数的对称轴为，且经过点，∴其与轴另一交点为．设，将代入，解得：．∴.（2）∵二次函数的对称轴为，单调递减,单调递增,若，单调递减,单调递增,则，此时成立；若，单调递增,则，，解得，舍去．综上所述，．题型十：恒成立与能成立问题例28．（2023·河南南阳·高一校考阶段练习）已知a，b为常数，且，，.(1)若方程有唯一实数根，求函数的解析式(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）由题意得，故，即有唯一实数根，故，解得，故，故；（2），不等式恒成立，只需的最小值大于或等于，当时，在上单调递增，故，所以，解得，所以实数a的取值范围是.例29．（2023·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数．(1)判断并且证明函数在上的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【解析】（1）函数在上单调递减．证明如下：设任意的且，，，所以，，，，在上单调递减．（2）由（1）可知在上单调递减，且，，当时且当时，所以且当时，又当时，恒成立，所以.例30．（2023·陕西西安·高一校考期中）已知函数.(1)当时，利用函数单调性定义证明在上单调递增；(2)当时，求函数在的值域；(3)若对任意，恒成立，试求实数a的取值范围.【解析】（1）由，则，设，，，由，则，，，即，所以在上单调递增.（2）由（1）可知在上单调递增，当时，则，，，所以函数在上的值域为.（3）解法一：依题意在上恒成立，即在上恒成立，记，，由在上单调递增，当时，取得最小值为，所以当，即时，恒成立.于是实数的取值范围为.解法二：依题意在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立.令，，由于在上单调递减，所以当时，取得最大值为，所以.变式31．（2023·浙江丽水·高一统考期末）已知函数.(1)若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明；(2)，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，在区间上单调递增.证：，且，则，，，即，在区间上单调递增.（2）由，因为，所以有，可得，可得，可得，可得或，因为，，所以的最大值为1，的最小值为，综上可知，的取值范围是或.变式32．（2023·广西玉林·高一统考期末）已知．(1)若的解集为或，求的值；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．【解析】（1），若的解集为或，则，是方程的根，即，解得：．（2）若对任意，恒成立，即若对任意，，由已知得，，，当且仅当时取等号，所以，，，即的取值范围为.变式33．（2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)分析的最值情况；(2)若函数在区间上，恒成立，求正实数a的取值范围．【解析】（1）函数，则，令，故当时，即时，，当且仅当时等号成立；当时，即时，，当且仅当时等号成立，综上：当时，的最小值为，没有最大值；当时，的最大值为，没有最小值．（2）易知，因为，解得．（i）当时，即当时，在上单调递增，所以，当时，，，解得，此时；（ii）当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，可得，，因为，，则，所以，，可得，此时．综上所述，．变式34．（2023·全国·高一专题练习）设二次函数同时满足下列条件：①当时，总有；②函数的图象与轴的两个交点为，，且；③.(1)求的解析式；(2)对，都有成立，求满足条件的实数的取值范围.【解析】（1）由①当时，总有，可得的图象关于直线对称，由②函数的图象与轴的两个交点为，，且，可得方程的两根为和，所以设，又，则，解得，所以，即.（2）因为对，都有成立，即，成立，即对恒成立，即对恒成立，令，则，要使对恒成立，则，解得，即实数的取值范围为.变式35．（2023·陕西汉中·高一校考期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.【解析】（1）依题意，，设，，则.令，.由已知性质得，当时，单调递减；当时，单调递增.又∵，，，∴.∴的值域为.（2）为减函数，故，.由题意得，当时，的值域是的值域的子集，∴解得.变式36．（2023·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数.(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；(2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.【解析】（1）因为二次函数，所以关于的不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，令，记，因为，所以，则，因为在上单调递增，所以，，所以；（2）对，使不等式成立，转化为，在上单调递增，，，①当，即时，在上单调递增，，此时，且，解得；②当，即时，在上单调递减，此时，且，解得；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，且，解得，综上所述，实数的取值范围为或.一、单选题1．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）方程在区间内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以由，设，当时，函数单调递增，所以，要想方程在区间内有解，只需，故选：D2．（2023·河南新乡·高一统考阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯数千光照，花焰七枝开”烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲出后爆裂的时刻是（

）A．第2秒 B．第3秒C．第4秒 D．第6秒【答案】C【解析】依题意，，∴当时，烟花达到最高点．故选：C.3．（2023·江西上饶·高一江西省广丰中学校考阶段练习）下列函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，在上单调递减，故A错误；对于B，易知开口向上，对称轴为，所以在区间上单调递增，故B正确；对于C，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故D错误.故选：B.4．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】原不等式可化为，令，是关于的一次函数，因为“，”为真命题，所以或，即或，解得或,所以的取值范围为．故选：B．5．（2023·湖南郴州·高一郴州一中校考阶段练习）已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由的图象关于直线对称，可得，，所以.因为的最小值为2，所以，可得，故.令，解得或.所以最小为，最大为3，则的最大值为4.故选：D.6．（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的单调递减区间为，因为函数在区间上是减函数，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：C7．（2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中），对于，，都有成立，求的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为定义在上的函数满足对，，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C.8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由二次函数性质可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以；由一次函数性质可知，当时，单调递增，所以，综上：函数的值域为.故选：A.二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A．最小值 B．最大值为C．无最小值 D．无最大值【答案】AD【解析】根据题意函数，在同一坐标系下画出两函数图象如下：根据可知，取的是两函数图象在上的部分，如上图中的粗直实线以及其两侧的向上的抛物线；由图可知有最小值，无最大值，BC错误，D正确；且最小值的横坐标是方程的正实根，即，所以最小值为，即可知A正确.故选：AD10．（2023·辽宁丹东·高一丹东市第二中学校考阶段练习）对于恒成立，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】设，则，则的图象如下所示：由图可知当时取得最小值，即当且仅当时取等号，因为对于恒成立，所以，故符合题意的有A、B、C.故选：ABC11．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考阶段练习）当时，使得不等式恒成立的充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】当时，若不等式恒成立，则恒成立，在上单调递增，，，即当时，不等式恒成立的充要条件为；对于A，，，是的一个充分不必要条件，A正确；对于B，，，是的一个充分不必要条件，B正确；对于C，，，是的一个既不充分也不必要条件，C错误；对于D，，，是的一个既不充分也不必要条件，D错误.故选：AB.12．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．3