第二讲盈亏问题

新世纪奥校内部讲义，金牌学员班绝密讲义，严禁翻印PAGE5PAGE1盈亏问题思维基础训练篇【思维引导】盈亏问题就是把一定数量的某一类物体分发给若干个对象，且在两次分配中，出现多余（盈）、不足（亏）、刚好分完（足）三种不同的结果，而每个对象分的物品个数差叫分配差，要求物品数量和对象数量，这类应用题叫做盈亏问题。解盈亏问题有一个重要的思想：转化思想。基本关系式：一盈一足：总人数=盈÷分配差一盈一亏：总人数＝（盈＋亏）÷分配差双盈：总人数＝（大盈－小盈）÷分配差双亏：总人数＝（大亏－小亏）÷分配差一亏一足：总人数=亏÷分配差（一）简单的盈亏问题一盈一足例1、小朋友分桃子，每人分8个，余8个,每人10个，刚好分完。问：有多少个小朋友？【分析】：假如第一次分的时候，其中有一人分了10个，其余每人分8个，则余6个；假如有两个人每人分10个，则余4个；以此类推，要把余下的8个桃子都分完，就需要4个人每人分10个，则总共有4个小朋友。解：8÷（10－8）=4（人）根据列式推出：总人数=盈÷分配差练习题：（1）某班少先队员参加学校的搬砖劳动，若每人搬20块还剩30块，若每人搬22块刚好搬完。问：有多少名少先队员，共有多少块砖？一盈一亏例2、小朋友分桃子，每人8个余8个，每人10个缺6个。问：有多少个小朋友？【分析】对比第一题观察，第一题每人10个刚好分完，而本题每人10个还缺6个，如果送他们6个桃子刚好分完。第二次送了6个桃子，那第一次分也要送6个桃子。本题转化：“每人8个余14个，每人10个刚好分完”。注：转化后的余14个是由（余8个+缺6个）而来。解：（8+6）÷（10－8）=7(人)根据列式推出：总人数＝（盈＋亏）÷分配差练习题：（2）猴妈妈采了一堆桃子，分给小猴吃，每个小猴分3个剩6个，每个小猴分5个缺4个。问：一共有多少个桃子？双盈例3、小朋友分桃子，每人10个余1个，每人8个余7个。问：有多少个小朋友？【分析】：此题两次都有剩余，根据第二题的转换思想，假设把第一次余的1个拿走，那么第一次就变成刚好分完，因为两次分的桃子的总数量要一样多，那么第二次也要拿走1个，条件可转化为“每人8个余6个，每人10个刚好分完”，根据第一题的公式可解。注：转化后的余6个是由（余7个—余1个）而来。解：（7－1）÷（10－8）=3（人）根据列式推出：总人数＝（大盈－小盈）÷分配差练习题：（3）小明有一些糖分给小伙伴，每人分4块还剩8块，每人6块还剩2块，问：小明共有多少块糖。双亏例4、小朋友分桃子，每人8个缺9个，每人10个缺17个。问：有多少个小朋友？【分析】：此题两次都要缺桃子，同样根据第二题的转换思想，第二次分的时候少17个，那么就再送他们17个，第二次就变成刚好分完了，因为两次分的桃子的总数量要一样多，那么第一次也要送17个，第一次就变成余8个，条件就转化为“每人8个余8个，每人10个刚好分完”再根据第一题的公式可解。注：转化后的余8个是由（缺17个—缺9个）而来。解：（17－9）÷（10－8）=4（人）根据列式推出：总人数＝（大亏－小亏）÷分配差练习题：（4）幼儿园阿姨给小朋友分饼干，若每人5块还少1块，若每人6块还少8块，问：阿姨共有多少块饼干。一亏一足例5、小朋友分桃子，每人8个，刚好分完，每人10个缺8个。问：有多少个小朋友？【分析】：第二次分时缺8个桃子，假设送他们8个，那么第二次就变成就刚好分完，因为两次分的桃子的总数量要一样多，所以第一次也要送8个，此题条件就克转化为“每人8个余8个，每人10个刚好分完。”，再根据第一题的公式可解。注：转化后的余8个是由“缺8个”而来。解：8÷（10－8）=4（人）根据列式推出：总人数=亏÷分配差练习题：（5）老师有一些作业本，每个学生发3本刚好发完，每人分4本还缺8本。问：老师共有多少本作业本？总结得出简单盈亏问题的基本特点：①分配的次数为两次②两次分配的物品总数量要统一③分配的物品种类为一种④两次分配的对象总数量要统一⑤两次分配结果的单位都是物品的单位思维提高训练篇(二）复杂的盈亏问题【思维引导】解决复杂的盈亏问题，同样需要采取转化思想，将复杂的盈亏问题转化为简单的盈亏问题，再利用公式可解。物品的总数量改变例1、小朋友分桃子，每人10个少11个，后来老师又多拿来了两个桃子，现在每人8个多7个。问：有多少个小朋友？【分析】：两次分配中桃子的总数量发生了变化，第二次多了两个桃子。假如把多的两个桃子“抢”了，就和第一次分配的桃子总量一样。可由一盈一亏公式可解。注：第二次分配时被“抢”了两个桃子，则原来的“多7个”将转化为“多5个”。解：（11+7－2）÷（10－8）=8（人）解法：将物品的总数量转化为统一练习题：（1）某校参加六一杯小学数学竞赛，原定考场若干个。每个考场坐24人，还有6人没座位；后来增加了60名考生，每个考场坐30人，还有10人没座位。总共有多少个考场？物品的种类为两种或多种例2、小朋友分一筐桃子和苹果，苹果是桃子的2倍，苹果每人分10个多6个，桃子每人分8个少12个，问：有多少个小朋友？【分析】：分配的种类变为两种，无法直接运用公式。根据“苹果是桃子的2倍”和“苹果每人10个多6个”，若按苹果的分法去分桃子可知“桃子每人5个多3个”，由此可转化为都分桃子。注：两类物品成倍数关系时，转化中每人分的个数和结果的个数都要成倍数变化。解：(12+6÷2)÷(8－10÷2)=5（人）解法：把多种物品转化为一种练习题：（1）老师给同学分发课本和练习本，已知练习本比课本的3倍还多2本，课本每人1本刚好发完，练习本每人2本还剩17本，问：课本和练习本各多少本？对象的总数量改变例3、小朋友分桃子，每人10个少9个，后来又来了5个小朋友，重新分配，每人4个多7个，问小朋友原来有多少人？【分析】：两次分配时总人数不同，无法直接运用公式。假如后来的5个小朋友没来，两次次分配人数就统一了，但第二次分配的结果就会发生变化。由“多7个”转化为“多27个”。注：“多27个”是由“5个小朋友每人分4个的和”加上“本来就多的7个”而来。解：(4×5+7+9)÷(10－4)=6（人）解法：把对象的数量转化为统一练习题：（3）幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友，每人3个余20个；如果分给小班的小朋友，每人8个缺2个。已知大班的人数是小班的2倍。这一筐苹果有多少个？分的次数不是两次例4、小朋友分桃子，先给3个人每人分了8个，其余每人10个，还少9个，如果每人8个，就要多7个，问小朋友有多少人？【分析】：本题总共分了3次，无法直接运用公式。如果把前面两次分配转化为一次分配，则可直接运用公式。假设第一次的3个人每人也分10个，这样就还少6个，则可把前面两次分配转化为“每人10个，还少15个”。注：“少15个”由“少9个”加上“少6个”而来。解：[(10－8)×3+9+7]÷(10－8)=11（人）解法：把多次转化为两次。练习题：（4）小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，还多出4只，如果一人分6只，其余每人分4只，又缺12只，小红家买来多少只桔子？小红家共有多少人？单位不统一例5、小朋友分桃子，每人10个，就有两个人没有分到，每人8个，剩2个桃子，问共有多少个小朋友？【分析】第一次分配是两人没分到，第二次分配是剩2个桃子，单位不统一不能直接运用公式。需要将第一次分配结果“两人没分到”转化为“还缺20个桃子”，就能直接运用公式了。注：“缺20个桃子”由“两个人每人分10个”得来。解：(2×10+2)÷(10－8)=11（人）解法：把两次分配结果的单位都要统一为物品的单位练习题：（5）育才小学学生乘汽车去春游，如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？思维拓展训练篇（3）盈亏问题拓展【思维引导】有些行程问题，工程问题和鸡兔同笼问题等可转化为盈亏问题。例1、李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可以提前5天完成。这批零件共有多少个？【分析】：乍一看，这道题应该是工程问题，但是仔细斟酌，其实是一道盈亏问题，用盈亏问题的解题方法来解更简便。通过审题，我们可以把“零件”转化为“物品”，把“天数”转化为“对象”。“晚8天完成”可转化为“还差400个零件”，“提前5天完成”转化为“多做300个零件”。得到典型的盈亏问题。解：(8×50+5×60)÷(60－50)=70（天）70×60－60×5=3900（个）练习题：（1）钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。小明带了多少钱？例2、小明8点3分从家出发去上学，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就会提前2分钟到校。问：小明上课时间是几点几分？【分析】虽是行程问题，同样可转化为盈亏问题。把“路程”看作“物品”，把“时间”看作“对象”，则可转化为“每分钟走50米，还差150米，每分钟走60米，就多120米”，注：所求出的时间是准时上课需要的时间。解：（3×50+2×60）÷（60—50）=27（分钟）8点3分+27分=8点30分练习题：（2）一个旅行社住旅馆，如果每个房间住3个人，还有16个人没法住；如果每个房间住5个人，还有两个房间没人住，问旅行社共有多少个人？思维竞赛训练篇（四）综合类的盈亏问题【思维引导】综合类盈亏问题会同时根据多个特点来改变题型，增加难度。但只要找准改变的特点，再一个一个特点逐步转化，最后都能转化为最简单的盈亏问题。例1、小朋友分一筐桃和苹果，苹果每人5个，桃每人2个，只剩20个苹果，后来人数有变，现重新分配，苹果每人7个，桃每人2个，只剩12个桃，问小朋友原来有多少人？【分析】：通过审题，可知题中物品种类为两种，对象数量发生变化，我们就根据这两类变型题的解题方法，一步一步地转换为最简单的盈亏问题。（1）把物品种类转化为一种“桃每人2个刚好分完，人数变动后，桃每人2个剩12个”两次分配每人都是2个桃，但第二次还剩12个，说明人数少了6人（12÷2）。（2）把人数都转化为原来小朋友的数量“苹果每人5个，剩20个，每人7个，缺42个”解：（12÷2×7+20）÷（7—5）=31（人）练习题：（1）用一根绳子绕大树3圈余3分米，用这根绳子绕小树8圈还差8分米，已知大树直径是小树直径的2倍。问：这根绳子有多长？例2、王小明从家到学校上学。他以每分钟50米的速度走了两分钟后，发觉如果这样走下去要迟到8分钟，于是他加快速度，每分钟多走10米，结果会提前5分钟到校。王小明家离学校多远？【分析】此题同样需要两次转化。（1）将行程问题转化为盈亏问题“若每分钟走50米，少走400米（8分钟），若前面两分钟每分钟走50米，其余时间每分钟走60米（多走10米），多出300米（提前5分钟）。”（2）将次数转化为两次（把后面两次转化为一次）“若每分钟走50米，少走400米，每分钟走60米，就多出320米（300+10×2）”解：（5×60+10×2+50×8）÷（60—50）=72（分钟）50×（72+8）=4000（米）练习题：（2）红山小学学生乘汽车到香山春游，如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；后来学校又调来一辆车，如果每车多坐1人，恰好多余余一辆车，问一共几辆车，多少学生？课后练习题（1）学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间，问宿舍有多少间？新生有多少人？（2）少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少少先队员，一共种