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文档简介
第四章图形的相似4探索三角形相似的条件(第四课时)
1.下列式子能表达点
E
是线段
MN
的黄金分割点（
ME
＜
EN
）
的是（
A
）A
D.2A3.已知线段
AB
＝1，点
C
是线段
AB
的黄金分割点，则
AC
的长
度为（
C
）D.以上都不对C
2.5
（1）求作：∠
ABC
的平分线
BD
交
AC
于点
D
；（要求：尺规作
图，保留作图痕迹，不写作法）（1）解：如答图，
BD
即为所求作.7.如图，在△
ABC
中，已知
AB
＝
AC
，∠
A
＝36°.答图（2）求证：点
D
为线段
AC
的黄金分割点（即
AD2＝
CD
·
CA
）.（2）证明：在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
A
＝36°，∴∠
ABC
＝∠
C
＝72°.∵
BD
平分∠
ABC
，∴∠
ABD
＝∠
CBD
＝36°.∴
AD
＝
BD
，∠
BDC
＝72°.∴
BD
＝
BC
.
∴
AD
＝
BC
.
∵∠
BCD
＝∠
ACB
，∠
CBD
＝∠
CAB
，∴△
BCD
∽△
ACB
.
∴
BC
∶
AC
＝
CD
∶
BC
.
∴
AD
∶
AC
＝
CD
∶
AD
.
∴
AD2＝
CD
·
CA
.
∴点
D
为线段
AC
的黄金分割点.8.如图，已知点
E
是正方形
ABCD
的对角线
BD
的黄金分割
点（
BE
＞
DE
），
AE
，
BC
的延长线交于点
F
，
AB
＝2，
求
CF
的长.
9.如图，已知点
P
是线段
AB
的黄金分割点，且
PA
＞
PB
.
若
S1表
示以
PA
为边的正方形的面积，
S2表示长为
AB
、宽为
PB
的矩形
的面积，则
S1
S2（填“＞”“＜”或“＝”）.＝
10.某校举办了建校70周年校庆活动，节目展演环节主持人站在
舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台
AB
的长为20m，点
C
为
AB
的一个黄金分割点，则
AC
的长为
m.
解得
n
＝135.即纸扇张开的角度为135°.12.如图，在△
ABC
中，已知
AB
＝
AC
＝1，∠
A
＝36°，
BD
平
分∠
ABC
交
AC
于点
D
.
（1）求证：点
D
是线段
AC
的黄金分割点；
∴点
D
是线段
AC
的黄金分割点.（2）求线段
AD
的长.
13.（选做）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金
三角形”.如图1，在△
ABC
中，已知
AB
＝
AC
，且∠
A
＝36°.图1（1）在图1中，用尺规作
AB
的垂直平分线交
AC
于点
D
，并连接
BD
.
（保留作图痕迹，不写作法）（1）解：如图1所示.图1图1（2）在（1）的条件下，△
BCD
是不是“黄金三角形”？若
是，请给出证明；若不是，请说明理由.（2）解：△
BCD
是“黄金三角形”.证明如下：∵∠
A
＝36°，
AB
＝
AC
，∴∠
ABC
＝∠
C
＝72°.又∵点
D
在
AB
的垂直平分线上，∴
AD
＝
BD
.
∴∠
ABD
＝∠
A
＝36°.图1∴∠
ABD
＝∠
DBC
＝36°.又∵∠
BDC
＝∠
A
＋∠
ABD
＝72°，∴∠
BDC
＝∠
C
.
∴
BD
＝
BC
.
∴△
BCD
是“黄金三角形”.图1
图1
图2
【解析】如图2，延长
BC
到点
E
，使
CE
＝
AC
，连接
AE
.
∵∠
BAC
＝36°，
AB
＝
AC
，∴∠
ACB
＝∠
B
＝72°.∴∠
ACE
＝180°－∠
ACB
＝180°－72°＝108°.∴∠
ACE
＝∠
B1
A1
C1.又∵
A1
B1＝
AB
，∴
AC
＝
CE
＝
A1
B1＝
A1
C1.图2
∴△
ACE
≌△
B1
A1
C1（SAS）.∴
AE
＝
B1
C1.∵
CE
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