2021届高三高考文科数学必刷题考点37 直接证明与间接证明【含答案】

2021届高三高考文科数学必刷题

考点37直接证明与间接证明

1.已知直线］和平面生若〃//P6%则过点P且平行于I的直线（）

A.只有一条，不在平面。内B.只有一条，且在平面a内

C.有无数条，一定在平面。内D.有无数条，不一定在平面。内

【答案】B

【解析】

假设过点P且平行于1的直线有两条m与n,则m/"且n//l

由平行公理得miln,这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，

故过点P且平行于I的直线只有一条，

又因为点P在平面内，所以过点P且平行于1的直线只有一条且在平面内.

故选：B

2.利用反证法证明：“若，+y2=o,则x=y=o”时，假设为（）

A.%y都不为oB.x彳丫且匕y都不为o

c.刀片丁且彳，y不都为oD.%）不都为o

【答案】D

【解析】

原命题的结论是x，y都为零，反证时，假设为不都为零.

a+b1la2+b2

r=f

3.设函数f（x）=）4，若a力是两个不相等的正数且2[—

2,则下列关，系式中正确的是（

A.p=q<v<rB.p=v<q<rc.p=v<r<qD.p<v<Q<r

【答案】B

11

【解析】由题意可得若p=f（*6）=ln（7岫）=2|nab=2（Ina+lnb）,

q=f(^7^)=ln(^7^)>ln(,Vab)=p,

uW(f(a)+f(b))=7(Ina+lnb),

：.p=r<q,r=7/==hi：芋>lnv'a6>q.

故p=v<q<r.

故答案为：B.

4.用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个锐角“，正确的假设是（）

A.三角形的内角至.多有两个锐角

B.三角形的内角至多有一个锐角

C.三角形的内角没有一个锐角

D.三角形的内角没有一个锐角或至少有两个锐角

【答案】C

【解析】

根据反证法第一步反设，即假设结论不成立或否定结论.

所以，正确的假设是“三角形的内角没有一个锐角

故选C.

1+X1+y八

----<2——-<2

5.“若x>0,、>0且尤+、>2,求证yx中至少有一个成立用反证法证明这个命题时，下

列假设正确的是（）

A.假设y,x

1+xci+yc

---->2-->2

B.假设y,x

l+x1+y

C.假设口厂和丁中至多有一个不小于2

l+x1+y

D.假设口厂和丁中至少有一个不小于2

【答案】B

【解析】

1+xci+y.i+xj+y-

----<2,--<2---->2,-->2

由于yx中至少有一个成立的否定是y*,所以利用反证法证明是应该假设

---->2,----->2

yX---.故答案为：B

6.用反证法证明命题“已知函数/(*)在口用上单调，则f(x)在口用上至多有一个零点，，时，要做的假设是()

A.f(x)在口用上没有零点B.f(x)在口用上至少有一个零点

C./(%)在口句上恰好有两个零点D.f(x)在［。,句上至,少有两个零点

【答案】D

【解析】

因为“至多有一个”的否定是“至少有两个”，

所以用反证法证明命题“已知函数f(x)在口句上单调，则f(X)在口句上至多有一个零点”时，要做的假设是

人尤)在口句上至少有两个零点，故选D.

7.用反证法证明某命题时，对其结论“a,6都是正实数”的假设应为()

A.。，°都是负实数B.a,6都不是正实数

C.06中至少有一个不是正实数D.牝b中至多有一个不是正实数

【答案】C

【解析】

"都是''的否定为"不都是”，故"见》都是正实数”否定为"4b中至少有一个不是正实数”.

故选C.

8.用反证法证明“若x<>,则/</，时，假设内容应是()

A丫3_”3_丫3、--3厂丫3_..31^丫3、-.3-丫x3_,.3_p.丫3/..3

A.x-yB.x>yc.x-y或%>yD.-y或％<y

【答案】c

【解析】•.•用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，

而“3<y3,,的否定为：“丫32丫3,,,故选：c

9.用反证法证明命题①：“己知p3+q3=2,求证：p+qW2”时，可假设“P+q>2”；命题②：“若一=4,

则x=-2或尤=2”时，可假设“XK-2或XH2”.以下结论正确的是()

A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确，②的假设错误D.①的假设错误，②的假设正确

【答案】C

【解析】

G)p+q<2的命题否定为p+q>2,故①的假设正确.

x=—2或x=2”的否定应是“xH-2且工士2”②的假设错误,

所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.

1

10.“已知函数/(x)=x2+ox+a(aeR),求证：与|f(2)|中至少有一个不少于2.”用反证法证明这个,命

题时，下列假设正确的是()

11

A.假出/且/

lf(l)T|/(2)|<-

B.假设2且八2

1

C.假设〃(1)1与1/(2)|中至多有一个不小于2

1

D.假设与lf(2)|中至少有一个不大于2

【答案】B

【解析】

111

,“-|<(1)<-|/(2)<-

因为与1/(2)|中至少有一个不少于2的否定是2且2,

故答案为：B.

11.用反证法证明命题："三角形三个内角至少有一个大于或等于60。”.时，应假设()

A.三个内角都小于60。，B.三个内角都大于或等于60。

C.三个内角至多有一个小于60°D.三个内角至多有两个大于或等于60°

【答案】A

【解析】.

原命题的否定为：三角形三个内角都小于60。，故选A.

b+1Q+2

12.在用反证法证明命题“已知。>0/>0,且a+b>l,求证：a+1'b中至少有一个小于2"时“假设正

确的是()

b+la+2

A.假设a+1'b都不大于2

b+1a+2

B.假设a+1'b都小于2

b+1a+2

C.假设a+1'b都不小于2

b+1Q.+2

D.假设a+1'b都大于2

【答案】C

【解析】

因为要证“青,管中至少有一个小于2”，所以假设原命题结论不成立，即原命题的反面成立，所以“青.华

都大于或等于2”与选项C相同，所以选C.

13.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）

A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°

C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°

【答案】B

【解析】

•••用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°,

二第一步应假设结论不成立，

即假设三个内角都大于60。.

故选：B.

n

2（匕-%）2

7?2=1--...............

n

£（y「％）2

14.给出下列说法：①用餐刻画回归效果，当R?越大时，模型的拟合效果越差，反之则越

好;.②归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推移则是由一般到特殊的推理；③综合法证明数学问题是“由

因索果“，分析法证明数学问题是“执果索因”；④设有一个回归方程》=3+5x,变量x增加1个单位时，，平

均增加5个单位；⑤线性回归方程1=次+%必过点其中错误的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】

①相关指数长越大，则相关性越强,模型的拟合效果越好.错误；

②归纳推理是由特殊到一般的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理庙归纳推理与演绎推理的概念可知

正确.

③综合法证明数学问题是“由因素果”，分析法证明数学问题是“执果索因”，由概念可知正确.

④由回归方程的系数意义知，当变蚩增加1个单位时，1平均增加5个单位，正确；

⑤线性回归方程『=bx+a必过样本中心点（£刃，正确.

故选B.

15.用反证法证明命题：“若。则函数y=/+狈+b至少有一个零点”时，要做的假设是（）

A.函数丁=/+0%+6没有零点

B.函数，=/+以+/＞至多有一个零点

C.函数丫=4+*+6至多有两个零点

D.函数丁=7+球+6恰好有一个零点

【答案】A

【解析】

根据反证法的定义，可知“若则函数丁=炉+5+6至少有一个零点”的反设应为“若a6R,则函数

丫=炉+仃+6没有零点”，故选A.

16.用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是

A..假设a,b,c都小于0

B.假设a,b,c都大于0

C.假设a,b,c中至多有一个大于0

D.假设a,b,c中都不大于0

【答案】D

【解析】

用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：3员设

a,b,c中都不大于0".

故选：D.

17.用分析法证明：欲使①A>B,只需②CVD,这里②是①的

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立，

二②是①的充分条件.

故选：A.

18.用反证法证明命题：“若a/eH,则函数八幻=/+仃-6至少有一个零点，，时，假设应为()

A.函数没有零点B.函数有一个零点

C.函数有两个零点D.函数至多有一个零点

【答案】A

【解析】原命题的否定为:若a，b£R,则函数/(#)=/+ax-b没有零点，，.

故选：A.

1,11

.a+—,b+—,c+—

19.用反证法证明“已知。，瓦c6R+,求证：bca这三个数中至少有一个不小于2，，时，所做出的假设

为.

1,11

a+丁/+-c+-

【答案】假设bca这三个数都小于2

【解析】

lll

题中原命题的结论为“a+*b+广c+£这三个数中至少有一个不小于2,

否定结论可知其做出的假设为：假设“+彳：这三个数.都小于2.

20.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必,定值班的日期是.

【答案】6日和11日

【解析】分析：确定三人各自值班的日期之和为26,根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8

日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5,即可确定丙必定值

班的日期.

详解:由题意，1至12的和为78,

因为三人各自值班的日期之和相等，

所以三人各自值班的日期之和为26,

根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5,

据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日.

故答案为：6日和11日.

21.已知a,b,c€(0,+8).

4,916

Q+:bH—c+—

求证：b,c,Q中至少有一个不小于6.

【答案】见解析

【解析】

假设o&+c>ac+?都小于6,

即obc+-<6a,c+-<6

；・a+：+b+2+c+心v18.

bca

va.b.ce(O.+oo).

49161649

/.a+-+&+-+cd---=aH----F+c+-

bcaabc

I~16[~4l~9

>2|a----2也丁+2c--=18

qa<》qc

[当且仅当a=4,b=2,c=3时取等）

这与假设a+；+b+；+c+?<1济目矛盾,故假设不成立，从而原结论成立.

oca

22.（1）证明：1,邪,就不可能成等差数列；

（2）证明：1,乖,价不可能为同一等差数列中的三项.

【答案】（D见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）假设1,小，也成等差数列，

则2v5=1+&，两边平方得

12=6+2再即6=2强

因为6=2&,矛盾，

所以1,小，也不可能成等差数列.

（2）假设1,国鸣为同一等差数列中的三项，

x/3=l+md®

则存在正整数m,“（小丰n）满足'=1+nd®,

①xn-②xm得JSn-依m=n-mt

2

两边平方得3M+5m2-2v15mn=(n-m)@,

由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数H无理数，故假设不正确,

即1,小，代不可能为同一等差数列中的三项.

23.（1）已知a,b,c,dwR,求证：7«2+b2^2+^ac+bd；

（2）求证：1，2环不可能是一个等差数列的中的.三项.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

(1)(a2+&2)(c2+d2)=a2c2+b2d24-(a2d2+62c2)>a2c2+b2d2+2abcd

=(ac+bd)"

/.yja2+&2Vc2+d2>|ac+bd\>nc+bdy

(2)假设L2,、行是公差为d的等差数列｛aj中的三项,

a?-_£iqa“

设am=Lap=2.(1,=v'5,则4=p-mq-p

=z

■p-tn-=q-p=>故p-m=v'5—2.

'/m.p,qeN*,

肾是有理数.而、写-2是无理数，故产生矛盾.

假设不成立，即L2,、写不可能是一个等差数列中的三项.

24.已知a>0,b>0.

（1）设a,6,c为实数，求证：02+b2+c2>ab+be+ca

（2）求证：斤兆（其中介3）

【答案】（1）证明见解析.

（2）证明见解析