2024-2025学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定教案 新人教A版必修2

2024-2025学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定

2.教学年级和班级：2024-2025学年高中数学必修2

3.授课时间：2课时

4.教学时数：90分钟

二、教学目标

1.理解平面与平面垂直的判定定理

2.学会运用平面与平面垂直的判定定理判断两个平面是否垂直

3.提高空间想象能力和逻辑思维能力

三、教学内容

1.回顾平面与平面垂直的定义和判定定理

2.讲解平面与平面垂直的判定定理的证明过程

3.通过例题演示如何运用平面与平面垂直的判定定理解决问题

4.学生练习，巩固所学知识

四、教学过程

1.导入：通过复习平面与平面垂直的定义和判定定理，引出本节课的主题

2.新课讲解：详细讲解平面与平面垂直的判定定理，并通过动画演示证明过程

3.例题讲解：选取典型例题，展示如何运用平面与平面垂直的判定定理解决问题

4.学生练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点

五、教学评价

1.课堂讲解：观察学生听讲情况，了解学生对知识点的掌握程度

2.练习题：检查学生练习题的完成情况，评估学生对知识的运用能力

六、教学资源

1.教材：新人教A版必修2

2.多媒体课件：动画演示平面与平面垂直的判定定理的证明过程

3.练习题：选取合适的练习题，巩固所学知识

七、教学建议

1.课前准备：让学生预习教材，了解基本概念和判定定理

2.课堂互动：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围

3.课后辅导：对学习有困难的学生进行课后辅导，确保知识点的掌握

八、教学注意事项

1.注重基础知识的学习，打下扎实的基础

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力

3.引导学生运用所学知识解决实际问题二、核心素养目标本节课旨在培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力。通过学习平面与平面垂直的判定定理，学生能够运用数学语言描述和解释现实世界中的空间关系，提高解决实际问题的能力。同时，通过课堂讨论和练习，学生能够培养合作交流和自主学习的能力，提升数学思维品质和创造性思维。三、重点难点及解决办法重点：

1.平面与平面垂直的判定定理的理解和运用

2.空间想象能力的培养

难点：

1.理解并证明平面与平面垂直的判定定理

2.在复杂空间图形中运用判定定理解决问题

解决办法：

1.对于重点内容，通过多媒体动画演示和几何模型展示，帮助学生直观理解平面与平面垂直的判定过程，增强空间想象能力。

2.对于难点内容，通过分组讨论、师生互动，引导学生逐步理解证明过程，并通过适量练习题巩固应用。

3.鼓励学生提问和发表不同见解，及时解答学生疑问，确保学生能够有效克服难点。四、教学方法与手段教学方法：

1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生发现平面与平面垂直的判定定理，激发学生的思考和探究兴趣。

2.案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会如何运用平面与平面垂直的判定定理解决问题，提高学生的实践能力。

3.小组合作法：将学生分成小组，进行讨论和交流，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

教学手段：

1.多媒体教学：利用多媒体课件，通过动画演示和图片展示，直观地呈现平面与平面垂直的判定过程，帮助学生建立空间观念。

2.网络教学平台：利用网络教学平台，发布教学资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。

3.教学软件：运用几何画板等教学软件，让学生在操作中体验和理解平面与平面垂直的判定定理，提高学生的学习兴趣和动手能力。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对“平面与平面垂直的判定”的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道什么是平面与平面垂直吗？它在我们生活中有什么实际意义？”

展示一些关于平面与平面垂直的图片或简单几何模型，让学生初步感受这一概念的实际应用。

简短介绍平面与平面垂直的基本概念和其在几何学中的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解平面与平面垂直的基本概念、判定方法和原理。

过程：

讲解平面与平面垂直的定义，包括其主要判定条件和应用。

详细介绍平面与平面垂直的判定方法，使用几何图形和实例帮助学生理解。

3.案例分析与练习（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解平面与平面垂直的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的平面与平面垂直的案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解平面与平面垂直的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际几何问题解决的影响，以及如何应用平面与平面垂直的判定方法解决实际问题。

布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与平面与平面垂直相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对平面与平面垂直的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调平面与平面垂直的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括平面与平面垂直的基本概念、判定方法和案例分析等。

强调平面与平面垂直在几何学中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用平面与平面垂直的知识。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于平面与平面垂直的短文或报告，以巩固学习效果。六、拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-推荐阅读《几何学中的位置关系》一书，其中包含了关于点、直线、平面之间位置关系的深入讲解和丰富案例。

-推荐学生阅读数学杂志或期刊，如《数学通报》、《数学的奥秘》等，寻找与平面与平面垂直相关的研究文章或教学论文。

-鼓励学生浏览数学学科网站，如“中国数学教育网”、“数学家园”等，寻找与本节课内容相关的教学资源和解题思路。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-让学生思考现实生活中还有哪些场景涉及到平面与平面垂直的应用，尝试举例说明。

-布置一道openproblems或researchquestions，如“在三维空间中，如何判断一个点是否在某个平面的正上方？”

-鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，如全国高中生数学竞赛、青少年数学国际竞赛等，提升自己的数学水平和研究能力。

-引导学生利用网络资源和图书馆书籍，深入研究平面与平面垂直的判定方法的起源和发展历程。

3.课后作业与实践：

-布置一些具有挑战性的习题，让学生独立解决，如证明题、综合应用题等。

-让学生设计一个简单的几何模型，展示平面与平面垂直的判定过程，并拍摄视频或制作PPT进行讲解。

-鼓励学生参与数学论坛或社交媒体讨论，分享自己对本节课内容的理解和心得。七、典型例题讲解例题1：

已知平面α过点A(1,2,3)和点B(4,6,8)，平面β过点C(0,1,2)和点D(2,4,6)。证明平面α与平面β垂直。

解答：

步骤1：首先，我们需要确定两个平面的法向量。

步骤2：对于平面α，法向量可以通过点A和点B来确定，即nα=AB=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步骤3：对于平面β，法向量可以通过点C和点D来确定，即nβ=CD=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,2)。

步骤4：接下来，我们计算两个法向量的点积，即nα·nβ=3×2+4×3+5×2=6+12+10=28。

步骤5：由于点积等于0，我们可以得出结论，nα⊥nβ，即平面α与平面β垂直。

例题2：

已知直线l过点P(1,2,3)和点Q(4,6,8)，且直线l与平面α垂直。求平面α的一个法向量。

解答：

步骤1：由于直线l与平面α垂直，因此直线l的方向向量也与平面α的法向量垂直。

步骤2：直线l的方向向量可以通过点P和点Q来确定，即l=PQ=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步骤3：设平面α的一个法向量为nα=(x,y,z)。

步骤4：由于l·nα=0，我们可以得到方程3x+4y+5z=0。

步骤5：为了找到一个特定的法向量，我们可以取x=1，从而得到nα=(1,-3/4,-5/4)。

例题3：

已知点A(1,2,3)在平面α上，点B(4,6,8)在平面α上，点C(0,1,2)在平面β上。求平面α与平面β的一个法向量。

解答：

步骤1：平面α的法向量可以通过点A和点B来确定，即nα=AB=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步骤2：平面β的法向量可以通过点C来确定，即nβ=CC′=(0-1,1-2,2-0)=(1,-1,2)。

步骤3：设平面α与平面β的法向量的和为nα+nβ。

步骤4：由于nα·nβ=0，我们可以得到方程3×1+4×(-1)+5×2=0。

步骤5：解方程得到nα+nβ=(3,-4,10)。

例题4：

已知平面α与直线l垂直，直线l的方向向量为(2,3,4)。求平面α的一个法向量。

解答：

步骤1：平面α的法向量与直线l的法向量垂直，因此它们的点积为0。

步骤2：设平面α的一个法向量为nα=(x,y,z)。

步骤3：由于nα·l=0，我们可以得到方程2x+3y+4z=0。

步骤4：为了找到一个特定的法向量，我们可以取x=1，从而得到nα=(1,-3/2,-2)。

例题5：

已知点A(1,2,3)在平面α上，点B(4,6,8)在平面α上，直线l过点A和点B。求平面α的一个法向量。

解答：

步骤1：由于点A和点B都在平面α上，因此直线AB是平面α上的一条直线。

步骤2：直线AB的方向向量可以通过点A和点B来确定，即l=AB=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步骤3：设平面α的一个法向量为nα=(x,y,z)。

步骤4：由于nα·l=0，我们可以得到方程3x+4y+5z=0。

步骤5：为了找到一个特定的法向量，我们可以取x=1，从而得到nα=(1,-3/4,-5/4)。八、板书设计1.导入新课：

-展示平面与平面垂直的概念和重要性，引导学生思考其在现实生活中的应用。

2.基础知识讲解：

-平面与平面垂直的定义和判定方法

-判定定理的证明过程

3.案例分析与练习：

-平面