中考数学一轮复习考点+题型讲练测第32讲 锐角三角函数及其应用（练习）（解析版）

第32讲锐角三角函数及其应用目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01理解正弦、余弦、正切的概念题型02求角的正弦值题型03求角的余弦值题型04求角的正切值题型05已知正弦值求边长题型06已知余弦值求边长题型07已知正切值求边长题型08含特殊角的三角函数值的混合运算题型09求特殊角的三角函数值题型10由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型11用计算器求锐角三角函数值题型12根据特殊角的三角函数值求角的度数题型13已知角度比较三角函数值大小题型14根据三角函数值判断锐角的取值范围题型15利用同角三角函数关系求解题型16互余两角三角函数关系题型17构造直角三角形解直角三角形题型18网格中解直角三角形题型19在坐标系中解直角三角形题型20解直角三角形的相关计算题型21构造直角三角形求不规则图形的边长或面积题型22仰角、俯角问题题型23方位角问题题型24坡度坡比问题题型25坡度坡比与仰角俯角问题综合题型01理解正弦、余弦、正切的概念1．（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BD【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．2．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A．5cos31° B．5sin31°【答案】B【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．【详解】∵铁球上滚的距离×sin31°=∴铁球距地面的高度=5sin故选：B．【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．3．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CD【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．【详解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合题意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合题意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．题型02求角的正弦值1．（2022·山东济宁·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6,PC=4，则sin∠CAD等于（

A．35 B．25 C．3【答案】D【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP即可【详解】解：连接OC，CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵AB=6∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴sin∠CAD=sin∠COP=故选：D．【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．2．（2017·广东东莞·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,3，那么sinα的值是（

A．34 B．43 C．4【答案】D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3)∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，OA=∴sin故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．3．（2023·浙江金华·校考一模）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=【答案】45【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，由题意得CE=4，∴AC=A∴sinA故答案为：45【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．题型03求角的余弦值1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（

A．45 B．35 C．4【答案】A【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．【详解】解：连接AD，如右图所示，∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值为45故选：A．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．2．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（

）A．5−14 B．5+14【答案】B【分析】过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．根据等边对等角，三角形内角和定理求出∠ABC和∠C，根据角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD，根据三角形外角的性质求出∠BDC，根据等角对等边确定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示AE的长度，根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式，并用a表示b，进而用a表示AD的长度，最后根据余弦的定义即可求解．【详解】解：如下图所示，过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180°−∠A∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=1∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．∴∠BDC=∠C，AD=BD．∴AD=BD=BC=b．∴DC=AC−AD=a−b．∵DE⊥AB，∴AE=1∵∠ACB=∠BCD，∴△ABC∽△BDC．∴ABBD∴ab∴用a表示b得b1=5∴b=5∴AD=5∴cosA=故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题关键．3．（2022·河北·模拟预测）在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则cosC的值为（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．3【答案】C【分析】根据tanB的值，把AC、AB边长设为3t、4t，勾股定理求出BC边，再利用三角函数的定义求解cosC．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=ACAB=0.75=3设AC=3t，AB=4t，则BC=5t，故，cosC=ACBC=4t故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．题型04求角的正切值1．（2022·广东广州·广东实验中学校考二模）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（

）A．43 B．32【答案】D【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC=32，从而得到tan∠ADC【详解】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC∵∠ADC=∠ABC，∴tan∠ADC=32故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P1,1，则tan∠OAP的值是（A．33 B．22 C．【答案】C【分析】由P1,1可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为OP∥AB，则△OAB为等腰直角形，设OC=x，OB=2x【详解】∵P点坐标为（1，1），则OP与x轴正方向的夹角为45°，又∵OP∥AB，则∠BAO=45°，△OAB为等腰直角形，∴OA=OB，设OC=x，则OB=2OC=2x，则OB=OA=3x，∴tan∠OAP=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．3．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为．【答案】4【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得∠A=α,∠B=β，从而可得∠A=∠B，再根据相似三角形的判定证出△AOC∼△BOD，根据相似三角形的性质可得OC的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：OP⊥CD，∵AC⊥CD，∴AC∥OP，∴∠A=α，同理可得：∠B=β，∵α=β，∴∠A=∠B，在△AOC和△BOD中，∠A=∠B∠ACO=∠BDO=90°∴△AOC∼△BOD，∴OC∵AC=3,BD=6,CD=12,OD=CD−OC，∴OC解得OC=4，经检验，OC=4是所列分式方程的解，则tanα=故答案为：43【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．题型05已知正弦值求边长1．（2022·安徽合肥·统考二模）图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=35，则△AEF的面积为（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】连接BF，由已知CE=AE=BE得到∠A=∠FBA=∠ACE，再得出∠CEF与∠CBF的关系，由三角函数关系求得CF、BF的值，通过BF=AF，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接BF，∵CE是斜边AB上的中线，∵CE=AE=BE=1∴∠A=∠FBA=∠ACE，又∵∠BCA=∠BEF=90°，在△ABC中，∠CBF=180°−∠ACB−∠A−∠ABF=90°−2∠A，在△AEC中，∠CEF=180°−∠AEF−∠A−∠ACE=90°−2∠A，∴∠CEF=∠CBF，∴sin∵BC=4，设CF=3x,BF=5x，则BC2+C解得x=1（负值舍掉），∴CF=3,BF=5，∴EF是AB的垂直平分线，∴BF=AF=5，∴S∴S故选：C．【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．2．（2020·山东潍坊·统考二模）如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（

）A．cosα,1 B．1,sinα C．【答案】D【分析】作PA⊥x轴于点A．那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为cosα；PA是α的对边，是点P的纵坐标，为sinα．【详解】解：如图，作PA⊥x轴于点A，则∠POA=α，则sinα=PAPO∴PA=OPsinα，∵cosα=AOPO∴OA=OPcosα．∵OP=1，∴PA=sinα，OA=cosα．∴P点的坐标为(cosα,sinα)，故选D.【点睛】解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系．3．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若EB=1，且sin∠CFD=35【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）连接OD，直接利用切线判定定理证明即可；（2）根据sin∠CFD=ODOF，则设OD=3x，OF=5x，可得EB=65x【详解】（1）(1)连接OD，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）∵sin∠CFD=设OD=3x，OF=5x，则AB=AC=6x，AF=8x，∴AE=AFsin∴EB=AB−AE=6∴65∴x=5∴OD=52，∴DF=O【点睛】本题是圆的综合问题，涉及到切线的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识点，本题第二问关键在于能够用表示OD的字母表示出EB．题型06已知余弦值求边长1．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83【答案】B【分析】根据余弦的定义即可求解．【详解】解：∵∠C=90°,cos∴AB=AC故选B．【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．2．（2022·北京西城·统考二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=45【答案】(1)见解析(2)BF的长为325【分析】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是矩形；（2）在Rt△BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt△BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，∴∠EAB=∠FCD，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE=DF，∠F=∠E=90°，∴BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠E=90°，∴四边形EBFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，在Rt△BCO中，cos∠OBC=45∴OBBC∴OB=4，则BD=2OB=8，在Rt△BDF中，cos∠OBC=45∴BFBD∴BF=45×8=32【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．3．（2022·陕西·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，CD是⊙O的切线，过点B作BD⊥CD于点D，交⊙O于点E．(1)证明：点C是AE的中点；(2)若BD=4，cos∠ABD=13【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）连接OC,AE，根据题意证明AE⊥OC，根据垂径定理即可求解；（2）先证明四边形CDEF是矩形，根据cos∠ABD=13，设BE=a，则AB=3a，根据矩形的性质以及三角形中位线的性质求得DE，根据DB=4【详解】（1）如图，连接OC,AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°,即AE⊥BD∵CD是⊙O的切线，∴CO⊥CD，∵BD⊥CD，∴AE∥∴CO⊥AE，∴AC∴点C是AE的中点；（2）如图，连接OC,AE，设AE,CO交于点F，由（1）可知OC⊥CD,CO⊥AD,AE⊥BD，∴四边形CDEF是矩形，∴CF=DE，∵cos∠ABD=设BE=a，则AB=3a，∴AE=A∴AF=FE=CD=2∵AO=BO,AF=EF，

∴OF=1∴DE=CF=CO−FO=3∴DB=DE+EB=a+a=2a，∵DB=4，∴a=2，∴AB=3a=6，∴⊙O的半径为12【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的性质与判定，已知余弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．题型07已知正切值求边长1．（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（

A．25+34 B．25【答案】B【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，∵∠ABC=90°，tan∠BAC=∴tan∠DAP=∴DPAD∵AD=2，∴DP=1，∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，∴△ADP∽△ABC，∴APAC∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，∴∠DAB=∠PAC，APAC∴△ADB∽△APC，∴ADAP∵AP=A∴PC=AP⋅DB∴PD+PC=1+25，PC−PD=2在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD<DC，∴25当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为25故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·广东深圳·统考二模）如图，直角△ABC中，∠C=90°，根据作图痕迹，若CA=3cm，tanB=34，则【答案】15【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，tanB∴tanB∴BC=4cm，∴AB=A由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，AE=BE=AB∴tanB∴DE=3故答案为：158【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键．3．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．

(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝4，tanA＝12，求△OCD【答案】(1)PC与⊙O相切，理由见解析(2)9【分析】（1）先证明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可证明∠PCO=90°即可；（2）先证明BCAC=12，再证明△PBC∽△PCA，从而求出PA=4，PB=1，AB=3，OC=OB=32，OP=【详解】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切；（2）解：∵∠ACB=90°，tanA∴BCAC∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PCPA∴PA=8∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥∴△PBC∽△POD，∴PBOP=PC∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角证明，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆切线的判定是解题的关键．题型08含特殊角的三角函数值的混合运算1．（2022·广东珠海·珠海市第九中学校考一模）计算：6sin【答案】-3【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．【详解】解：原式=6×=3=−3．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．2．（2022·江西·模拟预测）（1）计算：−1−3（2）先化简，再求值：x2+2x+1x−2022【答案】（1）−5；（2）【分析】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．【详解】（1）(−1)==−1+2+=−5（2）x===∵x=cos∴原式==1【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．3．（2023·河南商丘·校考二模）先化简，再求值：a2−2aa【答案】11−a，【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a值，然后把a值代入化简式计算即可．【详解】解：原式===1当a=2cos原式=【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．题型09求特殊角的三角函数值1．（2022·贵州铜仁·统考二模）tan30°的值等于（

A．33 B．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan30°=故选：A．【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．2．（2022·天津滨海新·统考二模）2sin45°的值等于（A．22 B．33【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】解：2sin故选：D．【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．题型10由特殊角的三角函数值判断三角形形状3．（2021·贵州黔西·统考模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=1A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断∠A=30°，∠B=60°，从而可求出∠C=90°，即证明△ABC的形状是直角三角形．【详解】∵∠A，∠B都是锐角，且sinA=12∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−30°−60°=90°，∴△ABC的形状是直角三角形．故选D．【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2．（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若sinA−32+12−cosB【答案】等边【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断△ABC的形状．【详解】解：∵sinA−∴sinA−32∴sinA=32∴∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．3．（2019·四川自贡·统考一模）在△ABC中，（cosA﹣12）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝【答案】75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=12【详解】解：∵（cosA﹣12）2+|tanB∴cosA﹣12＝0，tanB则cosA＝12，tanB∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为75°．【点睛】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理4．（2022·河北·模拟预测）已知△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且cosA−(1)分别求出三个内角度数；(2)若AC=2，求AB长度．【答案】(1)∠A=60°，∠B(2)1+【分析】(1)根据非负数的性质可得cosA=12，tanB=1，进而确定∠(2)过点C作CD⊥AB于点D，求出AD和BD即可．【详解】（1）解：∵∴cosA−∴cosA=∴∠A=60°，∴∠C=180°−60°−45°=75°；（2）解：如图：过点C作CD⊥AB于点D∵AC=2∴∠ACD=∴AD=1，∵∠B=∴∠BCD=∴BD=∴AB=【点睛】本题主要考查非负数的性质以及特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解决本题的关键．题型11用计算器求锐角三角函数值1．（2023·山东威海·统考一模）利用科学计算器计算12cos35°A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【详解】解：利用该型号计算器计算12

故选：A．【点睛】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．2．（2023·山东烟台·统考二模）运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（

）A．计算5的按键顺序依次为B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键D．用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.5【答案】D【分析】根据计算器的使用方法依次判断各个选项即可．【详解】解：A选项，计算5的按键顺序正确，本选项不符合题意；B选项，要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键正确，本选项不符合题意，C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，本选项不符合题意，D选项，用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.866025403，不是0.5，原说法错误，本选项符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查计算器的基础知识，熟练掌握计算器的使用是解题的关键．3．（2020·山东淄博·统考一模）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是．

【答案】-1【分析】根据计算器的按键代表的运算可得答案．【详解】解：(−2)3故答案为：−1.【点睛】本题考查的是计算器的使用，掌握使用计算器是解题的关键．题型12根据特殊角的三角函数值求角的度数1．（2021·广东广州·校联考二模）已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝．【答案】30°/30度【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．【详解】解：∵1﹣2sinA＝0，∴sinA＝12∴∠A＝30°．故答案为：30°．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2．（2023·广东佛山·校考一模）若tan（a-10°）＝1，则锐角a=【答案】55°/55度【分析】根据特殊角的三角函数tan45°【详解】解：∵tan（a−10°）∴a−10°=45°，∴a=55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值tan45°题型13已知角度比较三角函数值大小1．（2019·江苏南京·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是(

)A．sinA＜sinB B．cosA＜cosBC．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【答案】B【分析】本题可采用特殊值法，令∠A=60°,∠B=30°，然后利用特殊角的三角函数值进行判断即可．【详解】∵∠C＝90°，∠A>∠B，∴可令∠A=60°,∠B=30°．A.sinA=32B.cosA=12C.tanA=3,D.sinA=32故选：B．【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊值法在选择题中的应用是解题的关键．2．（2020·四川成都·校考模拟预测）比较大小：sin54°cos35°（填“<”“【答案】<【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．【详解】∵cos35°=在锐角范围内，sinα随α∴sin54°<∴sin54°<故答案为：＜．【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可．3．（2017·四川遂宁·统考一模）化简：(1−sinA．tan52°−sinC．2−sin52°−【答案】C【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵1-sin52°＞0，1-tan52°＜0，∴1−=1-sin52°-tan52°+1=2-sin52°-tan52°．故选：C．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质和正弦、正切的增减性是解题的关键．题型14根据三角函数值判断锐角的取值范围1．（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（

）A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间【答案】D【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.【详解】解：∵tan60∴∠A>60∴60°故选：D.【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan302．（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α满足cosα＜22且tanα＜3，则αA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵cosα<22∴0<cosα<22又∵cos90°=0,cos45°=22∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵tanα<3，∴0<tanα<3，又∵tan0°=0,tan60°=3，0<α<60°；故45°<α<60°.故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键题型15利用同角三角函数关系求解1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tan∠DAC的值为（

A．23 B．63 C．6【答案】B【分析】先根据题目已知条件推出△ABD∽△CAD，则可得∠DAC=∠B，然后根据BD:CD=3:2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，进而得出tan∠DAC【详解】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°,∵AD⊥BC于点D，∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°∴∠BAD=∠C，∠B=∠DAC，∴Rt△ABD∽△CAD，∴BDAD=AD∵BD:CD=3:2，∴设BD=3x，CD=2x，∴AD=3x⋅2x∴tan∠B=故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．2．（2023·吉林松原·统考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则tanA＝【答案】4【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．【详解】由sinA＝45∴tanA＝ab=4故答案为43【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．3．（2019·浙江杭州·模拟预测）α为锐角，则sin2α+cos2α=．若【答案】150°【分析】根据同角的三角函数关系可得结果．【详解】解：∵α为锐角，∴sin2∵sinα=∴α=90°-40°=50°，故答案为：1，50°．【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，属于基础知识．4．（2018·浙江宁波·统考一模）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=43DC，求DF【答案】（1）证明见解析；（2）35【分析】（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出DFCF【详解】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵CE=CF∴∠4=∠5，∵∠3=∠4，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴ADAC∵BD=43DC∴tan∠ABC=CDBD=∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=34∴sin∠ACD=ADAC∴DFCF=AD【点睛】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键．题型16互余两角三角函数关系1．（2018·山东聊城·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=13，那么sinA．223 B．22【答案】A【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中,∠C=90°，sinA=13∴cosA=1−sin2A=1−∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=22故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.2．（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67【答案】6【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，sinA=∴sinA=∴cosB=故答案为：67

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=3．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：sinα−β=sinαcosβ−cos例：sin15°=(1)试仿照例题，求出cos75°(2)若已知锐角α满足条件sinα=13【答案】(1)6(2)4【分析】（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式cosα+β（2）把2α化为α+α直接代入三角函数公式sinα+β【详解】（1）解：∵cosα+β∴cos===6（2）解：∵sinα=13解得cosa=∴sin==2×=4【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．4．（2020·广东惠州·统考一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：

如图1：sin2如图2：sin2如图3：sin2①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b③已知：∠A+∠B=90°，且【答案】1，1，1①1②见解析③sin【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；①由上计算可想到在Rt△ABC中，∠C=90°②在Rt△ABC中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出sinA=ac，sinB=③利用关系式sin2A+sin【详解】由图可知：sinsinsin故答案为：1，1，1．①观察上述等式，可猜想：sin故答案为：1．②在Rt△ABC中，∵sinA=a∴sin∵∠C∴a∴sin③∵sinA=0.7，∴sin【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．题型17构造直角三角形解直角三角形1．（2022·河北保定·统考一模）如图1，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长都为1，ΔABC的顶点均在格点上，利用四边形的不稳定性，将网格变化成小菱形网格，且小菱形的较小角为60°，ΔABC也相应地变成了△A'BA．3 B．323 C．3【答案】B【分析】设ΔABC以BC为底边的高为ℎ，ΔA'B'C'【详解】设ΔABC以BC为底边的高为ℎ，ΔA'B'由题意可得ℎ=2，ℎ'即ΔA'B故选：B．【点睛】本题考查了图形变换及特殊角的三角函数，解题的关键是理清变换前后两三角形高之间的关系．2．（2021·江苏常州·统考二模）在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝27，BC＝6，则∠B的正切值为．【答案】3【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中可求EC，BE，在Rt△BEA中可求AE，由AC=AE+EC，可求AC；在Rt△ADC中，可求CD，AD，由BD=BC-CD，可求BD；则在Rt△BAD中，∠B的正切值可求．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，如图，在Rt△BEC中，∵cosC＝CEBC∴EC=BC•cos60°=3．∴BE=BC2−CE2在Rt△BEA中，AE=AB2−B∴AC=AE+EC=3+1=4．在Rt△ADC中，∵cosC=CDAC∴CD=AC•cos60°＝2．∴AD=AC2−CD2BD=BC﹣CD=6﹣2=4．在Rt△BAD中，tan∠B=ADBD=234故答案为：32【点睛】本题主要考查了解非直角三角形，勾股定理．作出锐角三角形的高线，将非直角三角形问题转化成解直角三角形，利用直角三角形的边角关系和勾股定理求解是解题的关键．3．（2022上·山东泰安·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，tanB=34，BC=10，则AB【答案】14【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可．【详解】过点C作CD⊥AB于点D，∵∠A=45°，tanB=34∴∠B＜45°，∵tan45°=tanA=CDAD=1设AD=CD=3x，则BD=4x，∴9x解得x=2，x=-2舍去，∴AB=AD+BD=7x=14，故答案为：14．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角三角形是解题的关键．4．（2018·黑龙江哈尔滨·统考一模）在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=223，则∠ABC的大小为【答案】30或150/150或30【分析】作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，先求出CD的长，进而分两种情况求解∠ABC的大小即可，①若点B在AD左侧，②若点B在AD右侧．【详解】如图，作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，

∵AC=3，cos∠ACB=22∴CD=ACcos∠ACB=3×223=22，则AD①若点B在AD左侧，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若点B在AD右侧，则∠AB′D=30°，∴∠AB'C=150°，故答案为30或150．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，理解题意，运用数形结合思想是解题的关键．5．（2021上·浙江湖州·九年级统考期末）根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时∠ABO是45°，AB长为20cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75（1）求固定点A到窗框OB的距离；（2）若测得∠AOB=37°，求OA的长度．【答案】（1）14cm；（2）23cm．【分析】（1）过A作AD⊥OB于D，解直角三角形ABD即可；（2）根据（1）中AD的长，解直角三角形ADO即可．【详解】解：（1）过A作AD⊥OB于D，则AD的长就是A到OB的距离，在Rt△ABD∵ADABAB=20，∠ABD=45°，∴AD20即AD20∴AD=102（2）∵AD⊥OB，在Rt△AOD∵ADAOAD=14，∠AOD=37°，∴14AO即14AO∴AO=14【点睛】本题考查了作高构造直角三角形，并解直角三角形，熟练掌握构造高线构造直角三角形，并灵活求解是解题的关键．题型18网格中解直角三角形1．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若∠CAD=30°，则阴影部分的面积为（

）A．56π+543 B．【答案】D【分析】取AD的中点O，连接OC，过点O作OE⊥AC于点E，分别求出扇形OCD和△OAC的面积，得到阴影部分的面积．【详解】解：取AD的中点O，连接OC，过点O作OE⊥AC于点E，∵∠AFD=90°，∴AD为直径，AD=AF∴OA=OC=OD=13,∠COD=2∠DAC=60°，∴S扇形OCD在直角△OAE中，OE=OAsin∠A=12AE=OAcos∠A=32∴AC=2AE=39,∴S△AOC∴阴影部分的面积S=136故选择D

．【点睛】本题考查求不规则图形的面积，解决问题的关键是把不规则图形转化为规则图形面积的和或差．2．（2021·福建·统考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC=．【答案】3【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，只需求得BE即可求得sin∠BAC【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，由图可得，AB=10，AC=10，BC=2，∵S∴1∴BE=3∴sin故答案为：35【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形．要注意直角三角函数的性质进行解题，本题易错点在于学生误认为sin∠BAC=23．（2020·甘肃天水·统考中考真题）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是

【答案】2【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得△ABO【详解】连接AB如图所示：设小正方形的边长为1，∴OA2=32+1=10，∴△ABO∴sin∠故答案为：22【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.题型19在坐标系中解直角三角形1．（2023·安徽·统考模拟预测）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=60°，点B的坐标为(−2，0)，若反比例函数y=kx经过点A

【答案】−【分析】解直角三角形求出A点坐标，然后用待定系数法求出解析式．【详解】解：如图所示，过A作AM⊥BO于点M，

∵点B的坐标为(−2，∴OB=2，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=60°∴∠AOB=30°，OA=sin在Rt△OAM中，∠AMO=90°，∠AOB=30°∴AM=12OA=∴点A的坐标为−3∵反比例函数y=kx(k≠0)∴k=−3故答案为：−3【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解直角三角形，求得A的坐标是解题的关键．2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，含30°角的直角三角尺的斜边OA在y轴上，点O是坐标原点，点A的坐标为(0,8)，∠OAB=30°，直角顶点B在第一象限，把直角三角尺OAB绕点O顺时针旋转75°得到△OA'B'，则点B的对应点

【答案】(2【分析】先根据题意画出点B'的位置，然后过点B'作x轴的垂线，接下来依据旋转的定义和性质可得到OB【详解】解：如图所示：过点B'作B

∵点A的坐标为(0,8)，∴OA=8，∵∠OAB=30°，∠AOB=60°，∴OB=12OA=4∵把直角三角尺OAB绕点O顺时针旋转75°得到△OA∴∠BOB'=75°∴∠COB∴OC=B∴B'的坐标为故答案为：(22【点睛】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到∠COB3（2023·广东梅州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为0,23，OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为

【答案】2π−23/【分析】连接AB，从图中明确S阴影【详解】解：连接AB，

∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得：∠OBA=∠OCA=30°，∵点B坐标为0,23∴OB=23∴

OA=OBtan∠ABO=OBtan即圆的半径为2，∴S阴影故答案为：2π−23【点睛】本题考查了同弧对的圆周角相等；90°的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式，解题的关键是熟练运用所学的知识进行解题．4．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背AB是双曲线y=kxk>0的一部分，椅面BD是一条线段，点B20,32，沙发腿DE⊥x轴、BC与

（1）k＝；（2）过点A作AF⊥x轴于点F．已知CF=4 cm，DE=40 cm，tanα=4①A点坐标为；②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是cm3【答案】6408,802.5×【分析】（1）通过待定系数法可直接求出k的值；（2）过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作BN⊥DE轴，垂足为N，通过tanα=4可求出CM=8cm，当x=8时，y=6408=80，即可求得A点的坐标，通过tanD=5【详解】解：（1）∵B20,32∴32=k∴k=640，故答案为：640；（2）过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作BN⊥DE轴，垂足为N，

①∵tanα=4，tanα=BM∴CM=8cm，∵OM=20，FC=4,∴OF=OM−CM−FC=20−4−8=8cm，∵双曲线y=640∴当x=8时，y=640∴A8,80故答案为：8,80；②∵DN=DE−NE=DE−BM=40−32=8cm，tanD=∴BN8∴BN=40cm，∴FE=BN+FC+CM=40+4+8=52cm，∴包装箱的体积至少为60×AF×FE=60×80×52=249600cm采用科学记数法，且精确到万位得2.5×105故答案为：2.5×10【点睛】本题考查反比例函数和直角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数和直角三角函数的相关知识．题型20解直角三角形的相关计算1．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝13，则tan∠BOC＝【答案】2【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝AC2−BC2＝【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵sin∠BAC＝BCAC＝1∴设BC＝x，AC＝3x，∴AB＝AC2−BC2＝∴OB＝12AB＝2x∴tan∠BOC＝BCOB=x故答案为：22【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．2．（2022·广东广州·统考二模）如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD与FE交于P点．若tan∠BCE=13，则PF【答案】10【分析】先根据tan∠BCE=BEBC=13求出BE，即可求出AE，根据勾股定理求出CE，可知EF，然后在Rt△【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=3，∠B=∠A=90°．在Rt△BCE中，tan∠BCE=∵BC=3，∴BE=1，∴AE=AB-BE=2．在Rt△BCE中，CE=B∴EF=CE=10∵∠AEP=∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，∴∠AEP=∠BCE，∴tan∠AEP=∵AE=2，∴AP=2在Rt△AEP中，PE=A∴PF=EF−PE=10故答案为：103【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等，求出tan∠AEP=3．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是．【答案】19【分析】作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=32【详解】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=32观察图像可知：BH=6a+7a⋅AH=5×a⋅所以tanβ＝BHAH故答案为1915【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解．4．（2020·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30°，则如tan∠DEC的值为【答案】3【分析】过C向BD作垂线，可以构造出一个30°直角三角△CDF，进而求出△AEB≌△CFD，设直角△CDF最小边DF=a,并用a的代数式表示出其他边，即可求出答案．【详解】解：过C作CF⊥BD，垂足为F点∵矩形ABCD,∠ADB=30°∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠ADB=30°,AB=CD∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90°,∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90°,∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°设DF=a,则CF=3a，CD=2a，BD=∵AE⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°∴△AEB≌△CFD，∴EB=DF=a∴EF=4a∴tan∠DEC=故答案是32【点睛】本题主要考查了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．题型21构造直角三角形求不规则图形的边长或面积1．（2019·江苏苏州·统考中考真题）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为c【答案】14+16【分析】过顶点A作AB⊥大直角三角形底边，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可【详解】如图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边由题意：EC=2∴CD=5

=42∴小等腰直角三角形的直角边为2CD∴大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm2小等腰直角三角形面积为（8−22）22∴S

【点睛】本题主要考查阴影部分面积的计算，涉及到直角三角形的基本性质，本题关键在于做出正确的辅助线进行计算2．（2020下·浙江温州·九年级期末）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图，AO为固定底座，且AO⊥OE于点O，AB为固定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，灯体CD始终保持垂直BC,MN为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使BC//OE，已知此时DM=DN，tan∠B=43,AO=CD=1dm,AB=5dm,BC=7dm，点M恰好为ON的中点，此时【答案】1010【分析】如图1：延长OA交BC于点G，延长CD交ON于点H，可得四边形OHCG是矩形，从而得AG=4，BG=3，结合DM=DN，点M恰好为ON的中点，即可求解；如图2，延长过点B作BH⊥OE于点H，过点M作PF∥BC交BA的延长线于点P，交DN于点F，交CD的延长线于I，过点N作NJ⊥CD的延长线于点J，则∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，cos∠DMF=1010，设MI=x，则MP=7-x，DM=10x，DI=3x，根据BP=CI，列出方程，求出x的值，从而求得MQ=72，设NJ=y，根据IFNJ=【详解】解：如图1：延长OA交BC于点G，延长CD交ON于点H，∵BC//OE，AO⊥OE，BC⊥∴OG⊥BC，CH⊥OE，∴四边形OHCG是矩形，∵在Rt△ABG中，tanB=又∵AB∴AG=4，BG=3，∴OG=AO+AG=1+4=5，OH=CG=BC-BG=7-3=4，∴CH=OG=5，∴DH=5-1=4，∵DM=DN，点M恰好为ON的中点，∴MH=12∴MH=13∴MD=DH∴cos∠DME=MH如图2，延长过点B作BH⊥OE于点H，过点M作PF∥BC交BA的延长线于点P，交DN于点F，交CD的延长线于I，过点N作NJ⊥CD的延长线于点J，则∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，∴AGBG=AOBH，即：AG5+AG∴OG=AG由题意得：cos∠DMF=1010，DJ是∠MDN设MI=x，则MP=7-x，DM=10x，DI=3x∴PG=MPtan∵BP=CI，∴5+54+34(7−x)=1+3x，解得：x∴MI=IF=145，DI=145×3=IQ=MItan∠CQM=MItan∠AGO=设NJ=y，则QJ=NJtan∠NQJ=NJtan∵IF∥NJ，∴IFNJ=DI解得：y=14经检验：y=14∴NQ=54∴MN=72+356=【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，根据三角函数的定义，列方程，是解题的关键．3．（2019·浙江温州·统考二模）小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧AD，BC和矩形ABCD组成，BC的圆心是倒锁按钮点M．其中AD的弓高GH=2cm,AD=8cm,EP=11cm．当锁柄PN绕着点N旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与BC所在圆相切，且PQ//DN,tan∠NQP=2,则AB的长度约为cm．(结果精确到0.1cm，参考数据:3≈1.732,【答案】29.8【分析】作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，连接BM，设HM交BC于K，求出BM＝5，MK＝3，然后PQ∥DN,tan∠NQP=2，求出DE＝NG＝8，TQ＝12，NT＝9，TP＝6，PQ＝65【详解】解：如图，作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，连接BM，设HM交BC于K．由等弧AD，BC可知：BC的弓高为2cm，BC=AD=8cm，设BM＝rcm，在Rt△BMK中，则有r2＝42＋（r−2）2，解得r＝5，∴BM＝5，MK＝3，∵DN∥PQ，∴∠DNE＝∠P，∵NP＝NQ，∴∠P＝∠NQP，∴∠DNE＝∠NQP，∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝DENE∵NE＝DG＝4cm，∴DE＝NG＝8cm，设PT＝xcm，则tan∠P＝tan∠NQP＝2＝TQPT∴TQ＝2x，在Rt△NTQ中，则有152＝（15−x）2＋（2x）2，解得x＝6，∴TQ＝12cm，NT＝9cm，TP＝6cm，PQ＝65∵直线PQ与BC所在的圆相切，作MF⊥PQ于F，则MF＝5，延长PQ交NM的延长线于S，∵TQ∥SN，∴TQSN=PT∴SN＝30cm，∵sin∠S＝MFSM∴5SM∴SM＝55∴MN＝SN−SM＝（30−55∴AB＝GN＋MN＋MK＝8＋30−55＋3＝41−5故答案为：29.8．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，平行线分线段成比例定理，切线的性质，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题．4．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从A−B−C−D−A的四边形循环健身步道．经测量知，∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：3≈1.7，6(1)求步道BC的长；(2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？【答案】(1)步道BC的长为24米；(2)此次改建费用足够．【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；（2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答．【详解】（1）过点B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F，CG⊥BE于点G．∴∠1=∠2=∠3=90°，在Rt△ABE中，∠A=60°∴∠4=30°，∴sin∠A=∴BE=3在Rt△CDF中，∠2=90°∴sin∠D=sin在矩形CGEF中，GE=CF=103∴BG=BE−GE=103在Rt△CBG，∠3=90°，且∠5=∠ABC−∠4=45°∴tan∠5=∴CG=BG=103∴BC=B答：步道BC的长为24米．（2）在Rt△ABE中1，∠1=90°∴cos∠A=∴AE=1在Rt△CDF中，∠2=90°∴cos∠D=∴DF=1∴S==1∴总共花费：200×875=175000，∵180000>175000，答：此次改建费用足够．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2021·江苏连云港·统考中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB=4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD=0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO=5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°=cos53°≈35，cos37°=sin53°≈【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，构建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用BE+EF求出BF，在Rt△BFC中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用CF+AE−AD=CH;（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，构建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【详解】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，则AE⊥BF，垂足为E．由cos∠BAE=AEAB∴1516=AE∴DE=AE−AD=4.5−0.4=4.1，由sin∠BAE=BEAB∴38=BE∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3．又tan∠BCF=BFCF∴34=3∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.1=8.1，即C到岸边的距离为8.1m．（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，则AM⊥BN，垂足为M．由cos∠BAM=AMAB，∴cos即AM=2.88，∴DM=AM−AD=2.88−0.4=2.48．由sin∠BAM=BMAB，∴sin即BM=3.84，∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04．∴ON=O∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58，即点O到岸边的距离为4.58m．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．6．（2022上·重庆·九年级重庆一中校考期末）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘AB∥CD，且AB、CD之间的距离为30米，经测量∠A=30°，∠C=45°，(1)求空地边缘AB的长度；（结果精确到1米）(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道EFGH，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？【答案】(1)空地边缘AB的长度为64米；(2)此次修建费用足够【分析】（1）过D作DK⊥AB交AB于K，过C作CH⊥AB交AB的延长线于H，证得四边形DKHC是矩形，从而CD=HK，分别在RtΔCBH和RtΔAKD中，利用正切三角函数求得（2）分别求出▱EFGH和梯形ABCD的面积，从而S塑胶地面【详解】（1）解：（1）如图，过D作DK⊥AB交AB于K，过C作CH⊥AB交AB的延长线于H，∵DK⊥AB，CH⊥AB，∴∠AKD=∠DKH=∠CHK=90∵AB∥∴∠CDK=∠DKH=90°，∴四边形DKHC是矩形，∴CD=HK=42，DK=CH=30，在RtΔCBH中，∴tan∴CH=BH=30，∴KB=KH−BH=42−30=12，在RtΔAKD中，∠3=90∴AK=3∴AB=AK+KB=303答：空地边缘AB的长度为64米．（2）解：由题得，四边形EFGH为平行四边形，∴S∴S∴S∴总花费为：60×80+1530×45=73650（元），∵73650<75000答：此次修建费用足够．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造出含有特殊角的直角三角形，属于中考常考题型．题型22仰角、俯角问题1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为米．【答案】1203【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．【详解】解：由题意可得：tan30°＝BDAD=BD90=解得：BD＝303tan60°＝DCAD=DC90=解得：DC＝903故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝1203故答案为1203【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．2．（2022·广东汕尾·统考二模）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为米．（结果保留根号）【答案】30−10【分析】由三角函数分别求出BC、BD，即可得出CD的长．【详解】解：由题意知：∠BAC=90°-45°=45°，△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB，AB∴BC=AB•tan45°=30米，∵∠BAD=90°-60°=30°，tan∠BAD=BDAB∴BD=AB•tan30°=30×3∴CD=BC-BD=30−103故答案为：30−103【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出BC和BD是解决问题的关键解题的关键．3．（2023·上海普陀·统考二模）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔项部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的