新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册同步练习：模块评价

模块素养评价

（120分钟150分）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.设复数z满足"i,贝！||z|=

1-z

A.1B.V2C.V3D.2

1+z

【解析】选A.因为一=i

l-z

(-1+f)

所以z(1+0(1-i)-1故Iz|=1.

1+i

2.设xER,向量a=(x,1),b=(l,-2),且a±b,则|a+b|=

A.V5B.V10C.2A/5D.10

【解析】选B.因为a，b,所以a・b=0,所以x-2=0,所以x=2,所以

a+b=（3,-1）,|a+b|=V10.

3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个

花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一

花坛的概率是

【解析】选C.总的基本事件是：(红黄，白紫)；(红白，黄紫)；(红紫，黄

白)，共3种.满足条件的基本事件是：(红黄，白紫)；(红白，黄紫)，共2

种.故所求事件的概率为P=W.

3

4.设向量a,b满足|a+b|=V20,a•b=4,则|a-b|=

A.V2B.2A/3C.2D.V6

【解析】选C.考查向量的数量积.因为|a+bI=V20,a•b=4,所以

Ia+b)2-1a-b12=4a,b=16,所以|a-b|=2.

5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用

非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【解析】选B.方法一■:画Venn图，如图

(现金支付(OJ5)非现金支

设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得

x=0.4,

所以不用现金支付的概率为0.4.

方法二：记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则

“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B-(AAB),由已

知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(AAB)=0.15,又

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=0.6+P(B)-0.15=1,所以

P(B)=0.55,P(B-(AnB))=P(B)-P(AAB)=0.55-0.15=0.4.

6.甲、乙两组工人制造零件的个数分别是：

甲:9,9,10,10,12;乙：8,9,9,10,11.

若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,则这两名工人制造的零件总

数不超过20的概率为

A.—B.—C.-D.-

252544

【解析】选B.甲组中5名工人分别记为a,b,c,d,e,乙组中5名工人分

别记为A,B,C,D,E,

分别从甲、乙两组中随机选取1名工人，共有25种方法，制造零件总数

超过20的有：

eB,eC,eD,eE,dE,cE,共6种，

故这两名工人制造的零件总数不超过20的概率P=1-一二一.

2525

7.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为SbS2,体积分别为V、,V2.若它们的

侧面积相等且五三,则久的值是

匕2S2

A：B.2DY

2482

【解析】选B.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为rbr2,高分别为hbh2,

则有2nrh=2nr2h2,

即又生空，所以约2

岭nr^h2V2r2

所以3,贝隹⑶

r

22S21丁2/4

8.已知a,b,c分别是AABC的内角A,B,C所对的边，点M为AABC的重

心.若aMA+bMB+—CMC=O,则C=

3

n「TT_5TT「27r

AA.-B.-C.—D.—

4263

【解析】选D.因为M为Z\ABC的重心，则MA+MB+MC=O,所以

MA=-MB-MC,

,—»—»-1/3—♦

因为aMA+bMB+­c•MC=0,

3

所以a•(-MB-MC)+bMB+—C.MC^O.

3

即(b-a)•MB+(^C-a^•MCU。,

因为MB与MC不共线，所以b-a=O,1-c-aR,

得a：b：3=1：1：1,令a=1,b=1,c=V3,

3

—ca2+b2-c21+1-31

贝”cosC=-------------=----------=一,

2ab2X1X12

二、多选题（每小题5分，共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得

3分,有选错的得0分）

9.某校150名教职工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，从

中抽取30名作为样本.

①采用简单随机抽样法:抽签取出30个样本；

②采用分层随机抽样法:从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本.

下列说法中正确的是

A.无论采用哪种方法,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等

B.采用方法①抽样，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;②

并非如此

C.采用方法②抽样，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;①

并非如此

D.采用方法②抽样，从老年人、中年人、青年人中抽取的人数分别为

4,10,16

【解析】选AD.两种抽样方法中，每个人被抽到的概率都等于一上=±,A

1505

对,BC错误.采用方法②抽样，从老年人、中年人、青年人中抽取的人数

.,205080.

分另”为30X—=4,30X—=10,30X—=16,D对.

150150150

10.已知直线/_L平面a,直线mU平面B,则下面命题正确的为

A.a〃B今

B.aJ_B今/〃m

C.I//m=>a_LB

D.与a不相交

【解析】选ACD.由a得/_LB,又mUB,所以A正确；

由a±3,/±a得/UB或/〃B,故不能得到/〃m,B错误；由

得m_l_a，又mUB,所以aJ_B,C正确；由/J_m,/J_a得m

Ua或m//a,故m,a不相交，D正确.

IL下列命题正确的是

A.a〃bc存在唯一的实数人金R,使得b二、a

B.e为单位向量,且a〃e,则a=±|a|e

C.|a•a•a|=|a|3

D.若a•b=b,c且b#0,则a=c

【解析】选BC.A中，因为a=b=O时，入不唯一，故A错;D中a・b=b・c

今|a|,|b|cos91=Ib|•|c|•cos92（9i,。2分别为a与b及b与c

的夹角），又1b|WO,所以由|a|,cos9i=|c|,cos92推不出a=c,故D

不正确.BC正确.

12.如图所示,边长为2a的正AABC的中线AF与中位线DE相交于G,已

知AA，ED是4AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其

中正确的是

A.动点V在平面ABC上的射影在线段AF上

B.三棱锥A'-FED的体积有最大值

C.恒有平面A'GF_L平面BCED

D.异面直线A'E与BD不可能互相垂直

【解析】选ABC.因为DE_LA'G,DEJ_GF,A'GAGF=G,

所以DEL平面A'GF,又DEU平面BCED,

所以平面A'GF_L平面BCED,故C正确.

过A'作A'H±AF,垂足为H,

则A'HU平面A'GF,所以A'H_LDE,又DEAAF=G,所以A'H_L平面ABC,

故A正确.

三棱锥A'-FED的底面4FED的面积是定值，高是点A'到平面FED的

距离.

易证当A'G，平面FED时距离(即高)最大，三棱锥A'-FED的体积最大,

故B正确.

易知BD〃EF,所以NA'EF是异面直线A'E与BD所成的角(或其补角).

正4ABC的边长为2a,AE二a,EF=a,而A'F的长度的取值范围是

(0,V5a),

当A'F=V^a时，A'E2+EF2=A/F?,NA'EF=90°,

此时直线A'E与BD互相垂直，故D错误.

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.设a£R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则

a=.

【解析】(1+i)(a+i)=(aT)+(a+l)i,所以a+l=0,a=T.

答案:T

14.某种心脏病手术，成功率为0.6,现准备进行3例此种手术,利用计

算机产生0〜9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3代表手术不成功,用

4,5,6,7,8,9代表手术成功，产生20组随机

数:966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,9

98,397,027,488,703,725,则恰好成功1例的概率为.

【解析】设恰好成功1例的事件为A,A所包含的基本事件为

191,270,832,912,134,370,027,703共8个.

则恰好成功1例的概率为P(A)二10.4.

20

答案：0.4

15.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面

上,则该球的表面积为.

【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为

a.设0,分别为下、上底面的中心，且球心0z为0Q的中点，

==

又AD"-a,A0--a,0。2=一，

232

设球的半径为R,

则皿售W*

222

所以S球=4nR=4nX-La=-na.

123

答案:Zna?

3

16.某班开展一次智力竞赛活动,共a,b,c三个问题,其中题a满分是20

分，题b,c满分都是25分,每道题或者得满分,或者得0分,活动结果显

示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15

名同学答对其中两道题,答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与

题c的人数之和为25,答对题b与题C的人数之和为20,则该班同学中

只答对一道题的人数是；该班的平均成绩是.

fx+y=29,

【解析】设x,y,z分别是答对a,b,c题的人数，则有］%+z=25,解

{y+z=20,

X=17,

得y=12,答对一道题的人数为（17+12+8）-3X1-2X15=4,全班总人

z=8,

数为4+15+1=20,全班总得分为17X20+（12+8）义25=840,平均成绩为

——840=4/20.

20

答案：442

四、解答题（共70分）

17.（10分）如图，在aOBC中，A是边BC的中点，|丽|=2瓦|,DC和0A

交于点E,

设5X=a,OB=b.

⑴用a和b表示向量56,DC.

（2）若谄入5X,求实数X的值.

【解析】(1)OC=OB+BC=OB+2BA

=OB+2(OA-OB)=20A-0B=2a-b;

DC=DB+BC=-OB+2(OA-OB)

3

一5一5

=2OA-0B=2a-b.

33

(2)<CE=uDC=2ua--ub,

3

则0E=0C+CE=2a-b+2ua--ub

3

二(2+2u)a-(l+|〃)b,又5fcXOA=Xa,

'2+2〃=A,4

所以｛1Sn解得入、

(i+-^=o,

18.（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到表

格：

电影第一M弟s：—•.第三第四第五第六

类型类类类类类类

电影

14050300200800510

部数

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

⑴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的

第四类电影的概率.

⑵从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得

好评的概率.

【解析】（1）由表知，电影公司收集的电影部数为

140+50+300+200+800+510=2000,

获得好评的第四类电影部数为200X0.25=50,

所以所求概率为一^-=0.025.

2000

(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,记“从

第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则事件“从第四类

电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”可表示为

hB+AB,

由表知，P(A)=0.25,P(B)=0.2,所有电影是否获得好评相互独立，

所以P(彳)=1-P(A)=0.75,P(巨)=1-P(B)=0.8,P(A豆+彳B)=P(AB)+P(加)

二P(A)P(目)+P(A)P⑻=0.25X0.8+0.75X0.2=0.35,即所求概率为

0.35.

19.(12分)在△分C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos

A=—,B=A+-.

32

(1)求b的值；

⑵求AABC的面积.

【解析】(1)在AABC中，由题意知，

sinA=J「COS2A二斗,又因为B=A+p

所以sinB=sin(A+；)=cosA=J,

逅

asinB_"可

由正弦定理，得b二=3企.

sinA立

3

u24-p2_^2rz_

(2)由余弦定理，得cosA----------n，-4，/^c+9=0n或3V3,

2bc3

又因为B=A+；为钝角，所以b>c,即c=V3,

々“c1.卜372

\以SAABC—acsinB—.

22

20.(12分)如图，四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE_L平面

ABCD.

⑴证明：平面AECJ_平面BED.

⑵若NABC=120°,AE±EC,三棱锥E-ACD的体积为火,求该三棱锥的侧

3

面积.

【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC_LBD.因为BE,平面ABCD,

所以AC_LBE.

故ACJ_平面BED.又ACu平面AEC,

所以平面AEC,平面BED.

(2)设AB=x,在菱形ABCD中，

由ZABC=120°,可得AG=GC=—x,

2

GB=GD=-.因为AE±EC,

2

所以在RtAAEC中，可得EG=—x.

2

由BEJ_平面ABCD,知AEBG为直角三角形，可得BE二丑x.由已知得，三棱

2

锥E-ACD的体积V-ACO=-X-AC-GD・BE=—x3=—.

E32243

故x=2.从而可得AE=EC二ED二泥.

所以4EAC的面积为3,AEAD的面积与AECD的面积均为近.故三棱锥

E-ACD的侧面积为3+2/百

21.（12分）如图，在三棱柱ABC-A.B,C,中，AA」底面

ABC,ZBAC=90°,AB=AC=2,AAi=V3.M,N分别为BC和CG的中点,P为侧

棱BBi上的动点.

⑴求证:平面APM_L平面BBGC.

⑵若P为线段BB,的中点，求证:A】N〃平面APM.

⑶试判断直线BG与平面APM是否能够垂直.若能垂直,求PB的值;若

不能垂直,请说明理由.

【解析】⑴由已知,M为BC中点，且AB=AC,

所以AM_LBC.

又因为BBi〃AA”且AA」底面ABC,

所以BB」底面ABC.

因为AMU底面ABC,所以BB」AM,

又BB,ABC=B,所以AM,平面BBCC.

又因为AMU平面APM,

所以平面APM,平面BBGC.

⑵取CiB,中点D,连接A,D,DN,DM,BC

由于D,M分别为CB,CB的中点,所以DM〃4A,且DM=A1A,则四边形A,AMD

为平行四边形，所以A山〃AM.又AiDC平面APM,AMu平面APM,所以

AQ〃平面APM,由于D,N分别为CB,GC的中点，所以DN〃BC

又P,M分别为B,B,CB的中点，

所以MP〃B£,则DN〃MP.

又DNQ平面APM,MPu平面APM,

所以DN〃平面APM,由于AQADN=D,

所以平面AQN〃平面APM,

由于AiNu平面AQN,

所以AN〃平面APM,

⑶不能垂直.理由如下：假设BG与平面APM垂直，由PMu平面APM,则

BCi±PM,

设PB=x,x£[O,A/5].

当BC」PM时，NBPM=NBCB,

ppcB

所以RtABPM^RtAB^^,所以一=^-^.

MBBBi

由已知MB=V2,CB=2其BBFV3,

所以言等彳”手

由于x二竽凯。，百］,

因此直线BG与平面APM不能垂直.

22.（12分）改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移

动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动

支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,

发现样本中A,B两种支付方式都不使用