2024-2025学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念教案 文 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念教案文新人教A版选修1-1主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是导数的概念。教材为2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念，具体内容包括：

1.导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，是函数图像上某点切线的斜率。

2.导数的计算：利用导数的基本公式、导数的四则运算法则、复合函数的导数等方法计算函数的导数。

3.导数的应用：导数在实际问题中的应用，如物理学中的速度、加速度，经济学中的边际效应等。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生已掌握函数、极限等基本概念，为本节课理解导数的概念打下基础。

2.学生已学习过平面几何中的斜率概念，有助于理解导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

3.学生通过之前的数学学习，已具备一定的逻辑思维能力和问题分析能力，有利于导数在实际问题中的应用。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。

1.数学抽象：通过学习导数的概念，培养学生从具体实例中抽象出导数定义的能力，理解导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

2.逻辑推理：在学习导数的计算方法过程中，培养学生运用已知知识推理出新的结论，如导数的四则运算法则、复合函数的导数等。

3.数学建模：引导学生将导数应用于实际问题，如物理学中的速度、加速度，经济学中的边际效应等，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

4.直观想象：通过绘制函数图像和导数图像，培养学生直观地想象函数在某一点的瞬时变化率，即导数的几何意义。教学难点与重点1.教学重点：

（1）导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，是函数图像上某点切线的斜率。

举例：设函数f(x)=x^2，求f(x)在x=1时的导数。

解：首先，求出函数在x=1时的左导数和右导数。

左导数：lim(h→0)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0)[(1+h)^2-1]/h=lim(h→0)[h^2+2h]/h=2

右导数：lim(h→0)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0)[(1+h)^2-1]/h=lim(h→0)[h^2+2h]/h=2

因此，f(x)在x=1时的导数为2。

（2）导数的计算：利用导数的基本公式、导数的四则运算法则、复合函数的导数等方法计算函数的导数。

举例：求函数f(x)=x^3+2x^2-x的导数。

解：根据导数的基本公式，得到f'(x)=3x^2+4x-1。

（3）导数的应用：导数在实际问题中的应用，如物理学中的速度、加速度，经济学中的边际效应等。

举例：一个物体在t秒内的位移S(t)为S(t)=4t^2-3t+1，求物体在t秒内的速度。

解：求S(t)的导数，得到速度函数v(t)=S'(t)=8t-3。

2.教学难点：

（1）导数的定义：理解导数表示函数在某一点的瞬时变化率，以及如何求出函数在某一点的导数。

（2）导数的计算：掌握导数的基本公式、导数的四则运算法则、复合函数的导数等方法，以及如何灵活运用这些方法计算函数的导数。

（3）导数的应用：将导数应用于实际问题，如物理学中的速度、加速度，经济学中的边际效应等，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

针对以上难点，教师可以通过以下方式帮助学生突破难点：

（1）借助图形和实例，直观地展示导数表示函数在某一点的瞬时变化率，如通过绘制函数图像和导数图像，让学生直观地理解导数的几何意义。

（2）通过引导学生参与课堂讨论、小组合作等方式，让学生在求解导数问题时，主动思考、交流、总结计算方法，从而加深对导数计算方法的理解。

（3）结合实际问题，让学生运用导数解决具体问题，引导学生将所学知识与实际应用相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如函数图像、导数图像、物理场景的动画等，以帮助学生直观地理解导数的概念和应用。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，准备一些简单的物理实验器材，如小车、计时器、测量尺等，让学生通过实验观察和测量物体的速度和加速度，从而加深对导数概念的理解。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将学生分为若干小组，每组配备一张讨论桌和必要的文具，以便学生能够在课堂上进行小组讨论和合作学习。

5.教学工具：准备投影仪、白板、黑板等教学工具，以便教师能够清晰地展示教学内容和解答学生的疑问。

6.网络资源：确保教室能够连接网络，以便学生能够访问在线学习资源和相关网站，如数学学习网站、在线视频教程等。

7.练习题库：准备一定数量的练习题，包括基础题、应用题和拓展题，以便学生在课堂上进行练习和巩固所学知识。

8.反馈问卷：准备一份教学反馈问卷，以便在课程结束后收集学生对课程内容和教学方法的评价和建议，以便进行教学改进。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕导数的概念，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解导数的基本概念。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解导数的概念，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出导数的概念，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解导数的基本概念，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握导数的计算方法。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验导数的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解导数的基本概念。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握导数的计算方法。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解导数的基本概念，掌握导数的计算方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据导数的概念，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与导数的概念相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的导数的基本概念和计算方法。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.导数的概念

-导数表示函数在某一点的瞬时变化率，是函数图像上某点切线的斜率。

-导数的定义：设函数f(x)在区间I上有定义，若极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称f(x)在点x处的导数为f'(x)。

-导数的几何意义：函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率。

2.导数的计算

-基本公式：常数函数的导数为0，幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1，指数函数的导数为底数乘以自然对数e，对数函数的导数为1除以x。

-导数的四则运算法则：加减法则、乘除法则、链式法则、反函数法则。

-复合函数的导数：利用链式法则，将复合函数的导数分解为各个简单函数的导数的乘积或商。

3.导数的应用

-物理学中的应用：速度、加速度、力等物理量的计算。

-经济学中的应用：边际效应、成本函数的优化等。

-生活中的应用：如物体运动的瞬时速度、温度变化率等。

4.导数的图像

-导数与函数图像的关系：导数为正表示函数图像上升，导数为负表示函数图像下降。

-导数的极限：导数的极限可以用来研究函数在某一点的切线斜率的极限值。

5.导数的性质

-导数的单调性：若函数在某区间内单调增加或单调减少，则导数在该区间内非负或非正。

-导数的奇偶性：奇函数的导数仍为奇函数，偶函数的导数仍为偶函数。

-导数的周期性：周期函数的导数不一定具有周期性。

6.高阶导数

-高阶导数：函数的导数的导数，即二阶导数、三阶导数等。

-高阶导数的计算：利用导数的四则运算法则，将高阶导数分解为低阶导数的乘积或商。

-高阶导数的应用：如物理学中的加速度、减速度等。

7.隐函数的导数

-隐函数：由方程f(x,y)=0定义的函数，如圆的方程x^2+y^2=1。

-隐函数的导数：利用隐函数方程，通过求解方程对x或y的导数来得到隐函数的导数。

8.导数在微分方程中的应用

-微分方程：描述变量之间相互依赖关系的方程，如物体运动的方程。

-导数在微分方程中的应用：利用导数来求解微分方程，得到变量随时间或其他变量的变化关系。教学反思与改进本节课结束后，我进行了教学反思，以评估教学效果并识别需要改进的地方。以下是我的一些反思和改进措施。

首先，我认为在讲解导数的定义时，我应该更加注重学生的直观理解。在课堂上，我过多地强调了导数的数学定义和计算方法，而忽略了引导学生通过图形和实例来直观地理解导数的几何意义。为了改进这一点，我计划在未来的教学中加入更多的图形和实例，帮助学生更好地理解导数的概念。

其次，我注意到在组织课堂活动时，有些学生参与度不高，这可能是因为活动设计不够吸引人或者难度不适合所有学生。为了改进这一点，我计划在未来的教学中设计更多具有挑战性和吸引力的课堂活动，以激发学生的兴趣和参与度。

此外，我注意到在解答学生的疑问时，我有时过于依赖教材和标准答案，而没有充分引导学生自己思考和解决问题。为了改进这一点，我计划在未来的教学中更多地鼓励学生提问和讨论，帮助他们培养独立思考和解决问题的能力。

最后，我意识到在布置作业时，我应该更加关注学生的个别差异，为他们提供不同难度和类型的作业。为了改进这一点，我计划在未来的教学中根据学生的能力和兴趣，为他们提供不同难度和类型的作业，以满足他们的个别需求。板书设计①导数的概念：

-导数表示函数在某一点的瞬时变化率，是函数图像上某点切线的斜率。

-导数的定义：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。

-导数的几何意义：导数为正表示函数图像上升，导数为负表示函数图像下降。

②导数的计算：

-基本公式：常数函数的导数为0，幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1，指数函数的导数为底数乘以自然对数e，对数函数的导数为1除以x。

-导数的四则运算法则：加减法则、乘除法则、链式法则、反函数法则。

-复合函数的导数：利用链式法则，将复合函数的导数分解为各个简单函数的导数的乘积或商。

③导数的应用：

-物理学中的应用：速度、加速度、力等物理量的计算。

-经济学中的应用：边际效应、成本函数的优化等。

-生活中的应用：如物体运动的瞬时速度、温度变化率等。

④导数的图像：

-导数与函数图像的关系：导数为正表示函数图像上升，导数为负表示函数图像下降。

-导数的极限：导数的极限可以用来研究函数在某一点的切线斜率的极限值。

⑤导数的性质：

-导数的单调性：若函数在某区间内单调增加或单调减少，则导数在该区间内非负或非正。

-导数的奇偶性：奇函数的导数仍为奇函数，偶函数的导数仍为偶函数。

-导数的周期性：周期函数的导数不一定具有周期性。

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