高中数 第二章 2.2 2.2.3 NO.2 向量数乘运算及其几何意义课下检测 新人教A版必修4

【创新方案】版高中数学第二章2.22.2.3NO.2向量数乘运算及其几何意义课下检测新人教A版必修4一、选择题1．已知两不共线的向量a，b，若对非零实数m，n有ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：∵ma＋nb＝λ(a－2b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,n＝－2λ，))∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案：C2．如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q B．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)q D．r＝－q＋2p解析：∵＝－3，∴＝－2＝2，∴r＝＝＋＋＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q.答案：A3．在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若＝a，＝b，则＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：如图．∵△DEF∽△BEA.∴eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,3).∴DF＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(1,3)DC.∴CF＝eq\f(2,3)DC.∴＝＋＝a＋eq\f(2,3)＝a＋eq\f(2,3)(＋)＝a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则()A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上解析：由＋＋＝，得－＝＋，即＝＋，∴2＝.答案：D二、填空题5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，则λ等于________．解析：由＝2，得－＝2(－)⇒＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，所以λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6．在▱ABCD中，E，F分别在DC和AB上，且DE＝eq\f(1,13)DC，AF＝eq\f(12,13)AB，则与的关系是________．解析：设＝a，＝b.∵DE＝eq\f(1,13)DC，AF＝eq\f(12,13)AB，∴＝＋＝a＋eq\f(1,13)b，＝＋＝－a－eq\f(1,13)b＝－.答案：＝－7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋eq\f(1,2)b，所以＝eq\f(3,4)(a＋b)－(a＋eq\f(1,2)b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．如图，在三角形ABC中，＝a，＝b，AD为BC边的中线，G为△ABC的重心，用a、b表示向量＝________.解析：∵D是BC的中点，G是重心，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(＋)＝eq\f(2,3)(＋eq\f(1,2))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b三、解答题9．已知a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，则实数t为何值时，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点共线？解：由已知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ[a－eq\f(1,3)(a＋b)]，化简得(eq\f(2,3)λ－1)a＝(eq\f(λ,3)－t)b.由于a，b不共线，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1＝0，,\f(λ,3)－t＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2)，))即t＝eq\f(1,2)时，三向量的终点共线．10．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，求△AOB与△AOC的面积之比．解：如图，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．所以＋＝2＝－3.所以＝－eq\f(2,3)，||＝eq\f(2,3)||.设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝eq\f(1,2)||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·