高三数一轮复习 第九章 概率（3课时）讲解与练习 文

eq\a\vs4\al(第一节随机事件的概率)[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.随机事件的概率是高考的必考内容，主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件的求法为主，其中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中常考查．2.多以选择和填空的形式考查，有时也渗透在解答题中，属容易题，如江苏T6等.[归纳·知识整合]1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．[探究]1.概率和频率有什么区别和联系？提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越大时，频率也越来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率．3.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，那么事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U[探究]2.互斥事件和对立事件有什么区别和联系？提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则是必有一个发生，但不能同时发生．所以两个事件互斥但未必对立；反之两个事件对立则它们一定互斥．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：[0,1]．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[自测·牛刀小试]1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球解析：选CA、B中的事件可同时发生，不是互斥事件，D为对立事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8解析：选B由对立事件的概率可求该同学的身高超过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.4．某城市年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市年空气质量达到良或优的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,6)解析：选A由表知空气质量为优的概率为eq\f(1,10)，空气质量为良的概率为eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).故空气质量为优或良的概率为eq\f(1,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是eq\f(1,2)，乙获胜的概率是eq\f(1,3)，则乙不输的概率是________．解析：“乙不输”包含“两人和棋”和“乙获胜”这两个事件，并且这两个事件是互斥的，故“乙不输”的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)随机事件间的关系[例1]从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．[自主解答]任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件．(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件．(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件．———————————————————理解互斥事件与对立事件应注意的问题(1)对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不可能同时发生外，其并事件应为必然事件，这可类比集合进行理解；(2)具体应用时，可把试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所给事件的关系．1．判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？从一副桥牌(52张)中，任取1张，(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”．解：(1)是互斥事件但不是对立事件．因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的．同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立．(2)是互斥事件又是对立事件．因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生．(3)不是互斥事件，更不是对立事件．因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.随机事件的频率与概率[例2]某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：射击次数100120150100150160150击中飞碟数819512382119127121击中飞碟的频率(1)将各次击中飞碟的频率填入表中；(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？[自主解答]利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是eq\f(81,100)＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.———————————————————概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，如下表所示：(1)计算表中进球的频率并填表；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？投篮次数n8101520304050进球次数m681217253238进球频率eq\f(m,n)解：(1)频率是在试验中事件发生的次数与试验次数的比值，由此得进球频率依次是eq\f(6,8)，eq\f(8,10)，eq\f(12,15)，eq\f(17,20)，eq\f(25,30)，eq\f(32,40)，eq\f(38,50)，即表中依次填入0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由(1)知进球频率稳定在0.8，所以这位运动员投篮一次，进球时概率约是0.8.互斥事件、对立事件的概率[例3]某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？[自主解答](1)记中靶为事件A，不中靶为事件eq\x\to(A)，根据对立事件的概率性质，有P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.故不中靶的概率为0.05.(2)记命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，至少8环为事件E，不够9环为事件F.由B、C、D互斥，E＝B∪C∪D，F＝eq\x\to(B∪C)，根据概率的基本性质，有P(E)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P(F)＝P(eq\x\to(B∪C))＝1－P(B∪C)＝1－(0.27＋0.21)＝0.52.所以至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52.———————————————————求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．3．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分别为eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).1个难点——对频率和概率的理解(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．1个重点——对互斥事件与对立事件的理解(1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解：①互斥事件研究的是两个事件之间的关系；②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的．(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作eq\x\to(A).从集合的角度来看，事件eq\x\to(A)所含的结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成的集合的补集，即A∪eq\x\to(A)＝U，A∩eq\x\to(A)＝∅.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.易误警示——误判事件间的关系导致概率计算失误[典例](·临沂模拟)抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A∪B)＝________.[解析]事件A∪B可以分成事件C为“朝上一面的数为1、2、3”与事件D为“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C和事件D互斥，故P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(3,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).[答案]eq\f(2,3)eq\a\vs4\al([易误辨析])1．因未分清事件A、B的关系，误以为事件A、B是互斥事件，从而造成概率计算错误；2．因不能把所求事件转化为几个互斥事件，思维受阻，从而得不到正确答案．3．求解随机事件的概率问题时还有如下错误：解决互斥与对立事件问题时，由于对事件的互斥与对立关系不清楚，不能准确判断互斥与对立事件的关系而致错．eq\a\vs4\al([变式训练])某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为()A．0.99 B．0.98C．0.97 D．0.96解析：选D记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}．事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件．所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．给出以下结论：①互斥事件一定对立．②对立事件一定互斥．③互斥事件不一定对立．④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选C对立必互斥，互斥不一定对立，所以②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，所以④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，所以⑤错．2．将一枚骰子向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现的点数为偶数，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：选DA∩B＝{出现点数2}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C为全集，故事件B，C是对立事件，故选D.3．(·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：选D从{1,2,3,4,5}中选取一个数a有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b有3种取法．所以选取两个数a，b共有5×3＝15个基本事件．满足b>a的基本事件共有3个．因此b>a的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).4．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是()A．三个都是正品B．三个都是次品C．三个中至少有一个是正品D．三个中至少有一个是次品解析：选C16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1.5．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(3,5)C.eq\f(8,15) D.eq\f(14,15)解析：选B记4听合格的饮料分别为A1、A2、A3、A4，2听不合格的饮料分别为B1、B2，则从中随机抽取2听有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9种，故所求概率为P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).6．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3) D.eq\f(7,9)解析：选D甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|>1”，又|a－b|＝2包含2个基本事件，所以P(B)＝eq\f(2,9)，所以P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是________________．解析：“至少有1次中靶”包括两种情况：①有1次中靶；②有2次中靶．其对立事件为“2次都不中靶”．答案：2次都不中靶8．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：P＝1－0.2×0.25＝0.95.答案：0.959．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队的概率；(2)至少2人排队的概率．解：记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥．(1)记“至少2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D.“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.11．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次，第二次抽取的卡片上的号码．(1)求满足a·b＝－1的概率；(2)求满足a·b>0的概率．解：(1)设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)a·b>0，即x－2y>0，在(1)中的36个基本事件中，满足x－2y>0的事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)共6个，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).12．某次会议有6名代表参加，A，B两名代表来自甲单位，C，D两名代表来自乙单位，E，F两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．其中代表A被选中的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)共5种，则代表A被选中的概率为eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为eq\f(8,15)；随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为eq\f(1,15).则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为eq\f(8,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).1．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面所有数字之和能被5整除的概率为()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)解析：选B“斜向上的所有数字之和能被5整除”等价于：两个底面数字之和能被5整除，而两底数所有的情况有4×4＝16(种)，而两底数和为5包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4种情况，所以P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)3．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生．因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．则至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)eq\f(14,15)eq\a\vs4\al(第二节古典概型)[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解古典概型及其概率计算公式．2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.近几年高考对本节内容的考查，既有小题又有解答题，难度中档，如年安徽T10，山东T18，天津T15等.[归纳·知识整合]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．[探究]1.在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．[探究]2.如何判断一个试验是否为古典概型？提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．3．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)[自测·牛刀小试]1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1解析：选C基本事件总数为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种．甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为eq\f(2,3).2．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：选C用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个．3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：选A由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5的下方的概率为________．解析：点P在直线x＋y＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析：点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足在圆x2＋y2＝9内部，所以所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)简单古典概型的求法[例1]编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间[10,20)[20,30)[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．[自主解答](1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).本例条件不变，从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和小于50的概率．解：得分之和小于50的所有可能结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A5，A13}，{A10，A13}，{A11，A13}．故这2人得分之和小于50的概率为P＝eq\f(8,15).———————————————————应用古典概型求概率的步骤(1)仔细阅读题目，分析试验包含的基本事件的特点；(2)设出所求事件A；(3)分别列举事件A包含的基本事件，求出总事件数n和所求事件A包含的基本事件数m；(4)利用公式求出事件A的概率．1．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．解：设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10种．(1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)共6种，则P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故所选2人中恰有一名男生的概率为eq\f(3,5).(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)共7种，则P(B)＝eq\f(7,10)，故所选2人中至少有一名女生的概率为eq\f(7,10).较复杂的古典概型的概率[例2]甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[自主解答](1)甲校两名男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种．选出的两名教师性别相同的概率为P＝eq\f(4,9).(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).———————————————————计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点(1)解题的关键点是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型；(2)必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或先求其对立事件的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．(·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.当日需求量n<17时，利润y＝10n－85.所以y关于n的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－85，n<17，,85，n≥17))(n∈N)．(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为eq\f(1,100)×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.4种方法——基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型；(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定一两个元素的试验，也可看成是坐标法；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求；(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率．1个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型公式计算；(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件eq\x\to(A)的概率，再由P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求事件A的概率．1个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题；(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”．答题模板——求古典概型概率[典例](山东高考·满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：五张卡片，红色三张，标号1,2,3.蓝色2张，标号为1,2，从中取两张eq\o(→,\s\up7(用列举法),\s\do5())所有可能的结果n2．审结论，明解题方向观察所求结论：求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率eq\o(→,\s\up7(利用列举的),\s\do5(结果分析))得出满足这两个条件的结果m3．建联系，找解题突破口利用古典概型概率公式求解：P＝eq\f(m,n)第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：红色卡片三张、蓝色卡片二张、绿色卡片一张，从中取两张eq\o(→,\s\up7(用列举法),\s\do5())得所有的可能的结果数n2．审结论，明解题方向观察所求结论：观察所求结论求两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率eq\o(→,\s\up7(利用列举的结果分析),\s\do5())得出满足这两个条件的结果m3．建联系，找解题突破口利用古典概型概率公式求解：P＝eq\f(m,n)[准确规范答题]列举从5张卡片中任取两张的可能结果时，易漏掉或重复某种结果．(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．⇨(3分)由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)共3种．⇨(5分)所求事件包含的事件数列举不全或重复．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为eq\f(3,10).⇨(6分)(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．⇨(9分)由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)共8种．⇨(11分)所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为eq\f(8,15).⇨(12分)[答题模板速成]求古典概型概率的一般步骤：第一步审清题意⇒第二步建立数量关系⇒第三步转化为数学模型⇒第四步解决数学问题理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数分析所求事件，找出所求事件的个数根据古典概率公式求解得出结论解后反思，规范解答步骤，检查计数过程是否有误一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选C设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6个．2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,5)解析：选D取出的三个数是连续自然数有4种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,25) D.eq\f(1,125)解析：选D小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为eq\f(8,1000)＝eq\f(1,125).4．(·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选B标记红球为A，白球分别为B1，B2，黑球分别为C1，C2，C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有：(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)共15个．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：选D从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P＝1－P(没有白球)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).6．(·深圳模拟)一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,12)C.eq\f(5,36) D.eq\f(1,9)解析：选B依题意，以(x，y)为坐标的点有6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)共3个．故所求事件的概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(nπ,6)n＝1，2，3，…，10))))中任取一个元素，所取元素恰好满足cosx＝eq\f(1,2)的概率是________．解析：基本事件的个数为10，其中只有x＝eq\f(π,3)和x＝eq\f(5π,3)时，cosx＝eq\f(1,2)，故其概率为P＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．解析：甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为eq\f(\r(2),2)的概率是________．解析：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机选取两点，共有10种取法，该两点间的距离为eq\f(\r(2),2)的有4种，所求事件的概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率．解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).所以两数之和为5的概率为eq\f(1,9).(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件．所以P(B)＝1－eq\f(9,36)＝eq\f(3,4).所以两数中至少有一个奇数的概率为eq\f(3,4).11．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi.(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．解：(1)A＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P＝eq\f(11,24).12．(·江西高考)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O共面的概率．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2共4种；y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).1．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．(·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)3．(·福建高考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋eq\f(10×9,2)d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P＝eq\f(2,9).eq\a\vs4\al(第三节几何概型)[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解集合概型的意义.几何概型是高考的一个重点，多以选择题或填空题的形式考查，并进一步强调知识间的横向联系，如年北京T3.[归纳·知识整合]1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．[探究]1.几何概型有什么特点？提示：几何概型的特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个．②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件则有无限个．2．几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).[自测·牛刀小试]1．容量为400mL的培养皿里装满培养液，里面有1个细菌，从中倒出20mL的培养液，则细菌被倒出的概率是()A.eq\f(1,200) B.eq\f(1,20)C.eq\f(1,400) D.eq\f(1,40)解析：选B细菌被倒出的概率为P＝eq\f(20,400)＝eq\f(1,20).2．已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11) D.eq\f(1,8)解析：选A试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成所求事件的区域长度为1min，故P＝eq\f(1,10).3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的概率为()A.eq\f(1,13) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：选B射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是eq\f(1,9).4．点A为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：试验的全部结果构成的区域长度为3，所求事件发生的区域长度为2，故所求的概率为P＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)5．如图所示，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：根据随机模拟的思想，这个面积是10×eq\f(200－114,200)＝4.3.答案：4.3与长度有关的几何概型[例1](·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)[自主解答]设AC＝xcm，CB＝(12－x)cm,0<x<12，所以矩形面积大于20cm2即为x(12－x)>20，解得2<x<10，故所求概率为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).[答案]C在长为12cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率是多少？解：面积为36cm2时，边长AC＝6，面积为81cm2时，边长AC＝9，故P＝eq\f(9－6,12)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).———————————————————求解与长度有关的几何概型的两点注意(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．1．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，则cosx的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为________．解析：当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，由0≤cosx≤eq\f(1,2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，根据几何概型概率公式得所求概率为eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3－x)>0))))，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是________．解析：由题意得A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则x∈A∩B的概率为P＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)与面积(体积)有关的几何概型[例2](1)已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．(2)(·湖北高考)如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) B.eq\f(1,π)C．1－eq\f(2,π) D.eq\f(2,π)[自主解答](1)依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU＝18，SA＝4，则点P落入区域A的概率为P＝eq\f(SA,SU)＝eq\f(2,9).(2)设OA＝OB＝r，则两个以eq\f(r,2)为半径的半圆的公共部分面积为2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2))＝eq\f(π－2r2,8)，两个半圆外部的阴影部分面积为eq\f(1,4)πr2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2×2－\f(π－2r2,8)))＝eq\f(π－2r2,8)，所以所求概率为eq\f(2×\f(π－2r2,8),\f(1,4)πr2)＝1－eq\f(2,π).[答案](1)eq\f(2,9)(2)C———————————————————求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到实验全部结果构成的平面图形，以便求解．3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3) D．无法计算解析：选B由几何概型知，eq\f(S阴,S正方形)＝eq\f(2,3)，故S阴＝eq\f(2,3)×22＝eq\f(8,3).4．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x≤0，,－1≤y≤2，,x－y－1≥0))表示的平面区域为M，(x－4)2＋y2≤1表示的平面区域为N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是________．解析：如图所示：P＝eq\f(\f(1,2)×π×12,\f(1,2)×1＋4×3)＝eq\f(π,15).答案：eq\f(π,15)与角度有关的几何概型[例3]如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．[自主解答]如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)———————————————————求解与角度有关的几何概型的注意点当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．5．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过eq\r(2)R的概率是________．解析：连接圆心O与M点，作弦MN使∠MON＝90°，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MN>eq\r(2)R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概率为eq\f(180°,360°)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)1条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系；(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.创新交汇——几何概型与线性规划的完美结合1．几何概型是近几年高考的热点之一，主要考查形式有两种：一是实际问题为背景直接考查与长度、面积相关的几何概型的概率求解，多涉及三角形、矩形、圆等平面图形的计算；二是与解析几何、函数、立体几何、线性规划等知识交汇命题．2．解决此类问题关键是理解几何概型的含义及其求法原理，并熟练掌握相关知识．[典例](·北京高考)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)[解析]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则在区域内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2＋y2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为eq\f(4－π,4).[答案]Deq\a\vs4\al([名师点评])1．本题有以下创新点(1)考查方式的创新：对于线性规划的考查，由常规方式转换为以几何概型为载体考查概率的计算；(2)考查内容的创新：本题将几何概型与线性规划及圆的概念、求面积完美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性．2．在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征；(2)运用几何概型的概率公式时，要注意验证事件是否具备等可能性．eq\a\vs4\al([变式训练])1．(·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．解析：根据点到直线的距离公式得d＝eq\f(25,5)＝5；设直线4x＋3y＝c到圆心的距离为3，则eq\f(|c|,5)＝3，取c＝15，则直线4x＋3y＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是2eq\r(3)，则可得直线4x＋3y＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是eq\f(1,6).答案：(1)5(2)eq\f(1,6)2．已知O＝{(x，y)|3x＋y≤4，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤y}，若向区域O内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为()A.eq\f(3,8) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)解析：选D如图，区域O为三角形区域OAB，区域A为三角形区域OBC，所求的概率为△OBC与△OAB的面积之比，即P＝eq\f(2,\f(8,3))＝eq\f(3,4).一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选C把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1m，故所求概率为P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).2．如图所示，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选C因为S△ABE＝eq\f(1,2)|AB|·|BC|，S矩形＝|AB|·|BC|，则点Q取自△ABE内部的概率P＝eq\f(S△ABE,S矩形)＝eq\f(1,2).3．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析：选D由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2).4．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：选D由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．故所求概率为P＝eq\f(－1＋5＋5－2,5－－5)＝eq\f(7,10)＝0.7.5．在区间(0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋eq\r(3)cosx≤1”发生的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选C由sinx＋eq\r(3)cosx≤1得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2)，当x∈(0，π)时，解得eq\f(π,2)≤x≤π，所以所求概率为P＝eq\f(π－\f(π,2),π－0)＝eq\f(1,2).6．(·石家庄模拟)在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于eq\f(6,5)的概率是()A.eq\f(12,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(17,25) D.eq\f(18,25)解析：选C设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1))确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x＋y<\f(6,5)，))确定的平面区域，如图所示阴影部分的面积是1－eq\f(1,2)×eq\b\lc\