高考数一轮复习 2.4函数的奇偶性与周期性讲解与练习 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第四节函数的奇偶性与周期性)[备考方向要明了]考什么怎么考1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如年上海T9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，如年陕西T2，福建T7等．2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题，如年山东T8等.[归纳·知识整合]1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称[探究]1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4.若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f(x)的一个周期．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列函数是奇函数的有()①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝eq\f(x2＋1,x)；④f(x)＝x3＋1.A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选B首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，②③为奇函数．2．(·郑州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：选A∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．故F(x)为偶函数．即f(x)＋|g(x)|是偶函数．3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：选A∵f(x)是周期为2的奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).4．(·重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－eq\f(a－4,2)，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－eq\f(a－4,2)＝0，解得a＝4.答案：45．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．解析：∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，∴当x∈(0,1)时，f(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.又∵函数f(x)为奇函数，∴当x∈(－1,0)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－1)时，f(x)<0.∴满足f(x)>0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)判断函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(3)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x)).[自主解答](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x＝－eq\r(3)或x＝eq\r(3).∴函数f(x)的定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}．又∵对任意的x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，－x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))∴－2≤x≤2且x≠0.∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又∵x＋3>0，∴f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq\f(\r(4－x2),x).又f(－x)＝eq\f(\r(4－－x2),－x)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0，,1＋x≠0，))得－1<x≤1.∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．若将本例(1)改为“f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)”，试判断其奇偶性．解：∵函数f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．———————————————————判断函数奇偶性的方法(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数．或等价于eq\f(f－x,fx)＝1，则f(x)为偶函数；eq\f(f－x,fx)＝－1，则f(x)为奇函数．(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．1．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋xx>0，,x2－xx<0；))(3)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x2－2|－2).解：(1)由eq\f(1－x,1＋x)>0⇒－1<x<1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，故原函数是奇函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x2－2|－2≠0，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x2－2－2)＝－eq\f(lg1－x2,x2).∵f(－x)＝－eq\f(lg[1－－x2],－x2)＝－eq\f(lg1－x2,x2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.函数奇偶性的应用[例2](1)(·上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.(2)(·新课标全国卷)设函数f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.[自主解答](1)令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，则f(－1)＝－3，故g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.(2)将函数化简，利用函数的奇偶性求解．f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，设g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，因此g(x)是奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，则M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.[答案](1)－1(2)2———————————————————与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．3已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法：利用fx±f－x＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.4应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2．(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则()A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)解析：(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)选A函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．选项B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．同理选项C中f(－1)>f(1)，选项D中f(－3)<f(－5).函数的周期性及其应用[例3](1)(·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335 B．338C．1678 D．2012(2)(·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x＜0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则a＋3b的值为________．[自主解答](1)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，且f(－1)＝f(1)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，从而eq\f(\f(1,2)b＋2,\f(1,2)＋1)＝－eq\f(1,2)a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝eq\f(b＋2,2)，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.[答案](1)B(2)－10———————————————————函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．3．(1)(·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6))的值为()A．－eq\f(5,2) B．－5C．－eq\f(1,2) D．－6(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函数 B．减函数C．先增后减的函数 D．先减后增的函数解析：(1)选C∵－3<log6<－2，∴－1<log6＋2<0，即－1<logeq\f(3,2)<0.∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(log6)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－1))＝－eq\f(1,2).(2)选D由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图．由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．2个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．5个性质——函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，奇×偶＝奇．3种方法——函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．3条结论——关于函数周期性常用的结论(1)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(2)若满足f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq\f(1,fx＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(3)若函数满足f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，同理可得2a是函数的一个周期(a≠0).创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题1．函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．2．根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f(－x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(x＋T)与f(x)的关系，它们都与f(x)有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题．[典例](·辽宁高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零点个数为()A．5 B．6C．7 D．8[解析]由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图象，如图．由图可知函数y＝g(x)，y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))图象有6个交点，故h(x)＝g(x)－f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零点有6个．[答案]Beq\a\vs4\al([名师点评])1．本题具有以下创新点(1)命题方式创新：本题是以数学符号语言交代了函数f(x)的奇偶性及周期性，考查了自然语言与符号语言转化的能力．(2)考查内容创新：本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点，且将数形结合思想融会其中，较好地考查了探究能力和逻辑推理能力．(3)解题方法创新：本题也可以通过巧妙转化，将x3＝xcosπx转化为我们熟悉的二次函数与周期函数间的关系，即x>0时，x2＝|cosπx|而使问题得以简单解决．2．解决本题的关键有以下几点(1)正确识别函数f(x)的性质；(2)注意到x＝0是函数h(x)的一个零点，此处极易被忽视；(3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题．eq\a\vs4\al([变式训练])1．(·衡阳六校联考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2011)＋f(2012)＝()A．1＋log23 B．－1＋log23C．－1 D．1解析：选C∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－2011)＝f(2011)．当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数．注意到2011＝4×502＋3,2012＝4×503，∴f(2011)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(2012)＝f(0)＝log21＝0.∴f(－2011)＋f(2012)＝－1.2．(·朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是()A．0 B．0或－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)或－eq\f(1,2) D．0或－eq\f(1,4)解析：选D∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象如图．显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．另当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝eq\f(1,2).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，又A点在y＝x＋a上，∴a＝－eq\f(1,4)，综上可知a＝0或－eq\f(1,4).一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|解析：选D由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A由题意，f(x)是以4为周期的奇函数，则f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.3．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式eq\f(fx＋f－x,x)>0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)解析：选B∵f(x)为偶函数，∴eq\f(fx＋f－x,x)＝eq\f(2fx,x)>0，∴xf(x)>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx<0.))又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则该函数是()A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减解析：选C当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，对任意x∈R，均有eq\a\vs4\al(f－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增．5．(·广州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)<f(80)<f(11)．6．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析：选Cf(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq\f(1,3).又函数f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.答案：eq\f(1,3)08．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：－19．(·徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝eq\f(2a－1,a＋1)，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝eq\f(2a－1,a＋1)>－1.即eq\f(3a,a＋1)>0，解得a>0或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f(xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0的解集．解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若f(xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0＝f(1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>0，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<1，))即0<xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<1，解得eq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<x<0.f(xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0＝f(－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<－1.))∴xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是xeq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<x<0.11．已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．故f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，∴x1x2(x1＋x2)－a>0，即x1x2(x1＋x2)>a恒成立．又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时f(x)＝x，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：选D∵f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．∴f(x)为偶函数，g(x)为奇函数．2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)等于()A．ex－e－x B.eq\f(1,2)(ex＋e－x)C.eq\f(1,2)(e－x－ex) D.eq\f(1,2)(ex－e－x)解析：选D∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又∵f(x)＋g(x)＝ex，∴g(x)＝eq\f(ex－e－x,2).3．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，